精品解析：河南省周口市太康县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年第一学期期末教学测评 八年级数学 满分：120分 一．选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分） 1. 在实数，，，中，有理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据有理数的定义进行求解即可． 【详解】解：在实数，，，中，有理数为，其他都是无理数， 故选C． 【点睛】本题主要考查了实数的分类，熟知有理数和无理数的定义是解题的关键． 2. 若、均为正整数，且，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】 分析】本题考查同底数幂相除法则，根据同底数幂相乘由可得，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：D 3. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 4，5，6 B. 1，2，3 C. 1.5，2，2.5 D. 3，4，5 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股数，勾股数首先必须是整数，再分别计算两个较小的整数的平方与最大整数的平方，再判断是否相等，从而可得答案，掌握如果a，b，c为正整数，且满足，那么，a、b、c叫做一组勾股数是解本题的关键． 【详解】解：A．，故不是勾股数； B．，故不是勾股数； C．存在小数，故不是勾股数； D．，故是勾股数； 故选：D． 4. 空气的成分（除去水汽、杂质等）是：氮气约占，氧气约占，其它微量气体约占，要反映上述信息，宜采用的统计图是（ ） A. 条形统计图 B. 折线统计图 C. 扇形统计图 D. 列表 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了统计图的选取，各统计图的特点及优点，熟练掌握各种统计图的特点及优点是解题的关键． 在扇形统计图中将总体看做一个圆，用各个扇形表示各部分，能清楚的表示出各部分所占总体的百分比．据此即可解答． 【详解】解：根据题意，将空气（除去水汽、杂质等）看做总体，用各个扇形表示空气的成分（除去水汽、杂质等）中每一种成分所占空气的百分比，由此可以选择扇形统计图． 故选：C 5. △ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理逆定理对四个选项依次判断即可． 【详解】解：对于A选项． ∵∠A=∠B-∠C， ∴∠A+∠C=∠B． ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴2∠B=180°． ∴∠B=90°． ∴△ABC为直角三角形． 故A选项不符合题意． 对于B选项． ∵∠A：∠B：∠C=1:2:3， ∴． ∴△ABC为直角三角形． 故B选项不符合题意． 对于C选项． ∵， ∴． ∴△ABC为直角三角形． 故C选项不符合题意． 对于D选项． ∵， ∴设，则，． ∵， ∴△ABC不是直角三角形． 故D选项不符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，勾股定理逆定理，熟练掌握这些知识点是解题关键． 6. 如图，等腰的底角为，以点为圆心，长为半径画弧，与底边交于点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰的底角为，得到，根据作图得，得到，于是，解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵等腰的底角为， ∴， ∴， 根据作图得， ∴， ∴． 故选：D． 7. 下表是某城市10月前10天的空气质量统计表： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 空气质量 轻度污染 良 良 良 优 良 优 良 良 良 下列结论中，错误的是（ ） A. 10月1日的空气质量较差 B. 10月8日至10月10日的空气质量都是良，所以10月11日空气质量也一定是良 C. 不能判断10月11日的空气质量 D. 这10天中，“优”出现的频数是2，频率是0.2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了事件发生的可能性大小，频数与频率，掌握频数的定义、频率的定义是解题关键． 根据随机事件的定义以及频数与频率的知识点，结合表格即可一一作出判断． 【详解】解：A、10月1日的空气质量为轻度污染即空气质量较差，正确，不符合题意． B、10月11日的空气质量是随机事件，故不能判断10月11日的空气情况，错误，符合题意． C、10月11日的空气质量是随机事件，故不能判断10月11日的空气情况，正确，不符合题意． D．这十天中，“优”出现的频数是2，故频率是，正确，不符合题意． 故选：B． 8. 如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝4m，若梯子的顶端沿墙下滑1m，这时梯子的底端也下滑1m，则梯子AB的长度为（　　） A. 5m B. 6m C. 3m D. 7m 【答案】A 【解析】 【分析】设BO＝xm，利用勾股定理用x表示出AB和CD的长，进而求出x的值，然后由勾股定理求出AB的长度． 【详解】解：设BO＝xm， 由题意得：AC＝1m，BD＝1m，AO＝4m， 在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB2＝AO2+OB2＝42+x2， 在Rt△COD中，根据勾股定理得：CD2＝CO2+OD2＝（4﹣1）2+（x+1）2， ∴42+x2＝（4﹣1）2+（x+1）2， 解得：x＝3， ， 即梯子AB的长为5m， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 9. 