第15章 直角三角形-【学霸大练兵】2025年中考数学总复习

第十五章直角三角形 答饰接妈 第3鳞图 10在△AC中，A=2,4C=23,∠C=30,期线段的长为 如极点初直角三角形的性因 九.4 B.22 C.4或22 D.2或4 1.知图，直线：0，R1△AC知图成置，若∠1=2这“，L2=0,魁∠B的度数为 11,在△AG中.AB=15.AC=20.D是边G所在直线上的点，AD=12,D=9,期G= A62 B.52 C38 D,28 12.在△AC中，∠C=0°，有一个锐角为60°，AB=4,点D为BC的中点，速接AD,渊点C到中线AD 的率离为 13.如图，已知在四边形A8CD中，LA=∠C=45,∠ABD+∠CDB=180°，A5+CD=32,Sa4s=25w (S表示△D的而积，SAm表示△CD的面积)，期BD的长为 知识点围锐角三角函数的概念 14.在直角△AC中，∠C=90°AB=3AC=2,则nA的值为 第1题图 第2图 第3顾图 第4级图 2.知图，在t△ABC中，∠C-0°，LB=30,∠R4C的平分线AD交BC于点D,GD-5,则D的长是 A号 c 15.在和△ABC中，∠C90',C-【,MB-2,则∠A的余弦置等于 A.2 B.25 C.3 D.33 3.如图，在△45C中，∠C=0°，∠B=30°，点P是边AB上一点，点D是边4C上一点，将△AC沿PD折 e D.3 叠，快点A落在边BC上的A处，若A'P∥AC测∠PD'的度数为 t6.在和△ABC中，乙C90',AC-2,AB-3,则unB的值为 4.知图，在肚△ABC中，∠ABC=90°，乙4C=40,D为斜边AC的中点，期∠BDC的度数为 5.已知AD为△ABC的高，AD3,BDm5,若∠C=30,附△ABC的而积为 A子 吗 c 。 6、在等三角彩A院中，∠A=0”,AB=8,则边AB上的底D的长为 17.在△AB配中，∠C=90°，∠B“a若BC-m,则AB的长为 知思点2如股定理及其逆是埋 A B.m cos a C,·sina D.用+画a 7.如图，在△AC中，∠AGB=90°，AC=2,BC=6,点D是AB的中点，则CD的长为 A.而 18.已知在和△ABC中，乙C=0°，AC=2,BC.3,财下列结论正确的是 B.23 C.3 D.4 人mA-号 B.tan 3 CmA-号 mA号 超识点解直角三角形 4-3-2-101234 19,在m△ABC中，∠C=90°，LB=50°，AB=9,期C的长为 第7题图 第8题图 A.9sin 50 B.9c0s50的 C.91s40 D.9cos4 8,图，在数轴上点A表不的数是2，点G表示的数是-2，∠AC=90°C=24C,以点A为圆心.AB的 观在△c中，∠C=90,如果BC=2,m=子，都么服的长是 长为半径面弧交数轴于点D,则点D表示的数是 ( A25-4 B.4-23 C.25-2 D.2-25 号 B.3 C.5 D.丽 9.如图，在R1△4CB中，LAGB=0,GD和球分别是AB边上的高和中线若AD=2,DE=3,喇D的长 是 ( 2孔在△M5c中，∠C=90,C=8m,emA=号，周4C的长为 31 A.3 B.4 C.5 D.25 A.3 em B.6 em C.8 em D.10 em 22在△48C中，∠C=90,nA-言，sC:10,期△C的面积为 33,如图.沿AB方向果桥修路.为加快施工送度，在直线AB上朝的另一边的D处间时施工取∠AC= 1s0°，C=60m,上D=0°则B,D两点同的距离是一m,(结果请保根号)， 2五.在△AC中，nB=4C=25.AD周边C上的高，LAC=45,测C的长为 34.