湖南省新高考教学教研联盟2025届高三下学期第一次联考数学试卷

2025届新高考教学教研联盟高三第一次联考 数学试卷 长郡中学，衡阳市入中永州市四中：岳阳县一中，湘潭县一中：湘西州民中：石门县一中： 由遭县一中；益阳市一中：桃源县一中：株洲市二中麓山国际；郴州市一中：岳阳市一中：联合命制 娄底市一中；怀化市三中；邵东市一中；洞口县一中：宁乡市一中：浏阳市一中， 命题学校：长郡中学怀化市三中审题学校：岳阳县一中 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上 无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是特 合题目要求的) 1.已知集合A={x|-1≤1nx≤2}，B=(2,5,9},则A∩B= A.(2} B.(2,5} C.(5,9} D.(2,5,9》 2.若(1十i)x=3+i(i为虚数单位)，则x一= A-2 B.4 C.-21 D.2i 3.已知a,b均为非零向量，其夹角为0，则“sin=0”是“|a十b|=|a一|b川”的 A充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4.若甲组样本数据x1,x2,…,xm(数据各不相同)的平均数为5，乙组样本数据3x十a,3立2十 a,…,3xn十a的平均数为12，则下列说法错误的是 Aa=-3 B.乙组样本数据的方差是甲组样本数据方差的9倍 C.两组样本数据的中位数可能相等 D.两组样本数据的极差可能相等 5.(1十3tan80)(1-√3tan20)= A.2 B.4 C.-1 D.3 数学试卷第1页（共5页） 6.已知f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)十3，且f(2)=3,则f(2025)的值为 A.6072 B.6075 C.6078 D.6069 7设F为双曲线C:等-苦-1(。>0，b>0)的右焦点，P分别为C的两条新近线的倾斜角，已知 点F到其中一条渐近线的距离为1，且满足=5a,则双曲线C的焦距为 A壳 B.2 C.3 D.4 8.已知f(x)=x2e2r十ax|e+2(a∈R)有4个零点，则实数a的取值范围为 A.(-∞，-2√2) B.(-2√2，+c∞) c.(-∞，-2e-2) D.(-2e-t,+o∞) 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9,设椭圆C著+号-1的左右焦点分别为R,,点P在C上，则 AC的离心率为方 B.△PF1F2的周长为5 C.|PF|的最大值为3 D.IPF|2+|PF2|2的最小值为8 10.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c2=b(a十b),则 A.c<b B.C=2B C.B∈(o,5) D.号∈(0,3) 11.如图，一个三角形被分成9个房间，称有公共边的2个房间为相邻房间，一个小球每次从一个 房间等概率地移动到相邻房间，则 A将2个小球放至不同的房间，则房间不相邻的概率为 B.将k个小球放至不同的房间；若房间两两不相邻，则≤6 H C.小球从房间C出发，4次移动后到达房间H的移动路径有6种 D小球从房间C出发，20次移动后到达房间H的概率为品 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.若函数f(x)=|ln(x十a)在(0，十∞)上单调递增，则实数a的取值范围是 13.若函数f(x)=sinx十√3cosx在(0，π)内有2个零点，则w的最大值为 14.将一个圆锥整体放人棱长为2的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内，圆锥的轴线与容器的 体对角线重合，则圆锥体积的最大值为 数学试卷第2页（共5页） 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 某市统计了2024年4月的空气质量指数(AQI),将其分为[0,50]，(50,100]，(100,150]， (150,200]的4组，画出频率分布直方图如图所示. ,频率/组距 0.010 0.006 050100150200*AQ1 若AQI≤100，称当天空气质量达标；若AQI>100,称当天空气质量不达标. (1)求a; (2)从4月的30天中任取2天，求至少有1天空气质量达标的概率； (3)若2024年6月的30天中有8天空气质量达标，请完成下面2×2列联表，根据小概率值α =0.1的独立性检验，能否认为空气质量是否达标与月份有关联？ 空气质量 月份 合计 达标 不达标 4月 6月 合计 n(ad-bc)2 0.10.050.01 附：X2=(a+b)X(c+d)x(a+c)X(b+d) x。2.7063.8416.635 数学试卷第3页（共5页） 16.(本小题满分15分) 如图，在△ABC中，∠BAC=,AB=AC=2,D是边BC上一点，将△CAD沿AD翻折至 △PAD,且平面PAD⊥平面BAD.当△PAB面积最大时： (1)求CD: (2)求二面角A-PD-B的余弦值. 17.（本小题满分15分) 已知函数f(x)=axe(a十1)e2十x (1)当a<0时，f(x)有两个零点，求a的取值范围； (2)若x=0是f(x)的极小值点，求a的取值范围. 10. 70. x:调 数学试卷第4页（共.5页） 18.（本小题满分17分) 抛物线E:y2=2x(p>0)的焦点为F,A(x1,),B(x2,h),C(x,为)是E上的三个点，直线 AB,AC均与圆M:(x-2)2+y2=(r>0)相切，P是E上的任意一点，|PF|+|PM的最小 值为3. (1)求E的方程； (2)若r=1,求∠BAC的取值范围； (3)若12十少为十2为为定值，求元 19.(本小题满分17分) 已知数列{an}满足：am+1=4an一4aw-1一1(n≥2，n∈N"),a1=1,a2=3. (1)若bn=an十1，证明：{b.+1一2b.}为常数列，并求{an}的通项公式； (2)将a1,a2,…,a202s随机填人45X45的方格表中，证明：对任意某行，不存在其它的行或列， 使其各自所有数之和相等； (3)将a1,a2,·,a2o2s所有任意两项的算术平均数按从小到大的顺序排列，得到的新数列的前 n项和为Sm,证明：Sn<2025X22+√ 数学试卷第5页（共5页）2025届新高考教学教研联盟高三第一次联考 数学参考答案 题号1 2 6 7 8 9 10 11 答案B D B A C ACD BCD ABD 一选择题太大题共8小题，每小题5分，共0分) 1.B【锅标1-女。e小=2.5，到A门=2.5 2.C【解析】：--2-.财-=2-)-(2+0)=-2红 3.C【解析】由m00.取9=0，则非零向量a,b同向共线.显然a+b=a一b不成立，反之，如果a+b= a一b成立.两边平方得到cos0=一1，故sin0=0成立.所以“sin0=0"是“a+b=a一b"的必要不充分 条件. 4.D【解析】对于选项A.由题意可知3×十a=12a=一3，故A正确： 对于选项B,乙组样本效据的方差为甲组样本数据方差的3=9倍，故B正确： 对于选项C,设甲组样本数据的中位数为m,则乙组样本数据的中位数为3m十a,当m=一号时，m=3m十a,所以两 组数据的中位数可能相等，故C正确： 对于速项D,不妨设x<<<x,则甲组数据的极差为x,一1，乙组数据的极差为(3十)一(3十4)=3（工， x),又周为甲组数据各不相同，所以两组数据的极差不相等，故D错误 5.B【解析】(1+3tan80°)(1-√3tan20)=1+√3(tan80°-tm20)-31an80°tan20°=1+√3tan60°(1+ tan 80'tan 20)-3tan 80'tan 20*=4. 