如图，在和中，，，，，交于点，关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（ ） 结论Ⅰ：；结论Ⅱ： A. Ⅰ对，Ⅱ错 B. Ⅰ错，Ⅱ对 C. Ⅰ，Ⅱ都对 D. Ⅰ，Ⅱ都错 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件可知三角形的全等，根据全等三角形的性质可知边相等，再根据三角形的内角和即可求出角的大小． 【详解】， ， ， 在和中， ， ， ，故Ⅰ正确； ， ， ， ， ，， ，， ，故Ⅱ错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟记对应性质和判定定理是解题的关键． 二．填空题．（每小题3分，共15分） 10. 分解因式∶________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． ，用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 故答案：． 11. 若直角三角形的两条直角边长分别是12，16，则斜边长为_____． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，已知两条直角边长，由勾股定理求斜边长即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别是12，16， ∴斜边长． 故答案为：20． 12. 某地区6月8日~14日的气温折线统计图如图所示，则这一周中温差最大的日期是__________． 【答案】6月14日 【解析】 【分析】本题考查了有理数减法的应用，有理数的大小比较，熟练掌握运算和比较大小是解题的关键． 根据温差的定义，逐一计算，比较大小解答即可． 【详解】解：根据题意，得 6月8日的温差为：；6月9日的温差为：； 6月10日温差为：；6月11日的温差为：； 6月12日的温差为：；6月13日的温差为：； 6月14日的温差为：； 且， 故6月14日的温差最大． 故答案为：6月14日． 13. 如图，我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是5，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别是、，则的值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】根据正方形面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：大正方形的面积即直角三角形斜边的平方5，也就是两条直角边的平方和是13，四个直角三角形的面积和是大正方形的面积减去小正方形的面积即2ab=4．根据完全平方公式即可求解． 【详解】解：根据题意，结合勾股定理a2+b2=5， 四个三角形的面积=4×ab=5-1=4， ∴2ab=4， 联立解得：（a+b）2=a2+2ab+b2=5+4=9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查勾股定理，以及完全平方式，正确根据图形的关系求得a2+b2和ab的值是关键． 14. 如图，在中，，，点、分别是、上的动点，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在上．若是等腰三角形，则的度数为_____． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查直角三角形中的折叠问题，等腰三角形性质，分类讨论．由，，得，分三种情况讨论：①当时，可得；②当时，即得，即得；③当时，可得． 【详解】解：∵，， ∴， 分三种情况讨论： ①当时，如图： ∴， ∴； ②当时，如图： ∴， ∴； ③当时，如图： ∴， ∴； 综上所述，为或或． 故答案为：或或． 三．解答题．（本大题8小题，共75分） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）1； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算、单项式乘多项式、完全平方公式，掌握以上知识是解答本题的关键． （1）先化简各式，再进行加减计算即可； （2）先算单项式乘单项式、去括号，再合并同类项即可． 【小问1详解】 计算：， ， ， ； 【小问2详解】 计算：， ， ． 16. 如图所示，与相交于点，且，，的中线的反向延长线交于点，则与垂直吗？为什么？ 【答案】，理由见解析 【解析】 【分析】在△ABC中根据三线合一，即可证得AG是∠BAC的平分线，然后根据对顶角相等，证明AF是等腰△AED的角平分线，然后利用三线合一定理证明． 【详解】解：因为中，中线， 所以平分， 即， 又因为，， 所以， 即平分， 又因为， 所以． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，正确理解三线合一定理是本题的关键． 17. 如图，已知△ABC中，AB=AC，BC=20cm，D是AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm （1）求证：CD⊥AB； （2）求△ABC的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据BD、CD、BC长可利用勾股定理逆定理证明∠BDC=90°，进而得到CD⊥AB； （2）设AD=xcm，则AB=AC=（x+12）cm，再利用勾股定理可得x2+162=（x+12）2，解方程可得x的值，即可求出AD的长，进而得到AB长，然后即可算出周长． 【小问1详解】 ∵ ∴122+162=202， ∴DB2+CD2=BC2， ∴△BCD是直角三角形，且∠BDC=90°， ∴CD⊥AB； 【小问2详解】 设AD=xcm，则AB=AC=（x+12）cm， ∵∠BDC=90°， ∴∠ADC=90°， ∴x2+162=（x+12）2， 解得：x=， 即AD的长为， ∴AC=AB=BD+AD=12+=， ∴△ABC的周长=AB+AC+BC=×2+20=． 【点睛】此题主要考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，1． 【解析】 【分析】先计算完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后将的值代入即可得． 【详解】解：原式， ， 将代入得：原式． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的运算法则是解题关键． 19. 如图，在中，． （1）尺规作图：在上有一点，连接，并在 的延长线上取点，使，连接，作的平分线交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（）的条件下，求证：． 【答案】（1）作图见解析； （2）证明见解析． 【解析】 【分析】（）以点为圆心，以长为半径画弧与的延长线的交点即为点，根据角平分线的作法，作出，最后连接即可； （）由，可得，由角平分线的定义可得，再利用“边角边”证明即可求证； 本题考查了全等三角形的判断与性质，角平分线的作法和性质，正确画出图形是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图所示，点和射线、线段即为所求； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 20. 如图，在中，边上的垂直平分线与、分别交于点D、E，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理即可求解； （2）设，则，在中，根据列出方程计算即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ∵边上的垂直平分线为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴的长为． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，注意方程思想的运用． 21. 在校园艺术节活动中，同学们踊跃参加各项竞赛活动，参加的学生只能从“歌曲”，“舞蹈”，“小品”，“主持”和“乐器”五个选项中选择一项．现将选择情况绘制成了条形统计图和不完整的扇形统计图，其中条形统计图部分被不小心污染．请根据统计图中的相关信息，回答下列问题： （1）图1中，根据数据信息可知：参加“主持”比赛的人数是参加“乐器”比赛人数的______倍，而统计图表现出来的直观情况却是：参加“主持”比赛的人数是参加“乐器”比赛人数的3倍，两个结果之所以不一样，是因为____________； （2）请求出全校一共有多少名学生参加“舞蹈”比赛？ （3）在图2中，“小品”部分所对应的圆心角的度数为______度； （4）拟参加比赛活动的学生有获奖，其中获二等奖与三等奖的人数之比，二等奖人数是一等奖人数的1.5倍，直接写出获一等奖的学生有______人． 【答案】（1）2，统计图的人数栏没有从零开始计数 （2）64 （3）86.4度 （4）40 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图上的数据求解即可； （2）用参加“主持”比赛的人数除以所占的百分比求解即可； （3）首先计算出参加“小品”比赛的人数，然后求出参加“小品”比赛的人数所占的百分比，即可求出“小品”部分所对应的圆心角的度数； （4）设一等奖人数为x，则二等奖人数为，三等奖的人数为，然后根据总获奖人数列方程求解即可． 【小问1详解】 ∴参加“主持”比赛的人数是参加“乐器”比赛人数的2倍， ∵统计图的人数栏没有从零开始计数 ∴参加“主持”比赛的人数是参加“乐器”比赛人数的3倍，两个结果所以不一样． 故答案为：2，统计图的人数栏没有从零开始计数； 【小问2详解】 ∴全校一共有64名学生参加“舞蹈”比赛； 【小问3详解】 ∴ ∴“小品”部分所对应的圆心角的度数为86.4度； 【小问4详解】 ∵参加比赛活动的学生有获奖，总共有400人， ∴一共有200人获奖 ∵获二等奖与三等奖的人数之比，二等奖人数是一等奖人数的1.5倍， ∴设一等奖人数为x，则二等奖人数为，三等奖的人数为 ∴列方程为，解得 ∴获一等奖的学生有40人． 【点睛】本题考查扇形统计图与条形统计图的综合应用，熟练掌握一元一次方程的应用、条形统计图与扇形统计图的信息关联应用是解题关键． 22. 已知中，；中，；，点A．D．E在同一直线上，AE与BC相交于点F，连接BE． （1）如图1，当时， ①请直接写出和的形状； ②求证：； ③请求出的度数． （2）如图2，当时，请直接写出： ①的度数； ②若，，线段AF的长． 【答案】（1）①和是等边三角形；②见详解；③60°；（2）①90°；②4 【解析】 【分析】（1）①根据等边三角形的判定定理，即可得到结论；②先证明∆ACD≅∆BCE，即可得到结论；③由∆ACD≅∆BCE得∠ADC=∠BEC，结合等边三角形的性质，即可求解； （2）①先证明∆ACD≅∆BCE，得∠ADC=∠BEC，结合等腰直角三角形的性质，即可求解；②延长BE交AC的延长线于点G，先证明∆ACF≅∆BCG以及∆AEB≅∆AEG，结合条件即可求解． 【详解】（1）①∵，， ∴，为等腰三角形， 又∵， ∴和是等边三角形； ②∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠BCE+∠DCB，∠ACB=∠DCE， ∴∠ACD=∠BCE， 又∵，， ∴∆ACD≅∆BCE（SAS）， ∴AD=BE； ③∵∆ACD≅∆BCE， ∴∠ADC=∠BEC， ∵∠ADC=180°-∠CDE=180°-60°=120°， ∴∠BEC=∠CEF+∠AEB=120°， ∵∠CEF=60°， ∴∠AEB=120°-60°=60°； （2）①∵=90°，，， ∴∠ACD=∠BCE， ∴∆ACD≅∆BCE（SAS）， ∴AD=BE，∠ADC=∠BEC， ∵∆DCE为等腰三角形， ∴∠CDE=∠CED=45°， ∵点A．