精品解析：黑龙江省哈尔滨市德强高级中学2024-2025学年高一下学期开学验收考试数学试题

德强高中2024－2025学年度下学期开学验收考试 高一学年数学试题 答题时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2，选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据集合运算的定义求解. 【详解】根据题意，，. 故选：A. 2. 设、均为非零实数且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取特值说明判断A，B，C；作差判断D作答. 【详解】对于A，取，，则，A错误； 对于B，取，，则，B错误； 对于C，取，，则，C错误； 对于D，因，则，即，D正确． 故选：D 3. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 解对数不等式，再利用集合间的包含关系进行判断. 【详解】因为， 集合为集合的真子集， 所以推出，反之不成立， 所以“”是“”成立的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断、对数不等式求解，考查运算求解能力，求解时注意将问题转化成集合间的基本关系，属于基础题. 4. 已知角α的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，结合二倍角的正弦公式计算即可求解. 【详解】由题意知，， 所以. 故选：D 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抽象函数定义域的求法，列出方程组，即可求得答案. 【详解】因为的定义域是，所以，根据抽象函数定义域求法， 在函数中，，解得且. 则定义域为. 故选：C. 6. 已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. B. C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象求出的解析式，再由图象平移确定的解析式，进而求函数值. 【详解】由图知，则， 由，则，可得， 又，则，故， 由题意，故. 故选：B 7. 若、分别是函数，的零点，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意看得出、，数形结合可知点、关于直线对称，由此可得出结论. 【详解】由题意可得，可得， ，则，所以，， 作出函数、、的图象如下图所示： 对于函数可得，所以，函数的图象关于直线对称， 又因为函数、的图象关于直线对称， 所以，点、关于直线对称，则，故. 故选：B. 8. 如图，将边长为1的正方形沿轴正向滚动，先以为中心顺时针旋转，当落在轴时，又以为中心顺时针旋转，如此下去，设顶点滚动时的曲线方程为，则下列说法错误的为（ ） A. B. C. D. 在区间内单调递增 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的运动轨迹，分别求出当时对应的函数值，进而，结合图形判断单调性，依次判断选项即可. 【详解】因为正方形的边长为1，所以其对角线，如图， 由正方形的滚动轨迹知， 当时，位于点，即， 当时，位于点，即， 当时，位于点，即， 当时，位于点，即， 当时，位于点，即， 当时，位于点，即， …… 所以，即函数是以4为周期的周期函数. 所以，AB正确； , , ∴， 与单调性一致，函数在内单调递增，则函数在上单调递增，D正确. 故ABD正确，∴说法错误的为C. 故选：C. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对选项中的函数定义域以及奇偶性、单调性逐一判断即可得出结论. 【详解】对于A，易知其定义域为，满足奇函数定义，且为增函数，即A正确； 对于B，易知其定义域为，满足偶函数定义，不符合题意，B错误； 对于C，易知其定义域为，关于原点对称， 但它在和上单调递减，C错误； 对于D，显然的定义域为，且满足，为奇函数， 当时，在上单调递增， 由奇函数性质可知函数在定义域内单调递增，即D正确. 故选：AD 10. 下列各式中，最小值为4的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，当时，无最小值；对于B，由于的最大值为1，所以取不到最小值4；对于C，D，利用基本不等式可求解. 【详解】对于A，当时，，所以无最小值，A不符合题意 对于B，由已知，所以，当即时，取等号，而的最大值为1，所以等号取不到，所以 的最小值不是4，即B不符合题意 对于C，，当即时，取等号，所以最小值为4，C符合题意 对于D，，当，即时，取等号，所以 的最小值为4，所以符合题意． 故选：CD． 【点睛】此题考查基本不等式求最值的方法，注意基本不等式应用的条件，时，才有，并注意等号成立的条件，属于基础题. 11. 已知定义在R上的偶函数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. C. 若函数在区间上单调递增，则在区间上单调递减 D. 若函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定函数的性质，导出对称性、周期，再逐项判断即可. 【详解】对于A，由，得函数的图象关于点对称，A错误； 对于B，由是偶函数，得， 即，所以，B正确； 对于C，由函数在上单调递增及是偶函数，得在上单调递减， 由选项B知，是周期为4的周期函数，当时，， 因此在上单调递减，C正确； 对于D，当时，，，当时， ，，D正确. 故选：BCD 12. 已知函数，且在区间上单调递减，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若恒成立，则满足条件的有且仅有1个 C. 若，则的取值范围是 D. 若，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】据中心对称即可求值A；由周期的范围求出的范围，利用函数平移求出周期判断B正确；举例说明判断判断C；结合已知单调区间得出范围判断D. 【详解】对于A，由及在上单调递减， 得的图象关于点对称，因此，A正确； 对于B，若恒成立，则为函数的周期或周期的倍数， 即，解得，，而周期，则， 又，即，因此，即满足条件的有且仅有1个，B正确； 对于C，，取，函数在上单调递减， 即也满足要求，C错误； 对于D，依题意，为单调递减区间的子集， 则，其中，解得，， 当时，，当时，， 所以的取值范围是，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知过点，则实数______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据点在函数上计算求参. 【详解】因为过点，所以,所以. 故答案为：2. 14. 《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分若弧田所在圆的半径为1，圆心角为，则此弧田的面积为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意所求面积为，再根据扇形和三角形面积公式，进行求解即可. 【详解】易知为等腰三角形，腰长为，底角为，， 所以， 弧田的面积即图中阴影部分面积，根据扇形面积及三角形面积可得： 所以. 故答案为：. 15. 若，则__________． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】根据得到，变换，计算得到答案. 【详解】，解得， . 故答案为： 16. 已知函数满足，若方程恰有五个不相等的实数根，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】令，则方程转化为， 原问题等价于有两个根，再根据一元二次方程根的分布列出不等式组求解即可得答案. 【详解】令，则方程转化为， 作出函数的图象如下图所示， 由题意，方程有五个不相等的实数根， 即有一个根，一个根 或有一个根，一个根 令， 当时，或， 当时，，解得或，符合题意； 当时，，解得或，符合题意； 当有一个根，一个根， 则解得：， 当有一个根，一个根 则解得：， 综上，实数m的取值范围为 故答案为： 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤. 17. 已知函数，则 （1）求，，的值； （2）若，则的值是多少？ 【答案】（1），， （2）或 【解析】 【分析】（1）根据函数的解析式求得正确答案. （2）根据函数解析式列方程，由此求得. 【小问1详解】 ，， . 【小问2详解】 若， 则或， 解得或. 18. 已知，且． （1）求，的值； （2）求的值； （3）已知，且，求的值． 【答案】（1） （2）; （3）. 【解析】 【分析】（1）利用同角平方公式及象限角确定符号来求值； （2）利用诱导公式化简，即可求值； （3）利用变单角为双角差，再用两角差余弦公式求值即可. 【小问1详解】 因为，且，所以， 即； 【小问2详解】 由； 【小问3详解】 因为，，所以， 又因为，所以， 则. 19. 设函数 （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，，求不等式的解集． 【答案】（1） （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与对应方程根的关系来确定系数； （2）先将不等式化简，再通过因式分解求解集，需要对参数的取值进行分类讨论。 【小问1详解】 由题意，不等式的解集为，则和3是方程的两个根， 得解得，所以. 【小问2详解】 若，则，即， 因为，所以，是方程的两个实数根， ①当时，，不等式的解集为， ②当时，解集为， ③当时，，不等式的解集为， 综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 20. 已知定义在上的函数满足且，. （1）求的解析式； （2）若不等式恒成立，求实数取值范围； （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据列方程，求解即可； （2）根据函数的单调性化简不等式，分离参数，利用基本不等式求最值即可； （3）由题意得，先根据函数的单调性求得，再求解使得成立的实数取值范围即可. 【小问1详解】 由题意知，， 即，所以， 故 【小问2详解】 由（1）知，， 所以在上单调递增， 所以不等式恒成立等价于恒成立， 即恒成立. 设，则，，当且仅当，即时，等号成立 所以， 故实数的取值范围是 【小问3详解】 因为对任意的，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增， 所以当时，， 又的对称轴为，， 当时，在上单调递增，，解得， 所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，所以； 当时，在上单调递减，，解得， 所以， 综上可知，实数的取值范围是 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 21. 双曲函数是一类在物理学上应用十分广泛的函数，与常见的三角函数类似，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，并且它具有与三角函数相似的一些性质.给出两种双曲函数定义：双曲正弦函数，双曲余弦函数： 根据定义，解决下列问题： （1）通过将双曲函数与我们已学习过的三角函数进行类比，得到下列性质； ① ② ③ 请在这三个性质中选择其中一个加以证明，你选择的是_____填入其中一个序号，多选只按第一个计分 （2）已知函数在区间上有两个不同的零点，求实数m的取值范围. 【答案】（1）证明：①； ②； ③ （2）{或或} 【解析】 【分析】（1）根据双曲函数定义代入计算证明； （2）使用换元法构造函数，原问题等价于在上有两个不同的零点，构造，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由知，令， 由单调递增，单调递减， 易知单调递增； 又， 则，进而，可转化成， 故原问题等价于在上有两个不同的零点， 于是，进而，解得 即或或， 所以实数m的取值范围为{或或} 22. 已知. （1）已知函数，记方程在区间上的根从小到大依次为、、、，求的值； （2）若对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，可得出，令，数形结合在利用正弦型函数的对称性可求得的值； （2）由题意可得对任意的恒成立，由参变量分离法得出对任意的恒成立，利用对勾函数的单调性求出在上的最大值，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 . 令， 因为，则， 令，又， 函数在上的图象如下图所示， 由图可知，的图象与直线共有个交点，即， 因为， 所以，. 【小问2详解】 ，即对任意的恒成立， 则对任意的恒成立， 令， 因为，则， 由对勾函数的性质知在上单调递减， 又，所以， 则的最大值为，故. 因此，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 德强高中2024－2025学年度下学期开学验收考试 高一学年数学试题 答题时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2，选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设、均为非零实数且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知角α的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. B. C. 1 D. 0 7. 若、分别是函数，的零点，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将边长为1的正方形沿轴正向滚动，先以为中心顺时针旋转，当落在轴时，又以为中心顺时针旋转，如此下去，设顶点滚动时的曲线方程为，则下列说法错误的为（ ） A. B. C. D. 在区间内单调递增 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列各式中，最小值为4的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知定义在R上的偶函数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. C. 若函数在区间上单调递增，则在区间上单调递减 D. 若函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析为 12. 已知函数，且在区间上单调递减，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若恒成立，则满足条件的有且仅有1个 C. 若，则的取值范围是 D. 若，则的取值范围是 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知过点，则实数______. 14. 《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分若弧田所在圆的半径为1，圆心角为，则此弧田的面积为____________. 15. 若，则__________． 16. 已知函数满足，若方程恰有五个不相等的实数根，则实数的取值范围为___________. 四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤. 17. 已知函数，则 （1）求，，的值； （2）若，则的值是多少？ 18. 已知，且． （1）求，的值； （2）求的值； （3）已知，且，求的值． 19. 设函数 （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，，求不等式的解集． 20. 已知定义在上的函数满足且，. （1）求的解析式； （2）若不等式恒成立，求实数取值范围； （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数取值范围. 21. 双曲函数是一类在物理学上应用十分广泛的函数，与常见的三角函数类似，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，并且它具有与三角函数相似的一些性质.给出两种双曲函数定义：双曲正弦函数，双曲余弦函数： 根据定义，解决下列问题： （1）通过将双曲函数与我们已学习过的三角函数进行类比，得到下列性质； ① ② ③ 请在这三个性质中选择其中一个加以证明，你选择的是_____填入其中一个序号，多选只按第一个计分 （2）已知函数在区间上有两个不同的零点，求实数m的取值范围. 22. 已知. （1）已知函数，记方程在区间上的根从小到大依次为、、、，求的值； （2）若对任意的恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $