2025年高考数学二轮复习重点专题训练·三角函数的图象和性质

2025高考二轮复习重点专题训练·三角函数的图象和性质 一、单项选择题 1．(2024·保定九校三模)将函数f (x)＝sin 的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)＝(　　) A．sin 2x　　　　　　　　 B．－sin 2x C．sin D．cos 答案　C 解析　将函数f (x)＝sin 的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)＝f ＝sin 的图象．故选C. 2．(2024·扬州模拟)与函数y＝tan 的图象不相交的一条直线是(　　) A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 答案　B 解析　由2x＋≠＋kπ，k∈Z， 解得x≠＋，k∈Z，当k＝0时，x≠， ∴与函数y＝tan 的图象不相交的一条直线是x＝. 3．(2024·淄博模拟)已知函数f (x)＝sin (2x－)，则下列结论中正确的是(　　) A．函数f (x)的最小正周期T＝2π B．函数f (x)的图象关于点中心对称 C．函数f (x)的图象关于直线x＝对称 D．函数f (x)在区间上单调递增 答案　D 解析　f (x)的最小正周期T＝＝π，A错误．令2x－＝kπ，k∈Z，则x＝＋，k∈Z，令＋＝，得k＝Z，则不是对称中心，B错误．令2x－＝＋k1π，k1∈Z，则x＝＋，k1∈Z，令＋＝，则k1＝－Z，∴f (x)的图象不关于x＝对称，C错误．令－≤2x－≤，则－≤x≤，∴f (x)的一个单调递增区间为[－，]，又∵，∴f (x)在上单调递增，D正确．故选D. 4．(2024·广州一模)已知α，β是函数f (x)＝3sin －2在上的两个零点，则cos (α－β)＝(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　令f (x)＝0，得sin ＝.由题意知y＝sin 的图象与直线y＝在有两个交点，.当x∈时，2x＋∈，故y＝sin 在上的极值点为x＝，则α＋β＝2×＝.故cos (α－β)＝cos ＝cos ＝cos ＝sin ＝. 5.(2024·广州二模)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，若将函数f (x)的图象向右平移θ(θ>0)个单位长度后所得曲线关于y轴对称，则θ的最小值为(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　由题意得∴f (x)＝sin ，则f (x－θ)＝sin [2(x－θ)－]＝sin ，故－2θ－＝＋kπ，k∈Z，则θ＝－－，k∈Z，当k＝－1时，θ＝.故选A. 6．(2024·山东济宁三模)已知函数f (x)＝(sin x＋cos x)cos x－，若f (x)在区间上的值域为，则实数m的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　依题意，函数f (x)＝sin x cos x＋cos2x－＝sin2x＋cos 2x＝sin ， 当x∈时，2x＋∈，显然sin ＝sin ＝－，sin ＝1， 且正弦函数y＝sin x在上单调递减，由f (x)在区间上的值域为， 得≤2m＋≤，解得≤m≤， 所以实数m的取值范围是.故选D. 7.(2024·陕西商洛模拟预测)已知函数f (x)＝cos 2πx，则图中的函数图象所对应的函数解析式为(　　) A．y＝f (2x－1) B．y＝f C．y＝f D．y＝f 答案　B 解析　题目中图象对应的函数的最小正周期T＝2×(1－0)＝2， 对于A，f (2x－1)＝cos 2π(2x－1)＝cos (4πx－2π)＝cos 4πx， 最小正周期为＝，不符合题意，错误； 对于B，f ＝cos 2π＝cos (πx－2π)＝cos πx， 最小正周期为＝2，且(0，1)和(1，－1)都在图象上，符合题意，正确； 对于C，f ＝cos 2π＝cos (πx－π)＝－cos πx， 最小正周期为＝2，但函数图象过点(0，－1)，不符合题意，错误； 对于D，f ＝cos 2π＝cos (4πx－π)＝－cos 4πx， 最小正周期为＝，不符合题意，错误．故选B. 8．(2024·皖南八校联考)若将函数y＝sin (ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝sin 的图象重合，则ω的最小值是(　　) A． B． C． D．1 答案　A 解析　将函数y＝sin (ω>0)的图象向右平移个单位长度后得到函数y＝sin (ωx－ω＋)的图象，与函数y＝sin (ωx＋)的图象重合．故－ω＋＝＋2kπ(k∈Z)，ω＝－6k＋，k∈Z，所以正数ω的最小值为.故选A. 9．(2024·哈三中四模)函数f (x)＝tan (ωx＋φ)的图象如图所示，图中阴影部分的面积为6π，则φ＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案　A 解析　如图所示，区域①和区域③面积相等，故阴影部分的面积即为矩形ABCD的面积，可得AB＝3， 设函数f (x)的最小正周期为T，则AD＝T，由题意可得3T＝6π，解得T＝2π，故＝2π， 可得ω＝，即f (x)＝tan ，可知f (x)的图象过点，即tan ＝tan (＋φ)＝－1，∵φ∈，则＋φ∈，∴＋φ＝－，解得φ＝－.