专题二 第4讲 功能关系和能量守恒（教师用书WORD）-【正禾一本通】2025年高考物理高三二轮专题复习高效讲义（新教材）

建构知识体系 第4讲　功能关系和能量守恒 必备知识 功、功率 (1)功的计算公式：W＝Fl cos α或W＝Pt。 (2)功率：平均功率P＝、P＝F(F与共线)；瞬时功率P＝Fv(F与v共线)。 (3)重力、静电力做功与路径无关；滑动摩擦力做功与路径有关。 (4)如图所示，物体由斜面上高为h的位置滑下，滑到平面上的另一点停下来，若L是释放点到停止点的水平总距离，则物体与接触面之间的动摩擦因数μ与L、h之间存在关系μ＝。 (5)机车启动：①恒定功率启动：牵引力随速度的增加而减小；②恒定加速度启动：功率随速度的增加而增加；③能达到的最大速度：vm＝ 动能、动能定理 (1)动能：Ek＝。 (2)动能定理：W合＝ΔEk＝Ek2－Ek1 功能关系 (1)重力做功——重力势能变化；合外力做功——动能变化；静电力做功——电势能变化；分子力做功——分子势能变化；除重力或弹簧弹力之外的其他力做功——机械能变化。 (2)一对静摩擦力做功的代数和为零；相对滑动的物体因摩擦产生的热量为Q＝Ffs相对，其中s相对为相对滑动的路程 高频考点1　功、功率的分析与计算 1．功的求法 2．功率的求法 考向1　功和功率的计算 【例1】 两个完全相同的小球A、B，在某一高度处以相同大小的初速度v0分别沿水平方向和竖直方向抛出，如图所示，不计空气阻力，则下列说法正确的是(　　 ) A．两小球落地时速度相同 B．两小球落地时，重力的瞬时功率相同 C．从开始运动至落地，重力对两小球做的功相同 D．从开始运动至落地，重力对两小球做功的平均功率相同 解析：选C。两球运动过程中机械能守恒，则两小球落地时速度大小相同，但方向不同，A错误；两小球落地时，B球竖直速度较大，根据PG＝mgvy可知，B球重力的瞬时功率较大，B错误；根据W＝mgh可知，从开始运动至落地，重力对两小球做的功相同，C正确；从开始运动至落地，B球运动时间较长，根据可知，B球重力做功的平均功率较小，D错误。 考向2　机车启动及相关模型 【例2】 (多选)2024年6月15日零时起，中国铁路实行新的列车运行图，武广高铁常态化按350公里时速高标运营，当日9时15分，长沙南站开出首趟高标运营列车，到广州南站仅需1小时59分。此高铁列车启动过程做匀加速直线运动，设运动过程中列车受到的阻力与行驶速度的大小成正比，在启动过程中当速度大小为v时，机车的输出功率为P，当速度大小为2v时，机车的输出功率可能为(　　 ) A．2.5P B．3.5P C．4.5P D．5.5P 解析：选AB。列车以速度为v行驶时受到的阻力为f1＝kv，列车的牵引力为F1＝，设列车总质量为m，根据牛顿第二定律有F1－f1＝ma，联立解得P＝mav＋kv2，同理，列车以速度为2v行驶时受到的阻力为f2＝k×2v，列车的牵引力为F2＝，根据牛顿第二定律有F2－f2＝ma，联立解得P′＝2mav＋4kv2，因为2mav＋2kv2<2mav＋4kv2<4mav＋4kv2，可知2P<P′<4P，故A、B正确。 【例3】 (2024·山东济南模拟)如图所示，借助电动机和斜面将质量为20 kg的货物用最短的时间从斜面底端拉到斜面顶端。货物依次经历匀加速、变加速、匀速、匀减速四个阶段，到达顶端时速度刚好为零。已知电动机的额定功率为1 200 W、绳子的最大拉力为300 N，绳子与斜面平行，斜面长度为34.2 m，倾角θ＝30°，货物与斜面的摩擦因数为减速阶段加速度大小不超过5 m/s2，g取10 m/s2。求： (1)减速阶段电动机的牵引力T； (2)货物运动的总时间t。 解析：(1)减速阶段，根据牛顿第二定律有 μmg cos θ＋mg sin θ－T＝mam 解得T＝100 N。 (2)货物在第一阶段匀加速上升的过程，根据牛顿第二定律可得F1－mg sin θ－μmg cos θ＝ma1 解得a1＝5 m/s2 当功率达到额定功率时，设货物的速度为v1，则有v1＝＝4 m/s 此过程所用时间和上滑的距离分别为 t1＝ s＝0.8 s x1＝＝1.6 m 货物以最大速度匀速时，有 vm＝＝6 m/s 货物最后以最大加速度做匀减速运动的时间和上滑的距离分别为 t3＝ s＝1.2 s x3＝＝3.6 m 因此，从电动机达到额定功率到货物即将减速，上滑的距离为x2＝34.2－3.6－1.6 m＝29 m 设重物从结束匀加速运动到开始做匀减速运动所用时间为t2，该过程根据动能定理可得 Pt2－mg sin θ·x2－μmg cos θ·x2＝ 解得t2＝5 s 所以总时间为t＝t1＋t2＋t3＝7 s。 答案：(1)100 N　(2)7 s [规律方法]“例3”可等效为机车启动模型，分析此类问题首先要搞清功率、牵引力、速度之间的制约关系，同时，对功率一定的变速运动过程，牵引力虽然变化，但功率P不变，则功W＝Pt，所以常用动能定理建立位移和时间之间的关系。 高频考点2　动能定理和机械能守恒定律的应用 考向1　用动能定理求功 【例4】 (2024·安徽高考)某同学参加户外拓展活动，遵照安全规范，坐在滑板上，从高为h的粗糙斜坡顶端由静止下滑，至底端时速度为v。已知人与滑板的总质量为m，可视为质点。重力加速度大小为g，不计空气阻力。则此过程中人与滑板克服摩擦力做的功为(　　 ) A．mgh B．mv2 C．mgh＋mv2 D．mgh－mv2 解析：选D。人在下滑的过程中，由动能定理可得mgh－Wf＝mv2－0，可得此过程中人与滑板克服摩擦力做的功为Wf＝mgh－mv2，故D正确。 【例5】 (2024·新课标卷)将重物从高层楼房的窗外运到地面时，为安全起见，要求下降过程中重物与楼墙保持一定的距离。如图，一种简单的操作方法是一人在高处控制一端系在重物上的绳子P，另一人在地面控制另一根一端系在重物上的绳子Q，二人配合可使重物缓慢竖直下降。若重物的质量m＝42 kg，重力加速度大小g＝10 m/s2，当P绳与竖直方向的夹角α＝37°时，Q绳与竖直方向的夹角β＝53°。(sin 37°＝0.6) (1)求此时P、Q绳中拉力的大小； (2)若开始竖直下降时重物距地面的高度h＝10 m，求在重物下降到地面的过程中，两根绳子拉力对重物做的总功。 解析：(1)重物下降的过程中受力平衡，设此时P、Q绳中拉力的大小分别为FT1和FT2，竖直方向 FT1cos α＝mg＋FT2cos β 水平方向FT1sin α＝FT2sin β 联立代入数值得FT1＝1 200 N，FT2＝900 N。 (2)整个过程根据动能定理得W＋mgh＝0 解得两根绳子拉力对重物做的总功为W＝－4 200 J。 答案：(1)1200 N　900 N　(2)－4 200 J [规律方法]应用动能定理的四点提醒 (1)动能定理往往用于单个物体的运动过程，由于不涉及加速度及时间，比应用动力学方法解题要简捷。 (2)动能定理表达式是一个标量式，在某个方向上应用动能定理是没有依据的。 (3)物体在某个运动过程中包含几个运动性质不同的小过程(如加速、减速的过程)，对全过程应用动能定理，往往能使问题简化。 (4)多过程往复运动问题一般应用动能定理求解。 考向2　机械能守恒定律的应用 【例6】 (2024·全国甲卷)如图，一光滑大圆环固定在竖直平面内，质量为m的小环套在大圆环上，小环从静止开始由大圆环顶端经Q点自由下滑至其底部，Q为竖直线与大圆环的切点。则小环下滑过程中对大圆环的作用力大小(　　) A．在Q点最大 B．在Q点最小 C．先减小后增大 D．先增大后减小 解析：选C。设小环运动轨迹所对的圆心角为θ(0≤θ≤π)，大圆环的半径为R，大圆环对小环的作用力为F，则由机械能守恒定律可得mgR(1－cos θ)＝又小环做圆周运动，则有F＋mg cos θ＝联立可得小环下滑过程中受到大圆环的作用力F＝mg(2－3cos θ)，则F的大小先减小后增大，且当cos θ＝时F最小，当cos θ＝－1，即小环在大圆环最低点时F最大，结合牛顿第三定律可知C正确。 [规律方法]机械能守恒定律的表达式 【例7】 如图所示，顶角P为53°的光滑“”形硬杆固定在竖直平面内，质量均为m的小球甲、乙(均视为质点)用长度为L的轻质硬杆连接，分别套在“”形硬杆的倾斜和水平部分，当轻质硬杆呈竖直状态时甲静止在A点，乙静止在C点。甲由于受到轻微的扰动开始运动，当甲运动到B点时，轻质硬杆与“”形硬杆的倾斜部分垂直，重力加速度大小为g，则甲在B点的速度大小为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选B。由于甲在B位置时，轻质硬杆与AP垂直，根据牵连速度的分解规律可知，甲沿轻质硬杆的分速度为0，即此时乙的速度为0，甲小球减小的重力势能转化为甲的动能，则有mgmv2，解得v＝，故B正确。 [规律方法]常见的机械能守恒的连接体模型 共速率 模型 分清两物体位移大小与高度变化的关系 共角速 度模型 两物体角速度相同，线速度与半径成正比 关联速 度模型 此类问题要注意速度的分解，找出两物体速度的关系 [说明]以上连接体不计阻力和摩擦力，系统机械能守恒，单个物体机械能不守恒。 高频考点3　功能关系和能量守恒定律的应用 1．五种常见的功能关系 能量 功能关系 表达式 势能 重力做的功等于重力势能的减少量 W＝Ep1－Ep2＝－ΔEp 弹力做的功等于弹性势能的减少量 静电力做的功等于电势能的减少量 动能 合外力做的功等于物体动能的变化量 W＝Ek2－Ek1＝ 机械能 除重力和弹力之外的其他力做的功等于机械能的变化量 W其他＝E2－E1＝ΔE机 摩擦产生的内能 一对相互作用的摩擦力做功之和的绝对值等于产生的内能 Q＝Ff·s相对(s相对为相对路程) 电能 克服安培力做的功等于电能的增加量 W克安＝E2－E1＝ΔE 2.应用功能关系和能量守恒定律的三个特别提醒 (1)分清是什么力做功，并且分析该力做正功还是做负功；根据功和能之间的对应关系，确定能量之间的转化情况。 (2)可以根据能量之间的转化情况，确定是什么力做功，尤其可以方便计算变力做功的多少。 (3)功能关系反映了做功和能量转化之间的对应关系，功是能量转化的量度和原因，在不同问题中的具体表现不同。 【例8】 (2024·安徽高考)在某地区的干旱季节，人们常用水泵从深水井中抽水灌溉农田，简化模型如图所示。水井中的水面距离水平地面的高度为H。出水口距水平地面的高度为h，与落地点的水平距离约为l。假设抽水过程中H保持不变，水泵输出能量的η倍转化为水被抽到出水口处增加的机械能。已知水的密度为ρ，水管内径的横截面积为S，重力加速度大小为g，不计空气阻力，则水泵的输出功率约为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选B。设水从出水口射出的初速度为v0，取t时间内的水为研究对象，该部分水的质量为m＝v0tSρ，根据平抛运动规律有l＝v0t，h＝gt2，解得v0＝l，根据功能关系得Ptη＝＋mg(H＋h)，联立解得水泵的输出功率为P＝，故B正确。 [规律方法]灵活利用功的关系可将对功(或能量转化)的求解转化为对相应能量转化(或功)的求解。 【例9】 (多选)(2024·湖南岳阳模拟)蹦极是一项极限运动，某人身系原长为30 m的弹性绳自P点无初速度落下，其运动轨迹为图中的虚线，人在最低点Q时的动能恰好与弹性绳的弹性势能相等。已知人的质量为75 kg，OP＝30 m，OQ＝40 m，弹性绳(满足胡克定律)具有的弹性势能Ep＝kx2，式中k为弹性绳的劲度系数，x为弹性绳的形变量，不计空气阻力及弹性绳的质量，人可视为质点，取重力加速度大小g＝10 m/s2，下列说法正确的是(　　 ) A．弹性绳的劲度系数为150 N/m B．弹性绳中的最大弹力为1 500 N C．人在Q点时的速度大小为20 m/s D．人在Q点时的加速度大小为30 m/s2 解析：选CD。从P到Q由功能关系可知mgh＝Ek＋Ep＝2Ep＝kΔx2，代入数据解得k＝300 N/m，A错误；弹性绳中的最大弹力为F＝kΔx＝3 000 N，B错误；人在Q点时，Ek＝，解得速度vQ＝20 m/s，C正确；人在Q点时的加速度大小为a＝＝30 m/s2，D正确。 学科网（北京）股份有限公司 $$