如阁，一般汤船从C德出发，销售一找货物至A港，完成销售后需前柱正南方向的B港购进材料，已 知在G港测得A港在北偏东5方向上，测得B德在南偏东8方向上，且量得B、C之间的单离为 24在△C中，A5=AC=5,BD是商.且cs∠ABD=号期C= 1600米，鼠据上述测藏站果，请计算A,B之何的距离是多少？ 25,已知△C是以4B为-腰的等腰三角形，AB=5,m∠B4C=2,期△ABC的底边长为 (精确到1米，参考数据：0s583可05299，in58=0.8480) 26,等边△A5C中，点D在射线G4上，且R=2AD.附an∠DC的值为 2五在领角△c中，mA:3沿emR=专若相=15，则AC: 28在△A8C中，极=4C,点D在直线C上，连接0，m∠BM0=京45=32，师CD的长 为 氢34觉围 如级点图解直角三角形的应用 9,如图，电线杆C⑦的高度为3米，周机拉线AC与BC相互垂直.A,D.B在月一条线上，∠CAB=a,期拉 线汇的长度为 43 B. 3 win o C.3cmm a D.- 3 n 包网a 35.王老箱周末到公因爬山，山的形状如图①，爬山路线示意图知因2，王老师从山再A出发，沿AB走400 米到点：，再沿C到山摸点C已知山高CF为354米，部∥4F于点D,BD⊥AF,CE⊥E交AD的廷 长规于点，1-0°∠20， (们求0的长： (2)求王老年从山脚A到达山顶C共走了多少米？〔结果精翰到1米) 第9避围 第30题蜜 第3引题围 (参考数据：in50°0.77.cs50°0.64，lam50°L.19) 0.如图，一把梯子檬在正直水平范面的墙上，棉子AB的长是6米若子与地而的夹角为年，测规子底 端到璃面的距离AC的长为 A6·c0%e米 B,6·sina米 C6米 D.米 eos a sin a 礼，知图，某段河流的两岸互相平行，为测量此段的河宽(B与河岸套直)，测得AG两点的距离为m 米，∠ACB=B,则河宽AB的长为 周D 闲彩 Am·an9 B.器·in8 C.m·心66 D。 能35颜里 32.如图，菜同学用仅#衡量一保大树AB的高度，在G处测得LAD0=30°，在E处测海∠AF0=60",C5 =8米，仅器膏度CD=1米，这保树AB的高度为 米《结果用含根号表示》 第32酸葡 算33能雨22.60【解析】如答图，：AE⊥BE,∴∠E=90°.BE∥ 24.(1)证明过程见解析：(2)80°.【解析】(1)证明： AC,.∠EAC=90°.AB平分∠DAE,∠1=∠2 ∠ADB=120°，∴.∠ADB+∠ADC=180°， :AB=AC,点D是BC的中点，.∠1=∠2=∠3= ∴.∠ADC=180°-∠ADB=180°-120°=60 30°，∴.∠BAC=∠1+∠3=60°，.△ABC是等边三角 AE⊥BC,∴.∠AEC=90.∠C+∠CAE=90° 形，.∠C=60° ∠CAE=30°，∴.∠C=90°-∠CAE=90°-30°= 60°，，∠ADC=∠C=60°，∴，AD=AC,.△ACD为等 边三角形： (2)由(1)，得∠C=60°.在△ABC中，∠B+∠C+ ∠BAC=180°，∠B=40°，∴.∠BAC=180°-∠B-∠C =180°-40°-60°=80°. D 第22题答图 25.(1)证明过程见解析；(2)△BDE,△DEC,△DEF和 23.75°或135或30【解析】.△ABC是等边三角形， △BFC为等腰三角形.【解析】(1)证明：：△ABC是等 .∠ABC=∠ACB=∠BAC=6O°，AB=BC=AC, 边三角形，.∠A=∠B=∠C.DE∥BC,∴.∠ADE= 如答图①，当CD为斜边时，BD=BC,∠CBD=90°， ∠B,∠AED=∠C,∴.∠A=LADE=∠AED,.△ADE BD=AB,∠ABD=∠DBC-∠ABC=30°，∠ADB= 是等边三角形： (180-LABD)=75,如答图②，当BC为斜边时. (2)解：△BDE,△DEC,△DEF和△BFC为等腰三角 形.由(1)可知，AB=AC,∠A=60°.D,E分别为AB, ∠DBC=45°，BD=CD,则∠ABD=60°-45°=15 AC的中点AD=2AB,AE=2AC:AD=AB, ,AB=AC,AD=AD,△ABD≌△ACD,,∠BAD- LCAD-LBAC=30LADB=180-ZBAD- :△ADE为等边三角形AD=DE=AB, ∠ABD=135;如答图③，当BD为斜边时，∠BCD= ∴BD=DE,即△BDE为等腰三角形，同理△DEC为等 90°，∠BDC=45°，BC=CD,.∠ACD=90°-60°= 腰三角形.AB=BC,E为AC的中点，÷∠ABE= ∠CBE=30°.：∠ADE=∠ABC=60°，.DE∥BC 30AC =BC.AC-CD.ADC-(1- ∴.∠EBC=∠DEB=30°，同理∠BCD=∠EDC=30°， ∠ACD)=75°，.∠ADB=∠ADC-∠BDC=30°.综上 ∴FB=FC,DF=EF,即△DEF和△BFC都为等腰三角形 所述，∠ADB的度数为75或135或30° 图① 图② 图3③ 第23题答图 第十五章直角三角形 1.C2.B BD=AD=CD=2AC,∠DBC=∠ACB=50, 3.60【解析】：∠C=90°，∠B=30°，.∠A=60° △A'PD由△APD翻折而成，∴.∠A=∠PA'D=60°， .∠BDC=180°-∠ACB-∠DBC=80 ∠PDA=∠PDA'.A'P∥AC,∠A'DC=∠PA'D= 5.63或3【解析】当△ABC为锐角三角形时，如答图①， 60°，∴，2∠PDA'+∠A'DC=180°，即2∠PDA'+60°= :AD为△ABC的高，.∠ADC=90°.∠C=30°，.AC 180°，解得∠PDA'=60 -2AD6.CD=AD=3=BC AD= 4.80【解析】在R1△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=40°， ∴.∠ACB=90°-40°=50°.D为AC的中点， 7x(5+35)×3=63: 23 当△ABC为钝角三角形时，如答图②，：AD为△ABC的 △CDE中，CD=√CE-DE=4.故选：B. 高，∠ADC=90°.：∠C=30°，AC=2AD=6,.CD 10.D【解析】分两种情况讨论：①∠B为锐角时，如答图 =3a0=355c=28C·AD=分×(35-B)× ①，过点A作AD⊥BC,在Rt△ACD中， 3=33.综上，△ABC的面积为65或35. AC=23,LC=30°，.AD=3,CD=√AC-AD =√(25)2-(5)2=3.在Rt△ABD中，AB=2,AD =5,BD=√AB2-AD=√22-(5)2=1，BC+ BD+CD=1+3=4; 图①D 图② ②∠B为钝角时，如答图②，过点A作AD⊥BC交CB 第5题答图 的延长线于点D,同①可求得：CD=3,BD=1,∴BC= 6.4或43或3（解析】分三种情况：当AB=AC=8时，如 CD-BD=3-1=2.综上，BC的长为2或4.故选：D. 答图①，：CD⊥AB,∠ADC=90°.∠A=30°，.CD =24C=4:当BM=BC=8时，如答图②，∠A ∠ACB=30°，.∠DBC=∠A+∠ACB=60°.CD⊥ 图① 图2 AB,.∠ADC=90°，.∠DCB=90°-∠DBC=30 第10题答图 BD=2BC=4,DC=5BD=45;当CA=CB时，如答 11.25或7【解析】如答图①，当点D在线段BC上时，AD =12,BD=9,AB=15,.AD+BD2=AB2,∴△ABD是 图③∠A=∠B=30:CD1AB,AB=8,AD=7 直角三角形，且∠ADB=90°，∴.