故选A. 10．(2024·安徽示范高中联考)已知函数f (x)＝sin ωx(sin ωx＋cos ωx)－(ω>0)在区间(0，π)上恰有1个极大值点和1个极小值点，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　f (x)＝sin ωx(sin ωx＋cos ωx)－＝＋－＝sin . ∵x∈(0，π)，∴2ωx∈(0，2ωπ)，∴2ωx－∈.∵f (x)在(0，π)上恰有1个极大值点和1个极小值点，∴<2ωπ－≤，解得<ω≤.故选B. 二、多项选择题 11．(2024·江西新余二模)已知函数f (x)＝2sin xcos x－2cos2x，则下列说法正确的是(　　) A．f (x)的值域为[－2－，2－] B．f (x)图象的对称中心为，k∈Z C．f (x)在上的单调递减区间为 D．f (x)在上的极值点个数为1 答案　AD 解析　f (x)＝2sinx cos x－2cos2x＝sin2x－cos 2x－＝2sin －， 由sin ∈[－1，1]，得f (x)∈[－2－，2－]，故A正确； 令2x－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z， 故f (x)图象的对称中心为，k∈Z，故B错误； 令＋2k1π≤2x－≤＋2k1π，k1∈Z，解得＋k1π≤x≤＋k1π，k1∈Z， 则f (x)在上的单调递减区间为，故C错误； 令2x－＝＋k2π，k2∈Z，即x＝＋，k2∈Z， 则f (x)在上的极值点有x＝一个，故D正确．故选AD. 12．(2024·山东模拟预测)已知函数f (x)＝a sin 2x＋cos 2x的图象关于直线x＝对称，则下列结论正确的是(　　) A．f ＝0 B．f 为奇函数 C．若f (x)在[－m，m]单调递增，则0<m≤ D．f (x)的图象与直线y＝x－有5个交点 答案　BCD 解析　因为函数f (x)＝a sin 2x＋cos 2x的图象关于直线x＝对称， 所以a sin ＋cos ＝或a sin ＋cos ＝－，解得a＝. 即f (x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin . 所以f ＝2sin ＝2sin ＝2sin ＝2，故A错误． f ＝2sin ＝2sin 2x，为奇函数，故B正确． 由－≤2x＋≤－≤x≤，所以f (x)在上单调递增，又因为f (x)在[－m，m]单调递增，所以0<m≤，故C正确． 设2x＋＝t，则x＝－. 作函数y＝2sin t和y＝－的草图如下， 可知两个函数的图象有5个交点，即f (x)的图象与直线y＝x－有5个交点，故D正确．故选BCD. 13．(2024·通州区联考)已知函数f (x)＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x，则(　　) A．f (x)的最小正周期为π B．f (x)图象的一个对称中心为 C．f (x)在区间上单调递减 D．f (x)在区间上有3个零点 答案　AC 解析　f (x)＝1＋sin 2x＋cos 2x＝2sin (2x＋)＋1，T＝π，A正确．f (x)图象的对称中心的纵坐标为1，B错误．令≤2x＋≤，则≤x≤，即f (x)的一个单调递减区间为，而，∴f (x)在上单调递减，C正确．令f (x)＝0，则2x＋＝π＋2kπ或π＋2k1π，k∈Z，k1∈Z，∴x＝π＋kπ或π＋k1π，k∈Z，k1∈Z.当k1＝－1时，x＝－；当k＝0时，x＝；当k1＝0时，x＝π；当k＝1时，x＝，即f (x)在上有4个零点，D错误．故选AC. 三、填空题 14．(2018·课标全国Ⅱ，改编)若f (x)＝cos x－sin x在[－a，a]上是减函数，则a的最大值是________． 答案　 解析　方法一：f (x)＝cos x－sin x＝cos (x＋)，且函数y＝cos x在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x＋≤π，得－≤x≤.因为f (x)在[－a，a]上是减函数，所以解得0<a≤，所以a的最大值是. 方法二：因为f (x)＝cos x－sin x，所以f ′(x)＝－sin x－cos x，则由题意，知f ′(x)＝－sin x－cos x≤0且不恒为0在[－a，a]上恒成立，即sin x＋cos x≥0且不恒为0，即sin (x＋)≥0且不恒为0在[－a，a]上恒成立，结合函数y＝sin 的图象可知有解得0<a≤，所以a的最大值是. 15．将函数f (x)＝cos (ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到偶函数g(x)的图象，则ω的最小值是________． 答案　 解析　由题意，得g(x)＝cos ＝cos ， 因为g(x)为偶函数，所以ω＋＝kπ，k∈Z， 解得ω＝－＋4k，k∈Z，又ω>0， 所以当k＝1时，ω取得最小值. 16．