2025年高考数学二轮复习重点专题训练·平面向量

2025高考二轮复习重点专题训练·平面向量 一、单项选择题 1．若a，b是非零向量，且a⊥b，|a|≠|b|，则函数f (x)＝(xa＋b)·(xb－a)是(　　) A．一次函数且是奇函数 B．一次函数但不是奇函数 C．二次函数且是偶函数 D．二次函数但不是偶函数 2．(2024·苏锡常镇一模)已知平面向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝|b|＝1，|c|＝，则a与b的夹角为(　　) A．　　　　　　　　 B． C．π D．π 3．(2024·镇江统考)已知平面内的向量a在向量b上的投影向量为b，且|a|＝|b|＝1，则|a－2b|的值为(　　) A． B．1 C． D． 4．(2024·苏锡常镇二模)已知非零向量a＝，b＝，若a∥b，则sin 2α＝(　　) A．－1 B． C． D． 5．(2024·邯郸二模)向量m，n满足m·n＝5，且m＝(－1，3)，则n在m上的投影向量为(　　) A． B． C． D． 6．(2020·课标全国Ⅱ)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是(　　) A．a＋2b B．2a＋b C．a－2b D．2a－b 7．(2024·河北名校模拟)在边长为1的正三角形ABC中，＝，＝，AE与CD交于点F ，则·＝(　　) A．1 B．0 C．－ D．－ 8．(2024·福建省3月质检)已知O是△ABC所在平面内一点，且||＝2，·＝－1，·＝1，则∠ABC的最大值为(　　) A． B． C． D． 9．(2024·安徽芜湖三模)已知⊙C：x2＋y2－10x＋9＝0与直线l交于A，B两点，且⊙C被l截得两段圆弧的长度之比为1∶3，若D为⊙C上一点，则·的最大值为(　　) A．18＋12 B．16＋16 C．12＋20 D．10＋24 10．(2024·全国模拟预测)在边长为2的等边三角形ABC中，M为边AC上的动点，则·的最小值是(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 二、多项选择题 11．(2024·江苏扬州中学模拟)已知向量a＝(，1)，b＝(cos θ，sin θ)，则(　　) A．存在θ∈，使得a⊥b B．存在θ∈，使得a∥b C．对于任意θ∈，恒有|a－b|∈[1，) D．对于任意θ∈，恒有a·b∈(1，2] 12．(2024·广州一模)已知向量a，b不共线，向量a＋b平分a与b的夹角，则下列结论一定正确的是(　　) A．a·b＝0 B．(a＋b)⊥(a－b) C．向量a，b在a＋b上的投影向量相等 D．|a＋b|＝|a－b| 13．(2024·江苏南京二模)已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，O为△ABC的重心，cos ∠BAC＝，AO＝2，则(　　) A．＝＋ B．·≤3 C．△ABC的面积的最大值为3 D．a的最小值为2 三、填空题 14．(2024·湖北荆州市二模)在△ABC中，·＝4，||＝2，且点D满足＝，则||＝________． 15．(2024·湖北襄阳模拟预测)在△ABC中，AB＝AC，点D在线段BC上，AB⊥AD，BD＝3，CD＝1，点M是△ABC外接圆上任意一点，则·的最大值为________． 16．(2024·高三数学阶段性测试)正三棱锥S－ABC中，底面边长AB＝2，侧棱AS＝3，则向量a，b满足a·(a＋)＝a·，b·(b＋)＝b·，则|a－b|的最大值为________． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025高考二轮复习重点专题训练·平面向量 一、单项选择题 1．若a，b是非零向量，且a⊥b，|a|≠|b|，则函数f (x)＝(xa＋b)·(xb－a)是(　　) A．一次函数且是奇函数 B．一次函数但不是奇函数 C．二次函数且是偶函数 D．二次函数但不是偶函数 答案　A 解析　f (x)＝(xa＋b)·(xb－a)＝－x|a|2＋x|b|2＝(|b|2－|a|2)x，∵|a|≠|b|，∴f (x)是一次函数且是奇函数．故选A. 2．(2024·苏锡常镇一模)已知平面向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝|b|＝1，|c|＝，则a与b的夹角为(　　) A．　　　　　　　　 B． C．π D．π 答案　B 解析　a＋b＝－c，∴(a＋b)2＝c2，∴a2＋2a·b＋b2＝3，∴a·b＝，cos 〈a，b〉＝＝，又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝.故选B. 3．(2024·镇江统考)已知平面内的向量a在向量b上的投影向量为b，且|a|＝|b|＝1，则|a－2b|的值为(　　) A． B．1 C． D． 答案　A 解析　a在b上的投影向量为b＝b，∴＝，∴a·b＝.|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝1－4×＋4×1＝3，∴|a－2b|＝.