2025年高考数学二轮复习重点专题训练·三角恒等变换与解三角形

2025高考二轮复习重点专题训练 三角恒等变换与解三角形 一、单项选择题 1．(2024·沧衡八校联盟)已知a＝，b＝(sin 20°＋cos 20°)，c＝，则(　　) A．a<b<c　　　　　　　 B．a<c<b C．c<b<a D．c<a<b 2．(2024·河北省联测)＝(　　) A．2 B． C．4 D．2 3.(2024·河北部分示范性高中三模)如图，在平面直角坐标系中，以OA为始边，角α与β的终边分别与单位圆相交于E，F 两点，且α∈，β∈，若直线EF 的斜率为，则sin (α＋β)＝(　　) A．－ B．－ C． D． 4．(2024·苏州大学指导卷)若3sinθ＋cos θ＝，则tan －＝(　　) A．－7 B．－14 C． D． 5．(2024·浙江省五校3月联考)在等边三角形ABC的三边AB，BC，AC上各取一点D，E，F ，满足DE＝3，DF ＝2，∠DEF ＝90°，则三角形ABC的面积的最大值是(　　) A．7 B．13 C． D． 6．(2024·辽宁新民市第一高级中学一模)已知α，β∈，且sin (α＋β)＋sin (α－β)＝sin 2β，则(　　) A.α＋β＝ B．α＋2β＝π C．α＝2β D．α＝β 7．(2024·福建福州三模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若面积S＝，则tan ＝(　　) A． B． C． D． 8．(2024·江苏南通二模)古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．如图，现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点(切点)，地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC＝100 m，则该球体建筑物的高度约为(cos 10°≈0.985)(　　) A.49.25 m B．50.76 m C．56.74 m D．58.60 m 9．(2024·苏州市三模)已知△ABC的角A，B，C对应的边分别为a，b，c，∠BAC＝，∠BAC的平分线交边BC于点D，若AD＝，则b＋2c的最小值为(　　) A．2＋2 B．4 C．3＋2 D．3＋2 10.(2024·湖南长沙三模)如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边AB，DA上的动点，则下列结论不正确的是(　　) A．若PQ＝1，则△APQ周长的最大值为＋1 B．若PQ＝1，则△APQ面积的最大值为 C．若△APQ的周长为定值2，则∠PCQ的大小为30° D．若△APQ的周长为定值2，则PQ长度的最小值为2－2 二、多项选择题 11．(2024·福建泉州二模)已知函数f (x)＝sin x·sin ，x∈R，则(　　) A．f (x)在上的最大值为 B．f 为偶函数 C．f 为奇函数 D．f (x)在上单调递减 12．已知函数f (x)＝sin4x＋cos2x，则下列说法正确的是(　　) A．最小正周期是 B．f (x)是偶函数 C．f (x)在上单调递增 D．x＝是f (x)图象的一条对称轴 13．(2024·山东聊城阶段练习)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2a(sin B＋sin C)＝b＋c，则sin B－sin C的值可能为(　　) A． B． C． D． 三、填空题 14．(2024·湖南、浙江、江苏三省联考)已知函数f (x)＝(sin x－cos x)cos x，若f (x)在区间上是单调函数，则实数θ的取值范围是________． 15．若α∈，tan 2α＝，则tan α＝________． 16．(2024·河南开封统考二模)已知△ABC中，AB＝5，AC＝7，tan A＝－2tan B，则△ABC的面积为________． 17.如图所示，点A是等边△BCD外一点，且∠BAD＝，AD＝2，BD＝2，则△ABC的周长为________． 18．(2024·江苏盐城高三模拟)在△ABC中，已知AB＝2，BC＝3，点P在△ABC内，且满足CP＝2，∠APC＋∠ABC＝π，则四边形ABCP面积的最大值为________． 四、解答题 19．(2024·沧州七校联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的周长为. (1)求C； (2)若a＝2，b＝4，D为边AB上一点，∠BCD＝，求△BCD的面积． 20．(2024·安徽芜湖三模)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且b cos A＋b sin A＝a＋c. (1)求B； (2)若b＝2，△ABC的面积为，D为AC边上一点，满足CD＝2AD，求BD的长． 21．(2024·淄博模拟)如图，在△ABC中，∠BAC＝，∠BAC的平分线交BC于P点，AP＝2. (1)若BC＝8，求△ABC的面积； (2)若CP＝4，求BP的长． 22．(2024·河北省高三质量监测)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin sin 是sin (B－A)与sin C的等差中项． (1)求A的值； (2)若∠A的平分线交BC于点D，且AD＝1，BD＝2DC，求△ABC的面积． 23．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a＝2，b sin B＋c sin C－2sin A＝－b sin C. (1)求角A的大小； (2)已知AD是△ABC的中线，求AD的最小值． 24．(2024·成都七中模拟)如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，D为BC边上一点，且AD平分∠BAC. (1)若BC＝3，求； (2)若cos ∠BAC＝，求线段AD的长． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025高考二轮复习重点专题训练 三角恒等变换与解三角形 一、单项选择题 1．(2024·沧衡八校联盟)已知a＝，b＝(sin 20°＋cos 20°)，c＝，则(　　) A．a<b<c　　　　　　　 B．a<c<b C．c<b<a D．c<a<b 答案　A 解析　因为a＝＝sin 55°，b＝(sin 20°＋cos 20°)＝sin 65°，c＝＝＝tan 65°，又sin 55°<sin 65°<＝tan 65°，所以a<b<c. 2．(2024·河北省联测)＝(　　) A．2 B． C．4 D．2 答案　D 解析　＝ ＝＝＝2. 故选D. 3.(2024·河北部分示范性高中三模)如图，在平面直角坐标系中，以OA为始边，角α与β的终边分别与单位圆相交于E，F 两点，且α∈，β∈，若直线EF 的斜率为，则sin (α＋β)＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案　B 解析　如图，设直线EF 交x轴于点P，过O作EF 的垂线，垂足为H，则∠AOH＝，∠POH＝－∠HPO. 又直线EF 的斜率为，∴tan ∠HPO＝， ∴tan ＝tan ∠AOH＝－tan ∠POH＝－tan ＝－4， ∴sin (α＋β)＝＝＝＝－. 4．(2024·苏州大学指导卷)若3sinθ＋cos θ＝，则tan －＝(　　) A．－7 B．－14 C． D． 答案　B 解析　原式＝－ ＝＝－. 又3sin θ＋cos θ＝＝10， ∴＝10tanθ＝3，则tan 2θ＝＝－，∴tan ＝＝， ∴原式＝－14.故选B. 5．(2024·浙江省五校3月联考)在等边三角形ABC的三边AB，BC，AC上各取一点D，E，F ，满足DE＝3，DF ＝2，∠DEF ＝90°，则三角形ABC的面积的最大值是(　　) A．7 B．13 C． D． 答案　A 解析　∵DE＝3，DF ＝2，∠DEF ＝90°，∴EF ＝＝， ∴∠DF E＝60°，∴∠EF C＋∠AF D＝120°，又∠AF D＋∠ADF ＝120°，∴∠EF C＝∠ADF ，又∵∠C＝∠A， ∴△CEF ∽△AF D，∴＝＝＝，设CF ＝x，CE＝y，∴AD＝2x，AF ＝2y，∴S△ABC＝(x＋2y)2. 在△CEF 中，由余弦定理得x2＋y2－2xy·＝3，即＋y2＝3， 令， ∴ 则x＋2y＝5sin θ＋cos θ＝2sin (θ＋φ)≤2. 其中tan φ＝，当θ＋φ＝时取“＝”，∴S△ABC＝(x＋2y)2≤7.故选A. 6．(2024·辽宁新民市第一高级中学一模)已知α，β∈，且sin (α＋β)＋sin (α－β)＝sin 2β，则(　　) A.α＋β＝ B．α＋2β＝π C．α＝2β D．α＝β 答案　D 解析　sin (α＋β)＋sin (α－β)＝2sin αcos β＝sin 2β＝2sin βcos β，因为α，β∈，所以cos β≠0，所以sin α＝sin β，故α＝β.故选D. 7．(2024·福建福州三模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若面积S＝，则tan ＝(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　因为S＝ab sin C，所以ab sin C＝＝， 又由c2＝a2＋b2－2ab cos Ca2＋b2－c2＝2ab cos C， 所以ab sin C＝4cos C＋4＝3sin C. 所以4cos C＝3sin C－4(4cos C)2＝(3sin C－4)216cos2C＝9sin2C－24sinC＋1616(1－sin2C)＝9sin2C－24sinC＋16， 所以25sin2C－24sinC＝0，又因为在△ABC中，sin C≠0，所以sin C＝. 又因为4cos C＝3sin C－4，所以cos C＝－，所以tan C＝－，C为钝角， 由tan C＝＝－，结合为锐角，解得tan＝或－(舍).故选D. 8．(2024·江苏南通二模)古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．如图，现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点(切点)，地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC＝100 m，则该球体建筑物的高度约为(cos 10°≈0.985)(　　) A.49.25 m B．50.76 m C．56.74 m D．58.60 m 答案　B 解析　如图，设球体建筑物的半径为R，则AB＝R，AC＝. ∵BC＝－R＝100，∴R＝＝＝＝＝＝≈. ∴2R≈≈50.76.故选B. 9．(2024·苏州市三模)已知△ABC的角A，B，C对应的边分别为a，b，c，∠BAC＝，∠BAC的平分线交边BC于点D，若AD＝，则b＋2c的最小值为(　　) A．2＋2 B．4 C．3＋2 D．3＋2 答案　C 解析　如图，S△ABC＝bc sin ∠BAC＝bc，因为∠BAC的平分线交边BC于点D，且AD＝， 所以∠BAD＝∠CAD＝， S△ABD＝×AD×c×sin ∠BAD＝c，S△CAD＝×AD×b×sin ∠CAD＝b， 而S△ABC＝S△ABD＋S△CAD，所以bc＝c＋b， 化简得bc＝c＋b，即＋＝1， 则b＋2c＝(b＋2c)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2， 当且仅当b＝c＝＋1时取等号，即b＋2c的最小值为3＋2.故选C. 10.(2024·湖南长沙三模)如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边AB，DA上的动点，则下列结论不正确的是(　　) A．若PQ＝1，则△APQ周长的最大值为＋1 B．若PQ＝1，则△APQ面积的最大值为 C．若△APQ的周长为定值2，则∠PCQ的大小为30° D．若△APQ的周长为定值2，则PQ长度的最小值为2－2 答案　C 解析　若PQ＝1，则AP2＋AQ2＝PQ2＝1， 所以≤＝，当且仅当AP＝AQ＝时取等号， 所以C△APQ＝AP＋AQ＋PQ≤1＋，即△APQ周长的最大值为＋1，故A正确； S△APQ＝AP·AQ≤×＝，当且仅当AP＝AQ＝时取等号， 即△APQ面积的最大值为，故B正确； 设线段BP，DQ的长度分别为a，b，∠BCP＝α，∠DCQ＝β， 则AP＝1－a，AQ＝1－b，因为△APQ的周长为定值2，所以PQ＝a＋b. 则由勾股定理得(a＋b)2＝(1－a)2＋(1－b)2，即a＋b＝1－ab， 又因为tan α＝a，tan β＝b，于是tan (α＋β)＝＝＝1， 因为0°<α＋β<90°，所以α＋β＝45°，即∠PCQ＝45°，故C错误； a＋b＝1－ab≥1－，当且仅当a＝b时取等号， 所以PQ≥1－，即PQ2＋4PQ－4≥0， 又因为PQ>0，解得PQ≥2－2， 当且仅当a＝b＝－1，即BP＝DQ＝－1时等号成立，故D正确． 二、多项选择题 11．(2024·福建泉州二模)已知函数f (x)＝sin x·sin ，x∈R，则(　　) A．f (x)在上的最大值为 B．f 为偶函数 C．f 为奇函数 D．f (x)在上单调递减 答案　BD 解析　f (x)＝sin x·sin ＝sin x＝sin2x＋sinx cos x＝＋sin 2x＝sin 2x－cos 2x＋＝sin ＋， x∈，所以2x－∈，所以sin (2x－)∈，则f (x)在上的值域为，函数的最大值为，故A错误； 设F (x)＝f ＝sin ＋＝－cos 2x，则F (－x)＝－cos 2(－x)＝－cos 2x＝F (x)，所以f 为偶函数，故B正确； 设g(x)＝f ＝sin ＋＝＋sin 2x，则g(－x)＝＋sin 2(－x)＝－sin 2x≠－g(x)，所以f 不是奇函数，故C错误； x∈，2x－∈，令t＝2x－∈，设h(t)＝sin t＋，则t∈时，h(t)单调递减，所以f (x)在上单调递减，故D正确．故选BD. 12．已知函数f (x)＝sin4x＋cos2x，则下列说法正确的是(　　) A．最小正周期是 B．f (x)是偶函数 C．f (x)在上单调递增 D．x＝是f (x)图象的一条对称轴 答案　ABC 解析　f (x)＝sin4x＋cos2x＝sin4x－sin2x＋1＝sin2x(sin2x－1)＋1＝1－sin2x cos2x＝－sin22x＋1＝－×＋1＝cos 4x＋， ∴最小正周期T＝＝，A正确； ∵f (－x)＝cos (－4x)＋＝cos 4x＋＝f (x)，x∈R， ∴f (x)为偶函数，B正确； 当x∈时，4x∈(－π，0)，此时y＝cos 4x单调递增， ∴f (x)单调递增，C正确； 当x＝时，f 不是f (x)的最值，所以x＝不是f (x)图象的对称轴，D错误．故选ABC. 13．(2024·山东聊城阶段练习)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2a(sin B＋sin C)＝b＋c，则sin B－sin C的值可能为(　　) A． B． C． D． 答案　BD 解析　因为2a(sin B＋sin C)＝b＋c， 由正弦定理得2sin A(b＋c)＝b＋c，即sin A＝. 又因为△ABC是锐角三角形，即A∈，可知A＝. 由解得<B<， 则sin B－sin C＝sin B－sin ＝sin B－sin B－cos B＝sin B－cos B＝sin ， 由<B<，可知B－∈，则sin ∈， 所以sin B－sin C的取值范围为.结合选项可知A、C错误，B、D正确．故选BD. 三、填空题 14．(2024·湖南、浙江、江苏三省联考)已知函数f (x)＝(sin x－cos x)cos x，若f (x)在区间上是单调函数，则实数θ的取值范围是________． 答案　 解析　f (x)＝sin x cos x－cos2x＝sin2x－×＝sin 2x－cos 2x－＝sin (2x－)－. 令t＝2x－，y＝sin t－，因为x∈，所以t∈， 又因为f (x)在区间上是单调函数，则y＝sin t－在区间上是单调函数，所以－π<2θ－≤－，即－<2θ≤－，解得－<θ≤－. 15．若α∈，tan 2α＝，则tan α＝________． 答案　 解析　因为α∈，所以tan 2α＝＝＝2cos2α－1＝4sinα－2sin2α2sin2α＋2cos2α－1＝4sinαsin α＝tan α＝. 16．(2024·河南开封统考二模)已知△ABC中，AB＝5，AC＝7，tan A＝－2tan B，则△ABC的面积为________． 答案　5 解析　由tan A＝－2tan B得＝－2，即sin A cos B＋cos A sin B＝－cos A sin B，则sin (A＋B)＝－cos A sin B，即sin C＝－cos Asin B，因为0<B<π，所以sin B>0，因此cos A＝－＝－＝－，由于sin A>0，所以sin A＝＝，故△ABC的面积为AB×AC sinA＝×5×7×＝5. 17.如图所示，点A是等边△BCD外一点，且∠BAD＝，AD＝2，BD＝2，则△ABC的周长为________． 答案　6＋2 解析　在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos ，整理可得AB2＋2AB－8＝0，解得AB＝2，即AB＝AD，∴∠ABD＝，又△BCD是等边三角形，∴∠ABC＝，又BC＝BD＝2，由勾股定理可得AC＝4，∴△ABC的周长为6＋2. 18．(2024·江苏盐城高三模拟)在△ABC中，已知AB＝2，BC＝3，点P在△ABC内，且满足CP＝2，∠APC＋∠ABC＝π，则四边形ABCP面积的最大值为________． 答案　2 解析　如图，设∠ABC＝α，则∠APC＝π－α， AC2＝22＋32－2×2×3cos α＝AP2＋22－2·AP·2·cos (π－α)， ∴AP2＋4AP cos α＋12cos α－9＝0，α∈(0，π)， 则AP＝3－4cos α，α∈(0，π)， ∴S四边形ABCP＝S△ABC－S△APC＝×2×3sin α－×2×(3－4cos α)sin (π－α)＝3sin α－(3－4cos α)sin α＝2sin 2α≤2. 四、解答题 19．(2024·沧州七校联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的周长为. (1)求C； (2)若a＝2，b＝4，D为边AB上一点，∠BCD＝，求△BCD的面积． 解析　(1)由题意知a＋b＋c＝， 由正弦定理得a＋b＋c＝， 整理得a2＋b2－c2＝－ab， 由余弦定理得cos C＝＝＝－， 又C∈(0，π)，所以C＝. (2)因为C＝，∠BCD＝，所以∠ACD＝， 由S△ABC＝S△ACD＋S△BCD，得ab sin ∠ACB＝b·CD＋a·CD sin ∠BCD， 即×2×4×＝×4×CD＋×2×CD×，即2＝2CD＋CD， 所以CD＝， 故△BCD的面积为S＝××2×＝. 20．(2024·安徽芜湖三模)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且b cos A＋b sin A＝a＋c. (1)求B； (2)若b＝2，△ABC的面积为，D为AC边上一点，满足CD＝2AD，求BD的长． 解析　(1)由正弦定理有sin B cos A＋sin Bsin A＝sin A＋sin C， 因为sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B， 所以sin B cos A＋sin B sin A＝sin A＋sin Acos B＋cos A sin B， 化简得sin B sin A＝sin A＋sin A cos B， 由A∈(0，π)，sin A≠0有sin B＝1＋cos B，可得sin ＝， 因为B∈(0，π)，B－∈， 所以B－＝，则B＝. (2)如图，由∠ABC＝，S＝ac sin ∠ABC＝有ac＝4， 由b2＝a2＋c2－2ac cos ∠ABC可得a2＋c2＝8， 联立解得a＝c＝2，所以△ABC为正三角形， 所以AD＝，A＝， 在△ABD中，由余弦定理得BD2＝22＋－2×2××＝. 故BD的长为. 21．(2024·淄博模拟)如图，在△ABC中，∠BAC＝，∠BAC的平分线交BC于P点，AP＝2. (1)若BC＝8，求△ABC的面积； (2)若CP＝4，求BP的长． 解析　(1)在△ABC中，设∠BAC，∠B，∠C的对边分别为a，b，c， 由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC， 即64＝c2＋b2＋bc，① S△ABC＝S△ABP＋S△ACP，即·＝·＋·， 整理得bc＝2b＋2c，② 由①②解得bc＝2＋2，所以S△ABC＝. (2)因为AP＝2，CP＝4，∠PAC＝， 所以在△APC中由余弦定理可得CP2＝AP2＋AC2－2AP·AC·cos ∠CAP， 所以16＝4＋AC2－2AC，解得AC＝1＋， 由正弦定理得＝， 即＝，解得sin C＝， 所以cos C＝＝， sinB＝sin (∠BAC＋C)＝sin ∠BAC cos C＋cos ∠BACsin C＝， 在△ABC中，由正弦定理得＝，则＝，解得BC＝，所以PB＝BC－PC＝－4＝. 22．(2024·河北省高三质量监测)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin sin 是sin (B－A)与sin C的等差中项． (1)求A的值； (2)若∠A的平分线交BC于点D，且AD＝1，BD＝2DC，求△ABC的面积． 解析　(1)在△ABC中，A＋B＋C＝π，即＋＝， 所以sin ＝cos ，sin C＝sin (A＋B)， 又因为sin sin 是sin (B－A)与sin C的等差中项， 得2sin cos ＝sin (B－A)＋sin C＝sin (B－A)＋sin (A＋B)，即2sin cos ＝2sin B cos A，即sin B＝2sin B cos A， 又0<B<π，则sin B≠0，故cos A＝，即A＝. (2)由题意得，＝＝2，即＝2，所以c＝2b， 因为S△ABD＋S△ACD＝S△ABC， 所以b sin 30°＋c sin 30°＝bc sin 60°，所以b＋c＝bc. 因为c＝2b，所以b＝，c＝， 所以S△ABC＝bc sin 60°＝. 23．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a＝2，b sin B＋c sin C－2sin A＝－b sin C. (1)求角A的大小； (2)已知AD是△ABC的中线，求AD的最小值． 解析　(1)由b sin B＋c sin C－2sin A＝－b sin C及正弦定理，得b2＋c2－2a＝－bc， 由余弦定理，得cos A＝＝，又a＝2，则cos A＝＝－，即A＝. (2)因为AD是△ABC的中线，故＝(＋)，两边平方可得2＝(2＋2＋2·)， 即||2＝(c2＋b2＋2bc cos ∠BAC)＝(c2＋b2－bc)，由(1)知b2＋c2＝4－bc，则||2＝(4－2bc)＝1－bc， 又因为b2＋c2＝4－bc≥2bc，即bc≤，当且仅当b＝c＝时等号成立， 此时||2＝1－bc≥1－×＝，即||≥. 故当b＝c＝时，AD的最小值为. 24．(2024·成都七中模拟)如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，D为BC边上一点，且AD平分∠BAC. (1)若BC＝3，求； (2)若cos ∠BAC＝，求线段AD的长． 解析　(1)设∠BAD＝∠CAD＝θ， 因为AD平分∠BAC，AB＝BC＝3，故∠C＝∠BAC＝2θ. 在△ADC中，由正弦定理知＝＝＝2cos θ， 又由余弦定理有cos 2θ＝cos C＝＝＝， 又cos 2θ＝＝2cos2θ－1，所以cosθ＝(负值舍去). 即＝2cos θ＝. (2)由cos ∠BAC＝，得cos 2θ＝，则cos θ＝(负值舍去). 又由S△ABC＝AB·AC sin 2θ＝S△ABD＋S△ACD＝(AB＋AC)AD sin θ， 得AD＝＝cos θ＝. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$