(2024·南京市联考)设函数f (x)＝sin (ωx＋φ)＋cos (ωx＋φ)，满足f (－x)＝f (x)，且函数f (x)的图象关于对称，则下列结论中正确的有________(填序号). ①ω＝2； ②φ＝； ③f (x)在上单调递增； ④函数f (x)在x＝处取极小值． 答案　①②④ 解析　依题意f (x)＝sin ，∵f (－x)＝f (x)，∴f (x)为偶函数，其图象关于y轴对称．由0＜ω＜4得T＝＞，又f (x)的图象关于对称，∴＝，∴T＝π＝，∴ω＝2，①正确；f (x)＝sin ，∵f (x)为偶函数，∴φ＋＝＋kπ，k∈Z，φ＝＋kπ，k∈Z，又|φ|<，∴φ＝，②正确；f (x)＝cos 2x在x＝处取极小值，④正确；当x∈时，2x∈(0，π)，故f (x)在上单调递减，③错误． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025高考二轮复习重点专题训练·三角函数的图象和性质 一、单项选择题 1．(2024·保定九校三模)将函数f (x)＝sin 的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)＝(　　) A．sin 2x　　　　　　　　 B．－sin 2x C．sin D．cos 2．(2024·扬州模拟)与函数y＝tan 的图象不相交的一条直线是(　　) A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 3．(2024·淄博模拟)已知函数f (x)＝sin (2x－)，则下列结论中正确的是(　　) A．函数f (x)的最小正周期T＝2π B．函数f (x)的图象关于点中心对称 C．函数f (x)的图象关于直线x＝对称 D．函数f (x)在区间上单调递增 4．(2024·广州一模)已知α，β是函数f (x)＝3sin －2在上的两个零点，则cos (α－β)＝(　　) A． B． C． D． 5.(2024·广州二模)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，若将函数f (x)的图象向右平移θ(θ>0)个单位长度后所得曲线关于y轴对称，则θ的最小值为(　　) A． B． C． D． 6．(2024·山东济宁三模)已知函数f (x)＝(sin x＋cos x)cos x－，若f (x)在区间上的值域为，则实数m的取值范围是(　　) A． B． C． D． 7.(2024·陕西商洛模拟预测)已知函数f (x)＝cos 2πx，则图中的函数图象所对应的函数解析式为(　　) A．y＝f (2x－1) B．y＝f C．y＝f D．y＝f 8．(2024·皖南八校联考)若将函数y＝sin (ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝sin 的图象重合，则ω的最小值是(　　) A． B． C． D．1 9．(2024·哈三中四模)函数f (x)＝tan (ωx＋φ)的图象如图所示，图中阴影部分的面积为6π，则φ＝(　　) A．－ B．－ C． D． 10．(2024·安徽示范高中联考)已知函数f (x)＝sin ωx(sin ωx＋cos ωx)－(ω>0)在区间(0，π)上恰有1个极大值点和1个极小值点，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． 二、多项选择题 11．(2024·江西新余二模)已知函数f (x)＝2sin xcos x－2cos2x，则下列说法正确的是(　　) A．f (x)的值域为[－2－，2－] B．f (x)图象的对称中心为，k∈Z C．f (x)在上的单调递减区间为 D．f (x)在上的极值点个数为1 12．(2024·山东模拟预测)已知函数f (x)＝a sin 2x＋cos 2x的图象关于直线x＝对称，则下列结论正确的是(　　) A．f ＝0 B．f 为奇函数 C．若f (x)在[－m，m]单调递增，则0<m≤ D．f (x)的图象与直线y＝x－有5个交点 13．(2024·通州区联考)已知函数f (x)＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x，则(　　) A．f (x)的最小正周期为π B．f (x)图象的一个对称中心为 C．f (x)在区间上单调递减 D．f (x)在区间上有3个零点 三、填空题 14．(2018·课标全国Ⅱ，改编)若f (x)＝cos x－sin x在[－a，a]上是减函数，则a的最大值是________． 15．将函数f (x)＝cos (ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到偶函数g(x)的图象，则ω的最小值是________． 16．(2024·南京市联考)设函数f (x)＝sin (ωx＋φ)＋cos (ωx＋φ)，满足f (－x)＝f (x)，且函数f (x)的图象关于对称，则下列结论中正确的有________(填序号). ①ω＝2； ②φ＝； ③f (x)在上单调递增； ④函数f (x)在x＝处取极小值． 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$