故选A. 4．(2024·苏锡常镇二模)已知非零向量a＝，b＝，若a∥b，则sin 2α＝(　　) A．－1 B． C． D． 答案　D 解析　方法一：a∥b，则cos 2α＝sin2＝(1＋sin2α)，又sin22α＋cos22α＝1，∴sin2α＝－1或sin 2α＝，当sin 2α＝－1时，α＝－＋kπ，k∈Z，则a＝0，不满足题意，故sin 2α≠－1.故选D. 方法二：a∥bcos 2α＝sin2＝＝(1＋sin 2α)2＝4cos22α＝4(1－sin22α)(1＋sin2α)(5sin 2α－3)＝0， 则sin 2α＝－1或sin 2α＝，当sin 2α＝－1时，2α＝－＋2kπ(k∈Z)，即α＝－＋kπ(k∈Z)，故cos 2α＝0，sin ＝sin kπ＝0，故a为零向量，舍去．故选D. 5．(2024·邯郸二模)向量m，n满足m·n＝5，且m＝(－1，3)，则n在m上的投影向量为(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　因为m·n＝5，且m＝(－1，3)，所以n在m上的投影向量为|n|cos 〈m，n〉＝m·n＝5×＝.故选C. 6．(2020·课标全国Ⅱ)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是(　　) A．a＋2b B．2a＋b C．a－2b D．2a－b 答案　D 解析　方法一：由题意，得a·b＝|a|·|b|cos 60°＝.对于A，(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝＋2＝≠0，故A不符合题意；对于B，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝1＋1＝2≠0，故B不符合题意；对于C，(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－2＝－≠0，故C不符合题意；对于D，(2a－b)·b＝2a·b－b2＝1－1＝0，所以(2a－b)⊥b.故选D. 方法二：不妨设a＝，b＝(1，0)，则a＋2b＝，2a＋b＝(2，)，a－2b＝，2a－b＝(0，)，易知只有(2a－b)·b＝0，即(2a－b)⊥b.故选D. 方法三：根据条件，分别作出向量b与A、B、C、D四个选项对应的向量的位置关系，如图所示： 由图易知，只有D满足题意．故选D. 7．(2024·河北名校模拟)在边长为1的正三角形ABC中，＝，＝，AE与CD交于点F ，则·＝(　　) A．1 B．0 C．－ D．－ 答案　B 解析　设＝λ＋μ，因为＝，＝3， 所以＝＋μ，＝λ＋3μ.因为F ，D，C三点共线，F ，A，E三点共线， 所以解得 所以＝＋. 所以·＝(－)·＝·＝2＋·－2＝2－·－2＝×12－×1×1×－×12＝0.故选B. 8．(2024·福建省3月质检)已知O是△ABC所在平面内一点，且||＝2，·＝－1，·＝1，则∠ABC的最大值为(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　方法一： 根据·＝－1，·＝1， 可得·－·＝(－)·＝2＝2，即可得||＝，即可知C点轨迹是以A为圆心，半径为的圆(除去直线AB与圆的两个交点)，如图所示．由图可知，当BC与圆相切时，∠ABC取到最大值，又||＝2，||＝，可知此时∠ABC＝.故选B. 方法二：由·＝－1，·＝1，两式相加得(＋)·＝0，可知O在AC的中垂线上，又由·＝－1，得·＝1，即||||cos ∠OAC＝1，而cos ∠OAC＝，故＝||cos ∠OAC，∴＝1，||＝，又||＝2，设||＝a，则cos B＝＝≥，当且仅当a＝时取等号，又B∈(0，π)，故0＜B≤.故选B. 9．(2024·安徽芜湖三模)已知⊙C：x2＋y2－10x＋9＝0与直线l交于A，B两点，且⊙C被l截得两段圆弧的长度之比为1∶3，若D为⊙C上一点，则·的最大值为(　　) A．18＋12 B．16＋16 C．12＋20 D．10＋24 答案　B 解析　由⊙C：x2＋y2－10x＋9＝0，可得圆心C(5，0)，半径r＝4， 如图，连接CB，CA，因为直线l交圆C于A，B两点，且圆C被l截得两段弧的长度之比为1∶3， 所以∠ACB＝，可得·＝0， 设M为AB边的中点，连接CM，DC，可得＋＝2， 则·＝(＋)·(＋)＝||2＋(＋)·＋·＝||2＋2·≤||2＋2||·||， 当与方向相同时，等号成立， 因为||＝r＝4，||＝r＝2，所以·≤||2＋2||·||＝16＋16. 所以·的最大值为16＋16.故选B. 10．(2024·全国模拟预测)在边长为2的等边三角形ABC中，M为边AC上的动点，则·的最小值是(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 答案　C 解析　取BC的中点为O，连接OM，则·＝·＝2－2＝2－1，因为当OM⊥AC时，||取得最小值，此时||＝1×sin 60°＝，所以·＝2－1≥－1＝－.故选C. 二、多项选择题 11．(2024·江苏扬州中学模拟)已知向量a＝(，1)，b＝(cos θ，sin θ)，则(　　) A．存在θ∈，使得a⊥b B．存在θ∈，使得a∥b C．对于任意θ∈，恒有|a－b|∈[1，) D．对于任意θ∈，恒有a·b∈(1，2] 答案　BCD 解析　由题知，a＝(，1)，b＝(cos θ，sin θ)， 若a⊥b，则a·b＝cos θ＋sin θ＝0， ∵θ∈，∴上式不成立，A错误． 若a∥b，则sin θ－cos θ＝0， 即tan θ＝，若θ∈，则θ＝，B正确． a－b＝(－cos θ，1－sin θ)，则|a－b|＝. ∵θ∈，∴<sin ≤1， ∴1≤5－4sin <3， ∴|a－b|∈[1，)，C正确． a·b＝cos θ＋sin θ＝2sin . ∵θ∈，∴<θ＋<， ∴<sin ≤1，∴1<2sin ≤2， 即a·b∈(1，2]，D正确． 12．(2024·广州一模)已知向量a，b不共线，向量a＋b平分a与b的夹角，则下列结论一定正确的是(　　) A．a·b＝0 B．(a＋b)⊥(a－b) C．向量a，b在a＋b上的投影向量相等 D．|a＋b|＝|a－b| 答案　BC 解析　由题意得，a，b均为非零向量，a＋b平分a与b的夹角，由平行四边形法则得|a|＝|b|，a与b不一定垂直，则|a＋b|不一定与|a－b|相等，A、D错误；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)，B正确；a在a＋b上的投影向量为(a＋b)＝(a＋b)，b在a＋b上的投影向量为(a＋b)＝(a＋b)＝(a＋b)，∴C正确．故选BC. 13．(2024·江苏南京二模)已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，O为△ABC的重心，cos ∠BAC＝，AO＝2，则(　　) A．＝＋ B．·≤3 C．△ABC的面积的最大值为3 D．a的最小值为2 答案　ABC 解析　延长AO交BC于点D.因为O是△ABC的重心， 所以点D是BC中点，＝，＝(＋). ＝＝×(＋)＝＋，故A正确． 由＝＋，得＋＝3，所以92＝(＋)2＝2＋2＋2·≥2||||＋2·，当且仅当||＝||时等号成立．因为·＝||||cos ∠BAC＝||||，即||||＝5·，又AO＝2， 所以2×5·＋2·≤9×22， 即·≤3，故B正确． 因为||||＝5·≤15，当且仅当||＝||时等号成立，sin ∠BAC＝＝， 所以S△ABC＝||||sin∠BAC≤×15×＝3，故C正确． 由92＝(＋)2＝2＋2＋2·，AO＝2， 得||2＋||2＝92－2·＝36－2·＝36－||||， 所以由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A可得a2＝||2＋||2－2||·||cos ∠BAC＝36－||||≥36－×15＝24，即a≥2，当且仅当||＝||时等号成立，所以a的最小值是2，故D错误． 三、填空题 14．(2024·湖北荆州市二模)在△ABC中，·＝4，||＝2，且点D满足＝，则||＝________． 答案　 解析　由题设，D为BC中点，则＝(＋)， 所以||2＝(＋)2＝(2＋2·＋2)， 又2＝(－)2＝2－2·＋2＝4，即2＋2＝4＋2·＝12， 所以||2＝×(12＋8)＝5，故||＝. 15．(2024·湖北襄阳模拟预测)在△ABC中，AB＝AC，点D在线段BC上，AB⊥AD，BD＝3，CD＝1，点M是△ABC外接圆上任意一点，则·的最大值为________． 答案　3＋3 解析　由题意可得，AB2＝BD2－AD2，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC cos ∠ADC＝AD2＋1＋2AD×1×， 所以9－AD2＝AD2＋1＋2AD×1×＝1＋AD2， 解得AD＝，则AB＝AC＝，设△ABC的外心为O，外接圆的半径为R， 由正弦定理得2R＝＝＝3，解得R＝， 连接AO，OM，可得cos ∠BAO＝＝. 由平面向量的线性运算知，＝＋， 所以·＝·(＋)＝·＋·， ·＝||·||cos ∠BAO＝××＝3. 当∥且同向时，(·)max＝×＝3，所以·的最大值为3＋3. 16．(2024·高三数学阶段性测试)正三棱锥S－ABC中，底面边长AB＝2，侧棱AS＝3，则向量a，b满足a·(a＋)＝a·，b·(b＋)＝b·，则|a－b|的最大值为________． 答案　4 解析　由三棱锥S－ABC是正三棱锥，得AS＝BS＝CS＝3，且AB＝BC＝CA＝2.a·(a＋)＝a·，则a2＝a·①，b·(b＋)＝b·，则b2＝b·②，令a＝，b＝，代入①②得·＝0，·＝0.则M在以BC为直径的球面上，半径r1＝BC＝1，N在以SC为直径的球面上，半径r2＝CS＝.如图，在平面SBC内，分别取BC，SC的中点E，F ，连接EF ，MN，则EF ＝BS＝.|a－b|max＝||max＝EF ＋r1＋r2＝＋1＋＝4. 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$