∠ADC=90°，，DC= 4,0c-0m岩后部 √AC-AD2=V202-122=16,.BC=BD+CD=9+ 16=25; 综上所述，边B上的高CD的长为4或43或5， 如答图②，当点D在CB的延长线上时，同理可得，DC =16,BC=CD-BD=16-9=7.由于AC>AB,点 D不在BC的延长线上综上所述，BC的长度为25或7. 图① 图② 图3 第6题答图 图① 第11题答图 7.A【解析】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2,BC=6, AB=√AC+BC=22+62=2/10 122或2（解析】如答图①，当L84C=60©时，作 13 D为斜边8的中点，CD=74B=7×2,而 CM⊥AD于点M,在Rt△ABC中，∠BAC=60°，AB=4, √10.故选：A. AC=2AB=2,BC=5AC=25.:点D为BC的 8.D【解析】小：数轴上点A对应的数是2，点C对应的数是 -2,.AC=4.∠ACB=90°，由勾股定理，得AB= 中点，CD=之BC=5,AD=√CD+AC= √AC+BC=25.:以点A为圆心，AB长为半径画弧， √(3)2+2=7.：△ADC的面积=2AD·CM=号 交数轴于点D,AD=AB=25.:点D在原点的左侧， .点D表示的数为-(25-2)=2-2/5.故选：D. cDACTc.C 9.B(解析】，∠ACB=90°，CE为AB边上的中线，，AE= 如答图②，当∠ABC=60时，作CN⊥AD于点N,在Rt CE-BAD=2,DE=3.AE=5,CE=5,R △ABC中，LABC=60°，AB=4,BC=2AB=2,AC 24 =5BC=23.:点D为BC的中点CD=2BC=1, 10,AB= BC=10=26,AC=√AB-BC= sin= 5 13 .AD=AC2+CD=√(23)2+12=/13.△ADC 的面积=2AD.CN=24C·DC../CN=25, V26-10=24△ABc的面积=之4C·BC=号× 24×10=120. Cw=239 2智“点C到线0的矩离是安 23.25+2或25-2【解析】如答图①，当AD在△ABC内 部时，在△ABC中，AD是边BC上的高，∴AD⊥BC,即 ∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ACD中，∠ACD=45°， .∠DAC=45°.AC=22,.DC=AD=AC·sin459 图① 图② -27×号-2，在m△ABD中，血B=,A0=2, 第12题答图 13.5【解析】如答图，作△BCD关于BD的对称△BND, 血B侣-分，即AB=4,根据勾股定理，得0 BN交AD于点E, √AB2-AD=√4-2=23，则BC=BD+DC=25 ∴.∠N=∠C=45°，∠CDB=∠NDB,DN=CD. +2;如答图②，当AD在△ABC外部时，则BC=BD- ∠CDB+∠ABD=180°，∴.∠ABD+∠NDB=180, DC=25-2.综上所述，BC的长为23+2或25-2. .AB∥ND,.∠A=∠EDN=∠ABE=∠N=45°， ·△AEB,△NED为等腰直角三角形， AE=BE=号B,E=DE=号D=受CD,AE+ D 图① 图② DE=BE+NE=2(AB+CD)=3,即AD=BN=3.又 第23题答图 SAo=7AD·BE,SAm=Sar=2BN·DB,2AD 24.10或310【解析】分两种情况： ①如答图①，当△ABC是锐角三角形时，在△ABD中， ·BE=2×2BN·DE,BE=2DE,即ME=2DE.又 BD是AC上的商，AB=5,c0 LABD=子，BD=3, AE+DE=3,.3DE=3,∴.DE=1,BE=2.∠BED= ÷AD=AB-BD=√5-3=4，CD=AC-AD=5- 90°，.BD=√22+12=√5. 4=L.在R△BDC中，BC=√BD+CD=√9+I=√1O; ②如答图②，当△ABC是钝角三角形时，在△ABD中，BD 是边4C上的商，B=5,om∠ABD=子BD=3AD= 第13题答图 √AB-BD=√5-3=4，.CD=AC+AD=5+4=9,在 14.A15.A16.B17.A Rt△BDC中，BC=√BD2+CD=9+8I=3/10 18.B【解析】∠C=90,AC=2,BC=3,AB= cC3:Bm4-2 后后丽微法 图① 图劉2 19.B20.B21.B 第24题答图 22120[解折1在△MBC中，∠C=0°，血A=音，BC= 25.√10或8【解析】①如答图①，当AC为腰时，过点B作 25 BDLAC,.wLIC=子0-县设BD=3,A0 cmB-C-号设am=4,BG=5,在△BC0 =4x,在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2,即(4x)2+ 中，由勾股定理，得CD2=(5k)2-(4k)2,∴CD=3k (3x)2=52,解得x=1(舍去负值)，∴AD=4,BD=3, 血A光=3沿4C=而k由勾股定理，得 AC ∴CD=AC-AD=1,BC=√BD2+CD=32+1= AD=k,∴AB=k+4k=5k=15,,k=3,∴.AC=3/10 √10； ②当BC为腰时，过点B作BD⊥AC,如答图②， :tLBAC=子0子设BD=3,A0=4,在 △ABD中，AD2+BD2=AB2,即(4x)2+(3x)2=52,解 得x=1(舍去负值)，∴AD=4,AC=2AD=8.综上所 D 第27题答图 述，△ABC的底边长为√10或8. 28.4或12【解析】①如答图①，当点D在线段BC上时，过 点D作DE⊥AB于点E.在Rt△ABC中，AB=AC, .∠B=45°，BC=√AB+AC=√(32)2+(32)2=6. 设DE=,则BE=xm∠MD==之AE= 2x,..AB =AE+BE =2x+x=3x=32,x=2,.DE 图① 图2 =BE=2,.BD=√DE+BE=√(2)2+(2)2= 第25题答图 2,∴CD=BC-BD=6-2=4: 26,35或【解析】如答图①，当D在4C之间，“在等边 ②如答图②，当点D在CB的延长线上时，过点D作 DF⊥AB交AB的延长线于点F,由(1)，得BC=6, △ABC中，AB=AC=BC,∠C=60°.AB=2AD,∴.AD ∠ABC=45°，∴∠DBF=45°，∴.DF=BF.设DF=BF =CD,∴.BD⊥AC,.∠BDC=90°，∴.∠DBC=30°， .tm/.D0C =m∠80=张=E-分A8= ·DF=BF=AB=32,BD=√BF2+DF= 如答图②，当点D在CA的延长线上时，过点D作DE ⊥BC于点E,在等边△ABC中，AB=AC=BC,∠C= √(32)2+(32)2=6，÷CD=BC+BD=6+6=12. 综上所述，CD的长为4或12. 60°.AB=2AD,∴设AD=x,则AB=AC=BC=2x nE1BC∠DEc=90∠C0E=30,EC=号 图①E 图② 第28题答图 29.DI解析：CD⊥AB,.∠CAD+∠ACD=90 :AC⊥BC,.∠ACD+∠BCD=90°，∴.∠BCD=∠CAD 图① 图2 =a在△BCD中，BCD-C CD =3,.BC 第26题答图 27.3√10【解析】如答图，过点C作CD⊥AB,垂足为D, 3 .故选：D, Cos Q 26 30.A31.A 848.0(米).在Rt△ACD中，AD=CD,.AB=AD+DB 32.(1+45)【解析】由题意知，四边形CDFE、四边形 =848+529.9=1377.9(米)=1378（米）. FEBO、四边形CDOB均为矩形，△ADO、△AFO均为直 答：A,B之间的距离约是1378米 角三角形，.CD=BO=1米，CE=DF=8米在RE △AD0中，tan LADC0=A0 D0,即D0=、A0 tan30°=v3A0. 在△M0中aLAF0=号即FP0=m0e-号 tan60°=3 40.叉00-f0=D=8840-940=8,即39 第34题答图 A0=8,.A0=4/3,.AB=A0+0B=(1+43)米 35.(1)BD的长为200米：(2)王老师从山脚A到达山顶C 33.4003【解析】小：∠ABC=150°，∴.∠CBD=30° 共走了约600米.【解析】(1)在Rt△ABD中，AB=400 :∠BCD=90°，.2CD=BD,设CD=xm,则BD=2xm 米，L1=30°，BD=4B=200(米)，BD的长为 在RL△BCD中，BC2+CD2=BD2,即6002=(2x)2-x2, 200米： 解得x-200/3,∴.BD-2x=400/5. (2)由题意，得BD=EF=200米.CF=354米，∴.CE 34.A,B之间的距离约是1378米.【解析】如答图，过点C =CF-EF=354-200=154(米).在Rt△CBE中，∠2 作AB的垂线交AB于点D.,点B在点A的正南方向上， 154154 =50°，BC=m5000.77 =200(米)，.AB+BC= .∠ACD=45°，∠DBC=58°.在Rt△BCD中，BC= 1000米，.BD=BC·c0s58°≈1000×0.5299= 400+200=600(米)，.王老师从山脚A到达山顶C共 529.9(米)，CD=BC·sin58°≈1000×0.8480= 走了约600米. 第十六章 全等三角形 1.C2.D3.A NM AB =3,..BC =4,:AC =AB +CB2 4.∠B=∠C(答案不唯一）5.AD=CE(答案不唯一) √32+4=5，.BM=AC=5,.BN=MB-MN=5-3=2, 6.见解析【解析】证明：BE⊥AD,CF⊥AD,.∠AEB= 90°，∠AFC=90°，∴.∠FAC+∠ACF=90 ∴.CD=BN=2,∴.DB=√CD+BC=√22+4=25. ∠BAC=90°，.∠BAE+∠FAC=90°，∴∠BAE=∠ACF, LAEB=∠AFC=90°， M ∴.在△ABE和△CAF中 ∠BAE=∠ACF, LAB=AC, .△ABE≌△CAF(AAS). 7.C8.D 第9题答图 9.25【解析】作DN⊥AB交AB的延长线于点N,延长BN 10.8【解析】在BC的延长线上取一点F,使得CF=CD= 到M,使NM=AB,连接DM.如答图.：∠ABC=∠BCD 2,过点A作AG∥BC交FD的延长线于点G,连接GE, =90°，AB∥CD.:DN⊥AM,.∠AND=90°，∴四边 如答图，∠BCD=120°，∴.∠DCF=60° 形BCDN是矩形，∴.BC=DN.:∠ABC=∠MWD=90°， CF=CD=2,,△DCF是等边三角形，.DF=CD= ∴.△ACB≌△MDN(SAS),∴.∠A=∠M,AC=DM.CD 2,∠F=∠CDF=6O°.AG∥BC,AE∥CD ∥AM,.∠ACD+∠A=∠CDM+∠M=I80°，.∠ACD .∠AGD=180°-∠F=120°，∠AEB=∠BCD=120°， =∠CDM=2∠CDB,∴.∠CDB=∠BDM.∠MBD= ∠AEC=180°-∠BCD=60°， ∠CDB,∴.∠MBD=∠BDM,∴.MB=MD.AC+1=BC .∠AGD=∠AEB,∠EAG=180°-∠AEC=120 CD,..BM +1 BC BN,..BN MN +1=BC NB. ∠ADG+∠ADC+∠CDF=180°， 27