D．E在同一直线上， ∴∠ADC=∠BEC=135°， ∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°； ②延长BE交AC的延长线于点G， 由①得∠CAD=∠CBE，∠AEB=90°， 在∆ACF和∆BCG中， ∵ ∴∆ACF≅∆BCG（ASA）， ∴AF=BG， ∵∠CAF=∠BAF，∠AEB=∠AEG=90°，AE=AE， ∴∆AEB≅∆AEG， ∴BE=GE=2， ∴AF=4． ． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质，熟练掌握“旋转全等”模型，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期末教学测评 八年级数学 满分：120分 一．选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分） 1. 在实数，，，中，有理数是（ ） A. B. C. D. 2. 若、均为正整数，且，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 3. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 4，5，6 B. 1，2，3 C. 1.5，2，2.5 D. 3，4，5 4. 空气的成分（除去水汽、杂质等）是：氮气约占，氧气约占，其它微量气体约占，要反映上述信息，宜采用的统计图是（ ） A. 条形统计图 B. 折线统计图 C. 扇形统计图 D. 列表 5. △ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，等腰的底角为，以点为圆心，长为半径画弧，与底边交于点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 下表是某城市10月前10天的空气质量统计表： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 空气质量 轻度污染 良 良 良 优 良 优 良 良 良 下列结论中，错误的是（ ） A. 10月1日的空气质量较差 B. 10月8日至10月10日的空气质量都是良，所以10月11日空气质量也一定是良 C. 不能判断10月11日的空气质量 D. 这10天中，“优”出现的频数是2，频率是0.2 8. 如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝4m，若梯子的顶端沿墙下滑1m，这时梯子的底端也下滑1m，则梯子AB的长度为（　　） A. 5m B. 6m C. 3m D. 7m 9. 如图，在和中，，，，，交于点，关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（ ） 结论Ⅰ：；结论Ⅱ： A. Ⅰ对，Ⅱ错 B. Ⅰ错，Ⅱ对 C. Ⅰ，Ⅱ都对 D. Ⅰ，Ⅱ都错 二．填空题．（每小题3分，共15分） 10. 分解因式∶________． 11. 若直角三角形的两条直角边长分别是12，16，则斜边长为_____． 12. 某地区6月8日~14日的气温折线统计图如图所示，则这一周中温差最大的日期是__________． 13. 如图，我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是5，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别是、，则的值为______． 14. 如图，在中，，，点、分别是、上的动点，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在上．若是等腰三角形，则的度数为_____． 三．解答题．（本大题8小题，共75分） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 如图所示，与相交于点，且，，中线的反向延长线交于点，则与垂直吗？为什么？ 17. 如图，已知△ABC中，AB=AC，BC=20cm，DAB上一点，且CD=16cm，BD=12cm （1）求证：CD⊥AB； （2）求△ABC的周长． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，． （1）尺规作图：在上有一点，连接，并在 的延长线上取点，使，连接，作的平分线交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（）条件下，求证：． 20. 如图，在中，边上的垂直平分线与、分别交于点D、E，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 在校园艺术节活动中，同学们踊跃参加各项竞赛活动，参加的学生只能从“歌曲”，“舞蹈”，“小品”，“主持”和“乐器”五个选项中选择一项．现将选择情况绘制成了条形统计图和不完整的扇形统计图，其中条形统计图部分被不小心污染．请根据统计图中的相关信息，回答下列问题： （1）图1中，根据数据信息可知：参加“主持”比赛人数是参加“乐器”比赛人数的______倍，而统计图表现出来的直观情况却是：参加“主持”比赛的人数是参加“乐器”比赛人数的3倍，两个结果之所以不一样，是因为____________； （2）请求出全校一共有多少名学生参加“舞蹈”比赛？ （3）在图2中，“小品”部分所对应的圆心角的度数为______度； （4）拟参加比赛活动学生有获奖，其中获二等奖与三等奖的人数之比，二等奖人数是一等奖人数的1.5倍，直接写出获一等奖的学生有______人． 22. 已知中，；中，；，点A．D．E在同一直线上，AE与BC相交于点F，连接BE． （1）如图1，当时， ①请直接写出和的形状； ②求证：； ③请求出的度数． （2）如图2，当时，请直接写出： ①的度数； ②若，，线段AF的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $