精品解析：湖南省益阳市沅江市两校联考2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024年下学期八年级期末自我检测 数 学 （满分：120分；时长：120分钟） 注意事项： 1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示： 4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 一、选择题（本大题包括10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列各数中，属无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 9的平方根是（    ） A. 9 B. C. D. 3. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一个三角形三个内角的度数之比是，则这个三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 锐角三角形 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线交 AC 于点 D，AD＝6，过点 D 作 DE∥BC 交 AB 于点 E， 若△AED 的周长为 16，则边 AB 的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 1 8. 一天上班高峰时，某大厦电梯已经挤了很多人，现在所有人重量为x公斤．公斤的大胖硬是挤了进去，这时电梯因超重警示音响起，大胖不得不走出电梯等待下一班．此时公斤的小瘦抓紧机会坐上了电梯，警示音未响起，电梯缓缓关上了门，留下了尴尬的大胖．已知当电梯承载的重量超过公斤时警示音响起，则x的取值范围可用下列哪一个不等式表示 （ ） A. B. C. D. 9. 实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（ ） A. 7 B. C. D. 无法确定 10. 已知，如图，，，与相交于点，则下列正确的个数为（ ） ；；；共有对全等三角形． A. B. C. D. 二、填空题（本大题包括8个小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个正确选项） 11. 比较大小：_____（填“”、“”或“”）． 12. 已知等腰三角形一条腰上的高与另一条腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角为_____． 13. 若关于x的方程无解，则m的值是________． 14. 关于三角形的内角，有下列说法：①至少有两个锐角，②最多有一个直角，③必有一个角大于，④至少有一个角不小于．其中不正确的说法是________（填序号）． 15. 如图，，，若，则等于____． 16. 已知，求的值为______． 17. 八（1）班同学开展了“庆国庆”课外阅读知识竞赛．一共有20道题，答对每题加5分，不答不扣分，答错每题倒扣2分．已知小明答错的题数与不答的题数一样多，最后比赛得分超过75分．设小明答错了道题，根据题意，可列出关于的不等式为______． 18. 如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧交于M，N两点；②作直线交于点 D，交 于点 E，连结，则________． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第 23、24题每小题9分，第25、26题每小题10.分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. 解决下面问题 （1）解不等式； （2）解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 21. 先化简，再求值：，其中，． 22. 如图，在中，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 23. 如图，在中，D是上一点，E是外一点，，，．求证：． 24. 2025年第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”冰箱贴在市场热销，某商场现购进“滨滨”和“妮妮”冰箱贴一共1000个，其中一个“滨滨”进价12元，一个“妮妮”进价15元，总共花费13800元。 （1）求购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？ （2）在销售过程中“滨滨”、“妮妮”标价分别为20元/个、25元/个，当“滨滨”、“妮妮”各卖出m个后，该商店进行促销，剩余的“滨滨”按标价七折出售，剩余的“妮妮”按八折出售，若购进的吉祥物冰箱贴全部销售后利润不少于6000元，求m的最小值？ 25. 阅读材料： 通过小学的学习，我们知道，， 在分式中，类似地，． 探索： （1）如果，则 ；如果，则 ； 总结： （2）如果（其中a、b、c为常数），则求m的值．（用含a、b、c的代数式表示） 应用： （3）利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 26. 【教材再现】 （1）期中复习期间，数学老师沈老师将教材42页例5复印下来，请你再一次完成证明． 如图1，，，垂足分别为，，，求证：． 【变式拓展】 （2）沈老师改变（1）中的条件和图形，提出下面的问题，请你解答． 如图2，是等腰直角三角形，，，为中点，交延长线于点，于．求证：． 【学以致用】 （3）在（2）的条件下，如图3，作关于直线成轴对称的，连接，若求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下学期八年级期末自我检测 数 学 （满分：120分；时长：120分钟） 注意事项： 1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示： 4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 一、选择题（本大题包括10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列各数中，属无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，求一个数的算术平方根， 首先计算算术平方根，然后根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）进行判断即可． 【详解】解：A、不是无理数，是有理数，故本选项错误； B、，是有理数，不是无理数，故本选项错误； C、是无理数，故本选项正确； D、不是无理数，故本选项错误； 故选：C． 2. 9的平方根是（    ） A. 9 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】该题考查了平方根，根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，互为相反数． 【详解】解：∵， ∴ 9的平方根是． 故选：B． 3. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简分式，根据最简分式的定义：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式，据此即可判断求解，掌握最简分式的定义是解题的关键． 【详解】解：、分子分母中含有公因数，不是最简分式，该选项不合题意； 、，分子分母中含有公因式，不是最简分式，该选项不合题意； 、是最简分式，该选项符合题意； 、分子分母中含有公因式，不是最简分式，该选项不合题意； 故选：． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式、积的乘方，整数指数幂运算；熟练掌握以上运算法则是解题的关键，根据这些法则，逐项判断即可； 【详解】、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意； 故选：． 5. 一个三角形三个内角的度数之比是，则这个三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 锐角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了三角形的内角和定理．根据三角形的内角和是180°，设三个内角分别为，则，分别求得三个内角的度数，即可解答． 【详解】解：∵一个三角形三个内角的度数之比是， 设三个内角分别为，则 解得：， ∴这三个内角分别为， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：A． 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后观察各选项即可． 【详解】解： 由①，得， 由②，得， 故原不等式组的解集是， 故选：C． 7. 如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线交 AC 于点 D，AD＝6，过点 D 作 DE∥BC 交 AB 于点 E， 若△AED 的周长为 16，则边 AB 的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线、角平分线以及等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】∵DE∥BC ∴∠EDB=∠DBC 又BD是∠ABC的角平分线 ∴∠EBD=∠DBC ∴∠EBD=∠EDB ∴ED=EB ∵三角形AED的周长=AE+ED+AD=AE+EB+AD=AB+AD=16 又AD=6 ∴AB=16-AD=16-6=10 故答案选择C． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质以及等腰三角形的等角对等边的性质，难度不大，需要熟练掌握相关基础知识． 8. 一天上班高峰时，某大厦电梯已经挤了很多人，现在所有人重量为x公斤．公斤的大胖硬是挤了进去，这时电梯因超重警示音响起，大胖不得不走出电梯等待下一班．此时公斤的小瘦抓紧机会坐上了电梯，警示音未响起，电梯缓缓关上了门，留下了尴尬的大胖．已知当电梯承载的重量超过公斤时警示音响起，则x的取值范围可用下列哪一个不等式表示 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组在实际问题中的应用，正确理解题意是解题关键． 【详解】解：∵．公斤的大胖硬是挤了进去，这时电梯因超重警示音响起 ∴ ∵公斤的小瘦抓紧机会坐上了电梯，警示音未响起 ∴ 解得： 故选：C 9. 实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（ ） A. 7 B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质和绝对值，首先根据数轴得到a的范围，从而得到与的符号；然后利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求解． 【详解】解：根据数轴得：， ∴， ∴ ． 故选：A． 10. 已知，如图，，，与相交于点，则下列正确的个数为（ ） ；；；共有对全等三角形． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质．首先根据可证，从而可证，再根据可证，根据全等三角形对应边相等可证，可知正确；根据可证，根据全等三角形的对应角相等可证，可知正确；没有已知条件可以证明，所以错误；根据可证，由和可知、、，所以共有对全等三角形． 【详解】解：在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ，故正确； 由可知， 在和中， ， ，故正确； 没有已知条件可以证明，故错误； 由和可知、、， 由可知， 在和中， ， 共有对全等三角形， 故正确． 一共有个结论正确． 故选：B． 二、填空题（本大题包括8个小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个正确选项） 11. 比较大小：_____（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟悉掌握二次根式的估算是解题的关键． 由于两个分数的分母相同，只需比较分子的大小关系即可． 【详解】解：比较分子和 ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 已知等腰三角形一条腰上的高与另一条腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】分为当等腰三角形为锐角三角形时和当等腰三角形为钝角三角形时两种情况，分别画图进行讨论． 【详解】解：如图，当等腰三角形为锐角三角形时， ∵，， ∴， 即． 如图，当等腰三角形为钝角三角形时， ∵，， ∴， ∴． 综上，该等腰三角形的顶角为或． 13. 若关于x的方程无解，则m的值是________． 【答案】或1 【解析】 【分析】本题主要考查了根据分式方程的无解求参数的值，是需要识记的内容．分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 由分式方程无解可知，分式分式方程去分母后把x的值代入即可求出m的值． 【详解】解：∵分式方程无解， ∴， ∴， ∵， ∴， 把代入得， ， ∴； 另外当，即时，此方程也无解； 综上分析可知，m的值是或1． 故答案为：或1． 14. 关于三角形的内角，有下列说法：①至少有两个锐角，②最多有一个直角，③必有一个角大于，④至少有一个角不小于．其中不正确的说法是________（填序号）． 【答案】③ 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，反证法，举反例，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．根据反证法，可证明①②④正确，通过举反例，可证明③错误． 【详解】解：①若三角形的三个内角至多只有一个锐角，则三个内角中至少有2个钝角，那么三个内角的和就大于，与三角形三个内角的和等于矛盾，所以①正确； ②若三角形的三个内角最少有2个直角，那么三个内角的和就大于，与三角形三个内角的和等于矛盾，所以②正确； ③因为三角形的三个内角可以都等于，所以③错误； ④若三角形的三个内角都小于，那么三个内角的和就小于，与三角形三个内角的和等于矛盾，所以④正确． 故答案为：③． 15. 如图，，，若，则等于____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，结合图形根据线段的和差计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 16. 已知，求的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，分式的性质，关键是把原式利用完全平方公式进行整理．根据题意，得到，将已知等式变形为，再利用完全平方公式变形，即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴ 故答案为：． 17. 八（1）班同学开展了“庆国庆”课外阅读知识竞赛．一共有20道题，答对每题加5分，不答不扣分，答错每题倒扣2分．已知小明答错的题数与不答的题数一样多，最后比赛得分超过75分．设小明答错了道题，根据题意，可列出关于的不等式为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式；设小明答错了道题，则答对的题数为道，根据最后比赛得分超过75分列出一元一次不等式即可． 【详解】解：设小明答错了道题，则答对的题数为道， 根据题意，． 故答案为：． 18. 如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧交于M，N两点；②作直线交于点 D，交 于点 E，连结，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，角的计算，由得到由作图可知，垂直平分，得到，再得出即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴ 由作图可知，垂直平分， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第 23、24题每小题9分，第25、26题每小题10.分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】9 【解析】 【分析】此题考查了绝对值，有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算绝对值，有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，然后计算加减． 【详解】解： ． 20. 解决下面问题 （1）解不等式； （2）解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）； （2），数轴见解析． 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集．解一元一次不等式组需分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． （1）不等式移项，合并同类项，化系数为1即可； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可． 【小问1详解】 解：将不等式两边同乘以得， ， 移项合并得， 解得； 【小问2详解】 解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， 则不等式组的解集为， 在数轴上表示： 21. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化；先根据分式的混合运算进行计算，然后将字母的值代入进行计算即可求解． 【详解】解：原式 当，时， 原式． 22. 如图，在中，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查作图基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理， （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）由线段垂直平分线的性质可得，则，进而可得，再根据等腰三角形的性质可得，，最后根据，可得，进而可得答案． 【小问1详解】 解：如图，直线即为所求． 【小问2详解】 解：∵直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 23. 如图，在中，D是上一点，E是外一点，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， 则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．根据题意可得，根据全等三角形的判定可证明，根据全等三角形的性质即可证明． 【详解】略 24. 2025年第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”冰箱贴在市场热销，某商场现购进“滨滨”和“妮妮”冰箱贴一共1000个，其中一个“滨滨”进价12元，一个“妮妮”进价15元，总共花费13800元。 （1）求购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？ （2）在销售过程中“滨滨”、“妮妮”标价分别为20元/个、25元/个，当“滨滨”、“妮妮”各卖出m个后，该商店进行促销，剩余的“滨滨”按标价七折出售，剩余的“妮妮”按八折出售，若购进的吉祥物冰箱贴全部销售后利润不少于6000元，求m的最小值？ 【答案】（1）购进“滨滨”400个，“妮妮”600个 （2）m的最小值为200 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程、一元一次不等式的实际应用： （1）设购进“滨滨”x个，则购进“妮妮”个，根据题意列一元一次方程，解方程即可； （2）根据促销规则列不等式，求出不等式的最小整数解即可． 【小问1详解】 解：设购进“滨滨”x个，则购进“妮妮”个． ， 解得， ∴． 答：购进“滨滨”400个，“妮妮”600个． 【小问2详解】 解：由题意得， 解得， 答：m的最小值为200． 25. 阅读材料： 通过小学的学习，我们知道，， 在分式中，类似地，． 探索： （1）如果，则 ；如果，则 ； 总结： （2）如果（其中a、b、c为常数），则求m的值．（用含a、b、c的代数式表示） 应用： （3）利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 【答案】（1）1；；（2）；（3）或或2或 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算，解题的关键是： （1）类似于题干例子变形，再利用分式相等的条件确定出m的值即可； （2）类似于题干例子变形，再利用分式相等的条件确定出m的值即可； （3）类似于题干例子变形，根据得到的结论确定出整数x的值即可． 【详解】解：（1）∵ 又， ∴； ∵ ， 又， ∴， 故答案为：1；； （2）∵ ， 又， ∴； （3） ， ∵的值为整数， ∴的值为整数， ∴或， ∴或或2或． 26. 【教材再现】 （1）期中复习期间，数学老师沈老师将教材42页例5复印下来，请你再一次完成证明． 如图1，，，垂足分别为，，，求证：． 【变式拓展】 （2）沈老师改变（1）中的条件和图形，提出下面的问题，请你解答． 如图2，是等腰直角三角形，，，为中点，交延长线于点，于．求证：． 【学以致用】 （3）在（2）的条件下，如图3，作关于直线成轴对称的，连接，若求的面积． 【答案】 （1）证明：，， ， 在和中， ， ， ． （2）证明：如图，连接，作交于点． 交延长线于， ， ． ∵为中点， ， ， ． ，， ， ． ， 又， ． ，即． ， ， ，． 是等腰直角三角形． ， ， ， ． ， ． 又， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）证明，再利用斜边直角边证明即可得到结论； （2）如图，连接，作交于点．证明，可得，再证明，可得是等腰直角三角形．再证明，从而可得结论； （3）如图，取中点，连接．证明，． 求解．再证明，可得，由（2）得，可得，再利用面积公式可得答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图，取中点，连接． 与关于直线成轴对称， ， ，． 由（2）得， ， ， ． 为中点， ， ， ， ． 为等腰直角三角形， ， ，即． 在与中， ， ， ，． ， 由（2）得， ． ， ． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，本题难度较大，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $