精品解析：天津市第五中学2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题

数学学科试卷 一､选择题（共9道小题，每题5分） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“方程有实数根”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）． A. B. C. D. 4. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 函数在区间的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是双曲线的左、右焦点，过 的直线与双曲线 交于两点．若，则双曲线的渐近线方程为 A.  B. C. D. 7. 已知球为正三棱柱的外接球，正三棱柱的底面边长为，且球的表面积为，则这个正三棱柱的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数.对于下列四种说法，正确的是（ ） ①函数的图象关于点成中心对称 ②函数在上有个极值点. ③函数在区间上的最大值为，最小值为 ④函数在区间上单调递增 A. ①② B. ②③ C. ②③④ D. ①③④ 9. 已知定义在R上的函数，若函数恰有2个零点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､填空题（共6道小题，每题5分） 10. 已知是虚数单位，化简的结果为_______． 11. 二项式的展开式中的系数为_____． 12. ________． 13. 已知直线与圆有两个不同的交点，则k的取值范围是___________． 14. 已知x，，，则的最小值______． 15. 如图，在中，，点是的中点，点在边上，交于点，设，则__________；点是线段上的一个动点，则的最大值为__________． 三､解答题（本题共75分） 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c，其中，且. （1）求c的值； （2）求的值； （3）求的值. 17. 如图，垂直于梯形所在平面，，为的中点，，，四边形为矩形. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的大小； （3）求点到平面的距离. 18. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左焦点为点F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3. （1）求椭圆C的方程； （2）设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，线段PQ的中点为T，直线OT与椭圆C交于两点M，N，证明：. 19. 已知等比数列是递减数列，的前n项和为，且，，成等差数列，.数列的前n项和为，满足，. （1）求和的通项公式； （2）若，求 20. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线的斜率为4，求a的值； （2）当时，求的单调区间； （3）已知的导函数在区间上存在零点．求证：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学学科试卷 一､选择题（共9道小题，每题5分） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合B，再求并集、补集可得答案. 【详解】集合， 则. 故选：D. 2. 已知，则“”是“方程有实数根”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程有解的等价条件求出m的取值范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】若方程有实数根，则判别式，即， 即“”是“方程有实数根”的既不充分又不必要条件， 故选：D． 3. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性和对数函数的单调性并与特殊值比较即可求解. 【详解】， ， ， 又， 所以. 故选：B. 4. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】若α∥β，mα，mβ，则m，n可能平行也可能异面，故B错误；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或nα，故C错误；若mα，nα，m∥β，n∥β，由于m，n不一定相交，故α∥β也不一定成立，故A错误；若m∥n，n⊥α，根据线面垂直的第二判定定理，我们易得m⊥α，故D正确. 5. 函数在区间的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】令， 则， 所以为奇函数，排除BD； 又当时，，所以，排除C. 故选：A. 6. 如图，是双曲线的左、右焦点，过 的直线与双曲线 交于两点．若，则双曲线的渐近线方程为 A.  B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用双曲线的定义求出和的值，再利用勾股定理求，由得到双曲线的渐近线方程. 【详解】设， 由双曲线的定义得：，解得：， 所以， 因为，所以， 所以双曲线的渐近线方程为. 【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力. 7. 已知球为正三棱柱的外接球，正三棱柱的底面边长为，且球的表面积为，则这个正三棱柱的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用球的表面积公式可求得，根据正棱柱的外接球半径满足可构造方程求得正棱柱的高，代入棱柱体积公式可求得结果. 【详解】设正三棱柱的高为，球的半径为， 球的表面积，解得：， 正三棱柱的底面是边长为的等边三角形， 的外接圆半径， ，解得：， . 故选：B. 8. 已知函数.对于下列四种说法，正确的是（ ） ①函数的图象关于点成中心对称 ②函数在上有个极值点. ③函数在区间上的最大值为，最小值为 ④函数在区间上单调递增 A. ①② B. ②③ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】对于①，，则函数的图象不关于点成中心对称；对于②，由的范围，得出的范围，利用正弦函数的性质可得取到极值点的位置；对于③，由的范围，得出的范围，利用正弦函数的性质可得出函数的最值；对于④，由的范围，得出的范围，利用正弦函数的单调性判断即可． 【详解】对于①，，的图象不关于点成中心对称，错误； 对于②，，则，则当分别取时，函数取到极值，正确； 对于③，，则， ，正确； 对于④，，则，由于正弦函数在上不单调，错误； 故选：B 9. 已知定义在R上的函数，若函数恰有2个零点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把函数恰有2个零点转化为和有两个交点.利用图像法解. 【详解】因为函数恰有2个零点， 所以和有两个交点. 作出函数的图像如图所示： 因为时，和相交，所以只需和再有一个交点. . 当时，若与相切，则有的判别式，此时. 当时，若与相切，则有的判别式，此时. 当时，若与相切，设切点为. 则有，解得：. 所以要使函数恰有2个零点， 只需或或，解得： 或或. 故选：D 【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解． 二､填空题（共6道小题，每题5分） 10. 已知是虚数单位，化简的结果为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数代数形式的运算法则即可解出． 【详解】． 故答案为：． 11. 二项式的展开式中的系数为_____． 【答案】80 【解析】 【分析】由二项式展开式通项公式确定的系数. 【详解】解：由二项式的展开式的通项公式得： 令，解得， 即二项式的展开式中的系数为：， 故答案为 【点睛】本题考查了二项式展开式通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题 12. ________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用换底公式及对数运算性质计算即得. 【详解】 . 故答案为： 13. 已知直线与圆有两个不同的交点，则k的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离公式即可求解. 【详解】圆心为半径为，故圆心到直线的距离满足，解得， 故答案为： 14. 已知x，，，则的最小值______． 【答案】 【解析】 【分析】将展开，利用基本不等式即可求解. 【详解】 ， 当且仅当即，的最小值为， 故答案为： 15. 如图，在中，，点是的中点，点在边上，交于点，设，则__________；点是线段上的一个动点，则的最大值为__________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】利用平面向量的基本定理计算即可得空一，利用平面向量数量积的运算律计算即可得空二. 【详解】 设， 由题意可知，， 则， 因为不共线，所以有， 此时； 可设， 则， 当重合时取得等号. 故答案为：；. 三､解答题（本题共75分） 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c，其中，且. （1）求c的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理转化为边的关系，联立条件得解； （2）由余弦定理及同角三角函数基本关系得解； （3）由二倍角的正余弦公式及两角和的余弦公式求解即可. 【小问1详解】 ， ， ，解得， . 【小问2详解】 由余弦定理可得，又， ，. 【小问3详解】 因为， 所以. 17. 如图，垂直于梯形所在平面，，为的中点，，，四边形为矩形. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的大小； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）设，连接， 四边形为矩形，为中点，又为中点，， 又平面，平面，平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，由三角形中位线性质可得，由线面平行判定定理可得结论； （2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法可求得结果； （3）利用点到平面距离的向量求法可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 设平面的法向量， ，令，解得：，，； 轴平面，平面的一个法向量， ，则平面与平面的夹角为. 【小问3详解】 由（2）知：，，， 由平面的法向量， 点到平面的距离. 18. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左焦点为点F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3. （1）求椭圆C的方程； （2）设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，线段PQ的中点为T，直线OT与椭圆C交于两点M，N，证明：. 【答案】（1） （2） 证明：设直线所在的直线方程为， 联立方程组，整理得， 所以，解得， 设，则， 所以，则，即， 所以的方程为， 联立，解得或，所以， 则， 又由 ， 又因为的中点， 可得， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）设的方程为，联立方程组，求得，得到，再由的方程为，联立方程组，求得，进而求得，再由弦长公式，求得，结合，即可得证. 【小问1详解】 解：由椭圆的离心率为，且过点F且与x轴垂直的直线截得的线段长为， 可得 ，解得，所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线问题的方法与策略： 1、涉及圆锥曲线的定义问题：抛物线的定义是解决曲线问题的基础，它能将距离进行等量转化．如果问题中涉及圆锥曲线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用圆锥曲线定义就能解决问题．因此，涉及圆锥曲线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用圆锥曲线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化． 2、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线方程联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时注意向量、基本不等式、函数及导数在解答中的应用. 19. 已知等比数列是递减数列，的前n项和为，且，，成等差数列，.数列的前n项和为，满足，. （1）求和的通项公式； （2）若，求 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列与等比数列的通项公式、求和公式列出方程求解即可； （2）分为奇数、偶数时，求奇数项的和，偶数项的和，即可求解. 【小问1详解】 设数列的公比为，依题意，， 由是递减数列，解得，因此； 数列，，当时，， 而满足上式，因此， 所以的通项公式为， 的通项公式为. 【小问2详解】 当n是奇数时，，则，， 两式相减得：， 因此； 当n是偶数时，， 则， 所以. 【点睛】关键点点睛：由求时，需要分为奇偶，分别求出偶数项的和与奇数项的和. 20. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线的斜率为4，求a的值； （2）当时，求的单调区间； （3）已知的导函数在区间上存在零点．求证：当时，． 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义运算即可得解； （2）对进行分类讨论，根据导数的符号判断函数的单调性； （3）由题可得，进而可得函数的最小值为，再构造函数，通过导数证明即可得证. 【小问1详解】 函数的定义域为， 由，可得， ∴， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，， ①当时，令，解得或， 令，解得. 所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. ②当时，，所以，函数的单调递增区间为， ③当时，令，解得或， 令，解得， 所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. 【小问3详解】 因为导函数在区间上存在零点，则， 由（2）可知在上单调递减，在单调递增， 所以在上的最小值为， 设，，， 令，因为， 所以，在上单调递减， 又，所以在上单调递减， 又因为， 所以，即， 所以当时，. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，，把问题转化为证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $