专题二 高考新动向2 应用数学归纳法解决多次碰撞问题（教师用书WORD）-【正禾一本通】2025年高考物理高三二轮专题复习高效讲义（新教材）

高考新动向2　应用数学归纳法解决多次碰撞问题 当两个物体之间或物体与挡板之间发生多次碰撞时，因碰撞次数较多，过程复杂，在求解多次碰撞问题时，通常可用到数学归纳法进行求解，其基本思路为：先利用所学知识把前几次碰撞过程理顺，分析透彻，根据前几次的数据，利用数学归纳法，可写出以后碰撞过程中对应的规律或结果，然后可以计算全程的相关数据。 【典例】 (2024·山东临沂一模)如图所示，水平地面上有一个质量为M＝3 kg、左端带有固定挡板的长木板A，其上表面O点左侧光滑、右侧粗糙，O点距右端的距离l1＝8 m，距左端挡板的距离l2＝4 m，下表面与地面间的动摩擦因数为μ1＝0.2。长木板右端放置一个可视为质点的小滑块B，其质量为m＝1 kg，B与木板间的动摩擦因数μ2＝0.1，初始时滑块和长木板均静止。现给长木板A大小为v0＝8 m/s、水平向右的初速度；当B相对于长木板滑至O点时，给长木板施加一水平向右、大小为F＝14 N的恒力。经过一段时间，滑块与挡板发生第一次弹性碰撞；此后的运动过程中，滑块B与挡板发生多次弹性碰撞，所有碰撞过程时间极短可以忽略，g取10 m/s2。求： (1)从开始运动到滑块相对于长木板向左滑至O点的过程中，长木板A的位移； (2)滑块B与挡板发生第一次碰撞前，系统由于摩擦而产生的总热量； (3)滑块B与挡板发生第一次碰撞后到第二次碰撞前的时间间隔； (4)滑块B与挡板发生第n次碰撞前A和B的速度大小。 解析：(1)根据牛顿第二定律，对A有 μ1(M＋m)g＋μ2mg＝Ma1 对B有μ2mg＝ma2 解得a1＝3 m/s2，a2＝1 m/s2 设经时间t，B滑至O点，根据位移时间公式，有 a2t2＝l1 解得t＝2 s 则长木板A的位移 xA＝v0t－a1t2＝10 m。 (2)B第一次滑至O点前，A、B之间产生的热量 Q1＝μ2mgl1＝8 J B第一次滑至O点前，A与地面之间产生的热量 Q2＝μ1(M＋m)gxA＝80 J B滑至O点时，根据速度时间公式，有 vA＝v0－a1t＝2 m/s vB＝a2t＝2 m/s 此后，对A木板，根据牛顿第二定律有 F－μ1(M＋m)g＝Ma 解得a＝2 m/s2 设B第一次滑至O点后再经时间Δt滑块B与挡板发生第一次碰撞，位移关系为 vAΔt＋aΔt2－vBΔt＝l2 解得Δt＝2 s 此过程，A对地位移 xA′＝vAΔt＋aΔt2＝8 m 此过程，A与地面之间产生的热量 Q3＝μ1(M＋m)gxA′＝64 J 故滑块B与挡板发生第一次碰撞前，系统由于摩擦而产生的总热量 Q＝Q1＋Q2＋Q3＝152 J。 (3)第一次碰撞前，根据速度时间公式，有 vA1＝vA＋aΔt＝6 m/s vB1＝vB＝2 m/s 第一次碰撞过程中，满足动量守恒和机械能守恒，得 MvA1＋mvB1＝MvA1′＋mvB1′ MvA1′2＋mvB1′2 解得vA1′＝4 m/s，vB1′＝8 m/s 设第一次碰撞后经Δt′，A、B速度相同，即 vA1′＋aΔt′＝vB1′ 解得Δt′＝2 s 此时B离挡板距离 d＝vB1′Δt′－＝4 m＝l2 B刚好滑至O点，所以两次碰撞间隔B在光滑区域运动。 设第一次碰撞后经时间t1，滑块B与挡板发生第二次碰撞，则 vA1′t1＋＝vB1′t1 解得t1＝4 s。 (4)根据以上分析，施加力F后，B物体运动始终在光滑区域，第二次碰撞前，根据速度时间公式，有 vA2＝vA1′＋at1＝12 m/s vB2＝vB1′＝8 m/s 第二次碰撞过程中，满足动量守恒和机械能守恒，得 MvA2＋mvB2＝MvA2′＋mvB2′ M＋m 解得vA2′＝10 m/s，vB2′＝14 m/s …… 设滑块B与挡板第n－1次碰撞到第n次碰撞的时间间隔为tn－1，有 vA(n－1)′tn－1＋＝vB(n－1)′tn－1 tn－1＝tn－2＝…＝t2＝t1＝4 s 则第n次碰撞前 vAn＝vA(n－1)′＋atn－1＝6n(m/s) vBn＝vB(n－1)′＝6n－4(m/s)。 答案：(1)10 m　(2)152 J　(3)4 s　(4)6n(m/s) 6n－4(m/s) 学科网（北京）股份有限公司 $$