6.A【解析】由/(2)=f(1+1)=/(1)+f(1)十3=3，得f(1)=0, 所以f(n+1)=f(H》+f(])+3=f(H)+3.故f(m)=f(1)+3(n一1)=3n-3, 从而f(2025)=3×2025-3=6072. 7.D【解析】根据点F到其中一条渐近线的距离为1，可得=1， 且满足计a又产0=吾会m0停故a3c=2 故2c=4. 8.C【解析】令xe=1,则xe十axe+2=t+at+2(a∈R), y=x心其图象如图所示： 当t=0时，x=0, 当0<。时-个1对位3个不同的 当=。时一个1对应2个不同的 当>。时，一个1对应1个 令g(1)=F+a1+2,因为f(x)有4个零点，又g(0)=2>0, 则方程g)=0在E(.。)和1E(日十∞)各有一个零点， 由二次西数的性质可知，只需要g(）<0,即a<一2e-】 数学参考答案一1 二，选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） AD【解标1八一，选项A正骑 B.△PF,F的周长为2a+2c=6,选项B错误： ,PF=a一c=3,选顷正确： DPF十PFI=2a=4,则PR,+|PF,≥PE,PF》=8.当且仅当PF1=PR时取等号，选项D 2 正确。 10.BD【解析】A一(w+)>优→>b,选项A错误： B由余孩定理可得.oB=4士C:_d十aba+bc sinc 2ac 2uc 2c 2h 2sin B sin C-sin 2B. 由于C∈(0，x),2B∈(0.)，剥C=2B或C+2B=π， 若C+2B=元，则A=B,即a=h,此时=ba十D=a十，则C-2,A=B=开此时C-2B,选项B正确： CB+C=3BE(0,x),别B∈(0,5)，选项C正确： n8-出合加9-m背3nB-3-m.由E(o）得如联(o.受)- sin B sin B sin B 则行∈(0,3)，选项D正确. 11.AB)【解析】A.任取两个房间.相部有9种晴况：{A.C,B,C,(C.D,{B.F.{D.H,{E,F.{F,G,G,H, H,所以任取两个房同不相部的视车为1一是-选项A正确： Bk=6时，可将小球放在房间A.B.D,E,G,I,此时房间两两不相部，k=7时，房间C,F,H均与3个房间相邻，从9 个房间任意抽走2个房间后，总有相邻的房间，所以≤6，选项B正确： C.小球从房间C出发，4次移动后到达房间H有7种路径：C→A→C→D→H,C·B→C→D-·H,C→B→F→G一 H,CDCD-H.C-D~HD-H,C+D+H+GH.CDH1-H,选项C错误； D.设小球从房间C经过n次移动到达房间H的概率为P,n为偶数， 小球在房间C,2次移动的路径有：CAC,CBC.CDC,CBF,CDH, 小球在房间F,2次移动的路径有：FE~F,F→B→F,F(G→F,F→B→C,F(GH, 小球在房间H,2次移动的路径有：I→-→H,(·H.I)→1，H-D*C.HG→F. 所以，小球从房间C出发，经过偶致次移动后一定在房间C,F,H之一，且当小球经过n次移动到达房间H时，第 一2次移动后必在房间C,F,H之一， 小球从房同浅F经硅2次移动到达房间H的概率均为行×号-君， 小球以房同日整过2次移功到达房同H份概率为分十君×号十甘×}号 1 “A=名 ∴a=31-2 341 六p=021选项D正确. 数学参考答案一2 三，填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.[1,十)【解析】由于y=nx在(0.1)上单调递减，在(1，十©)上单调递增，将y=lnx向左平移至少一个单 位即可，故a>1. 18.8【解析1/u)=sina十3cosa=2 2sin十5.由于求w的藏大位，故只考虑w>0的情况.当E0:x)时， r+晋∈（受om+受），若有2个零点，则om+晋∈(2x,3],期w的最大值为g. 14.【解析】设正方你容器为AID-A,BCD,在线MAB.AD上分别取点E.F,G.使得AE=F=AG 则△EFG为等边三角形，设△EFG的内切圆图心为(O,半径为r,即求图雏C(O体积的最大值. 当手面选运方休中心时一受只专店r(o]的情元， .EF-FG-E-23r.AE=AF=AG=6r. ,A,O,C三点共线，且ACL平面EFG ∴.A)=√A-(0=v2r. ∴.(0=23-2r. ew=r(2v3-Br=2-+6) 3 令)=-t+62e(o.] f(.r)=-3.r+26r, 在(o]上单调地增. =9）=36. “国维C0体积的最大植为” 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.【解析】(1)由图可得，(0.010十0.006十2)X50=1,解得a=0.002.…3分 (2)4月空气质量达标的频率为(0.006十0.002)×50=0.4，天数为30×0.4=12，……5分 设A=“从4月的30天中任取2天，至少有1天空气质量达标”， C94 则P(A)=1一C=145 …7分 (3)补全列联表如下： 空气质量 月份 合计 达标 不达标 4月 12 18 30 6月 8 22 30 合计 20 40 60 零假设为H:空气质量是否达标与月份无关， 根据表中教据.计算得60以22.8人=1.2<2.706，…11分 30×30×20×40 根据小概率值a=0.1的独立性检验，没有充分证据推断H不成立，因此可以认为H成立，即认为空气质量是否 达标与月份无关，………4………4…4…4………4…413分 16.【解析】(1)：PA=AC-AB-2. Sw=2×PAXAlX sin∠PAB=2sin∠PAB, 数学参考答案一3 △PAB面积最大时，ABLPA,,1分 过点P作PH⊥AD交AD于点H 平面PAD⊥平面BAD.平而PAD∩平面BAD=AD,PHC平面PAD,PH⊥AD. ,.PH平而BAD. 'ABC平面BAD, .PH⊥AB ,PH∩PA=P,PHC平面PAD,PAC平面PAD, .AB平面PAD. ADC平面PAD ABAD.…5分 在△AD中.∠DM-∠CA=吾∠AC=,AC=2, 由E孩定理n2xm界C可得CD-2 AC CD 3 CD=23 3· 小…7分 (2):ABLAD,平面PAD平面BAD, ,以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系， A0.00.B02.0.n20.0. △PAD中，PA=2,∠PAD=F,且P平面xA, P(W3,0,1）.… …9分 设平面PBD的法向量n1=(,y,), n·Bd=0,V3r-2y+2=0. 则 “即23 令13，则n=(3,1,一1）…12分 n·i=0.32x-2y=0. 同理可得.平而PAD的法向量n=(0,1,0),… ma》.洁- ∴由图可知，二面角APDB的余孩值为得 …15分 17.【解析】(1)f(x)=a(x+1)e-(a+1)e十1=.e一e2十1.1分 ,f(0)=0, …2分 a<0, .x∈(-6,0)时，了(x)>0:x∈(0，十)时，广(x)<0, f(x)在（一0,0）上单调递增，在(0，十0)上单调递减，…1分 :一四时，令1=-十0，别心=一台0此时x- →十时，f(x)=[(1)1门e十T一,…6分 ∴.f(x)有两个零点只需f(x)=f(0)=一a一1>0. 数学参考答案一4 ,,以】。小44小小…44小4小444……小4小小44小小444小44小小小小444小4小4小小44小小4小4…7分 (2)由(1)知，当a<0时，江=0是f(x)的极大值点.不合题意：8分 当a=0时，f(r）=一e十x: f(.)=-e+1. .x∈(-，0)时，f(x)>0:x∈(0，十eo)时，f(x)<0, .f(x)在（一o©，0）上单调递增，在(0.十6∞)上单调递减，即x-0是f(x)的极大值点，不合题意：·9分 当a>0时，f(x)=a.e-e十1，f(0)=0, if(r)-[alr-D-1le-ae[-(1-1)]. (-…)时f)0(日-1.+)时f)>0… f在(。。1小上单洞递减，在（日-1，十o)上单调造增，…12分 0<a<时，}-1>0.0∈(-o,日-)，期)在(-，0上单调递增，在(0.-)上单调递减：即=0是 f()的视大值点，不合题意：…13分 ,。一1=0，f(x)≥0，则f八x)在R单调递增，不合题意 >1时，}-1<0.0e(日1，十)，期)在（日-1,0）上单调递减，在0，十四)上单调适增，即=0是) 的极小值点， 综上，>，………15分 18.【解析】(1)分别过点P,M作抛物线E的准线：r=一 的垂线，垂足分别为PM, PF十PM=Pp+PM≥MM=2+号，当且仅当p,P.M共线时取等，…2分 2十号=3，pp=2，…3分 E的方程为：y=江，小…4分 (2)AB.AC均与國M相切 ∠BAC=2∠BAM,且i血∠BAM=AM-2)+ 2 m∠BAC=cos2∠BAM=1-2im∠BAM=1-（G-2y+X=1- 2 4*6分 +4 ,x≥0… im∠Be[2. ∠BACe(o.] …8分 (3)A(y),B(x,), .直线AB:(y-y)(x-)-(m-x)(y-)=0. -尊西-且到， .直线AB:4x一(y十边)y十3y=0,… …10分 :直线AB与回M相切， d=8十My =r,即(y一)yg十2奶(8-r)y十61-（3+16)r=0,…12分 V16+(y十y) 同理可得.(-P)+2y(8一r)y+64-(y+16)2=0, ·为y是方程(-r)y+2y(8-r)y+64-(y+16)r=0的两个根， -,考=64-(+16 …十y=2y(r-8) 数学参考答案一5 y+y+=y+)+-2Y二8》+61-士16r-(-16y+61-16配 3- yi-r y7 6--16r=16±88 .r=23-2或23+2. +17分 19.【解析】(1)由题意得a.=b.一1，(b.-t一1)=4(h.一1)一4(h.1一1)一1， .h.--2h=2(h-2b.1), .h.1-2b=2"1(b一2h),其中6=4,6=2， n12b0.脚612h}为常数列，…1分 .6.12h.-2h-21.h.=2", 以=2l,……3分 (2)对任意装行.不妨设da,d,且>i>…>i0· 则S-4十a十…十a-(2-1)+(2-1)十…+(2-1)>2-1，…4分 考虑另外的某行或列，不妨设a,山，a(记为（￥）)，且j>j:>…>j加， 则S=a,十4+…+a=(2-1)+(2-1)+…+(2-1) ①若()为行，则知…，ij…,j为互不相同的正整教， 不妨设i>j1,则≥j1十1， ∴.S≤(2-1)+(21-1)+(21-1)+…+(21-1) =(2十21十…十24)-45≤(2*1-1)-45 ≤(2-1）45<S:…7分 ②若()为列，则该列与上述行恰存在一个交又的相同格，在S与S中同时去掉这个和同数，对于斜余的各自4料 个数，这88个数仍各不相同，类似①进行考虑，知S与S仍不相等，…8分 综上所述，命题得证 (3)对于任意互不相等的正整数i,k,1,不妨设>>>4， 由(2)可知“4>a青4>“>4a>“a>“a 2 2 2 2 2 2 故知所有算术平均数的排序应为： a十a十a4十aa十ata<<4mta,…l0分 2 2 2 2 2 2 易知新教列的项数为Cs,故≤(C一2025×1012， 对Vm≤Cn∈N”,3k,1∈N,使得n=(C十1,0≤1≤k-1.知1k≤2025， 则S。为1，a,中任两项的算术平均数之和，再加上a与a,…,4的1个算术平均数之和， 8=32+4 2 4小12分 分++ 1 2,ge-1D+号g-1+22-D 2 2 6号.g-6-2》+2-D+ 2·(21-1-2) =(k+1-1D.2+2-D-1… …15分 2 <(k+t)·2 <2025×2×2*, 由于≥C则2》≤得发-长-2r≤0. :k1++8m1+1+v8m=1+√2m .5.<4050X2m=2025×2m,…17分 数学参考答案一6