考前知识复盘 第二课 数学思想方法 (一) 函数与方程思想（教师用书WORD）-【正禾一本通】2025年高考数学高三二轮专题复习高效讲义（新教材）

　第二课　数学思想方法 (一)　函数与方程思想 1．函数的思想是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决． 2．方程的思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系． 3．函数思想与方程思想的联系 函数思想与方程思想密切相关．对于函数y＝f(x)，当y＝0时，转化为方程f(x)＝0，也可以把函数y＝f(x)看作二元方程y－f(x)＝0. 函数与方程的问题可相互转化．求方程f(x)＝0的解就是求函数y＝f(x)的零点．求方程f(x)＝g(x)的解的问题，可以转化为求函数y＝f(x)－g(x)与x轴的交点问题． 应用1　函数与方程思想在不等式中的应用 [例1]　(1)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　　 ) A．a>2b B．a<2b C．a>b2 D．a<b2 解析：选B.由指数与对数运算可得，2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b. 因为22b＋log2b<22b＋1＋log2b＝22b＋log22b，所以2a＋log2a<22b＋log22b. 令f(x)＝2x＋log2x，由指数函数与对数函数单调性可得f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，由f(a)<f(2b)可得a<2b. (2)已知关于x的不等式ax2e1-x－x ln x－1≤0恒成立，则实数a的取值范围是(　　 ) A． B．(－∞，0] C．(－∞，1] D． 解析：选C.原不等式⇔axe1-x≤ln x＋(x>0)， 当a≤0时，令g(x)＝ln x＋，则g′(x)＝－＝， 所以g(x)在(0，1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增，且g(1)＝1，所以ln x＋≥1，显然有axe1-x≤ln x＋； 当a>0时，令f(x)＝axe1-x－ln x－，则f′(x)＝， 所以f(x)在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，所以f(x)max＝f(1)≤0即可， 因为f(1)＝a－1，所以0<a≤1. 综上，a≤1. [对点练习]　1.(2024·福建泉州模拟)设实数m>0，若对任意的x∈(1，＋∞)，不等式2e2mx－≥0恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A． B． C．[1，＋∞) D．[e，＋∞) 解析：选A.因为m>0，不等式2e2mx－≥0恒成立，即2e2mx≥恒成立，即2me2mx≥ln x， 进而转化为2mxe2mx≥x ln x＝eln x·ln x恒成立， 构造函数g(x)＝xex，可得g′(x)＝ex＋xex＝(x＋1)ex，当x>0，g′(x)>0，g(x)单调递增， 则不等式2e2mx－≥0恒成立等价于g(2mx)≥g(ln x)恒成立，即2mx≥ln x恒成立， 进而转化为2m≥恒成立． 设h(x)＝，可得h′(x)＝， 当0<x<e时，h′(x)>0，h(x)单调递增； 当x>e时，h′(x)<0，h(x)单调递减， 所以当x＝e时，函数h(x)取得最大值，最大值为h(e)＝， 所以2m≥，即实数m的取值范围是. 应用2　函数与方程思想在平面向量中的应用 [例2]　已知单位向量a，b，满足|a－b|＋2a·b＝0，则|ta＋b|(t∈R)的最小值为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选B.由|a－b|＋2a·b＝0，得|a－b|＝－2a·b，两边平方，得a2－2a·b＋b2＝12(a·b)2， 即12(a·b)2＋2a·b－2＝0，整理得(2a·b＋1)(3a·b－1)＝0， 所以a·b＝－或a·b＝. 因为|a－b|＝－2a·b≥0，所以a·b≤0，所以a·b＝－， 所以|ta＋b|＝＝＝＝≥. [对点练习]　2.如图，已知AC＝2，B为AC的中点，分别以AB，AC为直径在AC同侧作半圆，M，N分别为两半圆上的动点(不含端点A，B，C)，且BM⊥BN，则 · 的最大值为__________． 解析：由题设可知，AB＝BC＝BN＝1.因为点M在以AB为直径的半圆上，所以AM⊥BM.又BM⊥BN，所以AM∥BN，若设∠MAB＝θ，则∠NBC＝θ.如图，建立平面直角坐标系xBy， 则A(－1，0)，M(－sin2θ，sinθcos θ)，C(1，0)，N(cos θ，sin θ)， 所以 ＝(－sin2θ＋1，sinθcos θ)＝(cos2θ，sin θcos θ), ＝(cos θ－1，sin θ)， 所以 · ＝cos2θ·(cosθ－1)＋sin2θcos θ＝cos3θ－cos2θ＋(1－cos2θ)cosθ＝－cos2θ＋cosθ＝－. 又易知0＜θ＜，所以当θ＝时， · 取得最大值. 答案： 应用3　函数与方程思想在三角函数中的应用 [例3]　(2024·四川内江模拟)已知f(x)＝sin x·cos (x－). (1)求f(x)的单调增区间和对称中心； (2)在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，f(A)＝，求的值域． 解：(1)由f(x)＝sin x·cos (x－)＝sin x(cos x＋sin x)＝sin 2x＋×＝sin (2x－)＋. 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 即f(x)的单调增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z； 由2x－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋kπ，k∈Z，故f(x)的对称中心为(＋kπ，)，k∈Z. (2)由f(A)＝sin (2A－)＋＝可得，sin (2A－)＝0， 因△ABC是锐角三角形， 故0<A<，则－<2A－<， 故2A－＝0，解得A＝， 由＝＋，设t＝，由正弦定理可得，t＝＝＝＝＝， 由解得<B<，则tan B>，0<<，故有<t<. 于是＝＋＝t＋，t∈(，)， 而g(t)＝t＋在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，且g()＝g()＝，g(1)＝2， 则的值域为[2，). [对点练习]　3.已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，S为△ABC的面积，sin (B＋C)＝. (1)证明：A＝2C； (2)若b＝2，且△ABC为锐角三角形，求S的取值范围． 解：(1)证明：由sin (B＋C)＝，即sin A＝，得sin A＝.又sin A≠0，∴bc＝a2－c2， 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，则bc＝b2－2bc cos A. 又b≠0，∴c＝b－2c cos A，由正弦定理得sin C＝sin B－2sin C·cos A，即sin C＝sin (A＋C)－2sin C·cos A＝sin (A－C). 又0<A<π，0<C<π，∴A＝2C. (2)∵A＝2C，∴B＝π－3C， ∴sin B＝sin 3C. ∵＝且b＝2，∴a＝， ∴S＝ab·sin C＝＝＝＝＝. ∵△ABC为锐角三角形，∴ ∴即 ∴<C<，∴tan C∈(，1)，∴S＝为增函数，∴S∈(，2). 应用4　函数与方程思想在数列中的应用 [例4]　(2024·江苏南通模拟)已知数列{an}满足a1＋＋…＋＝n，Tn＝＋＋…＋. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若λTn≤an＋49对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围． 解：(1)由数列{an}满足a1＋＋…＋＝n， 当n≥2时，可得a1＋＋…＋＝n－1， 两式相减，可得＝1，即an＝2n－1， 又由n＝1时，可得a1＝1，适合上式， 所以数列{an}的通项公式an＝2n－1. (2)由(1)知an＝2n－1，可得＝＝(－)， 所以Tn＝＋＋…＋＝[(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－)＝， 因为λTn≤an＋49对任意n∈N*恒成立， 即λ·≤2n＋48对任意n∈N*恒成立， 即λ≤对任意n∈N*恒成立， 令f(x)＝，x>0，即f(x)＝＝4x＋＋98， 可得函数f(x)在区间(0，2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增， 又由f(3)＝126，f(4)＝126， 所以的最小值为126，可得λ≤126， 所以实数λ的取值范围为(－∞，126]. [对点练习]　4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d.已知a3＝12，S12>0，a7<0，则下列结论正确的是(　　) ①a6>0；②数列是递增数列；③Sn<0时，n的最小值为13；④数列中最小项为第7项． A．①③ B．①④ C．②③④ D．①③④ 解析：选D.由已知得a3＝a1＋2d＝12，a1＝12－2d，S12＝＝>0，又a7<0，所以a6>0，故①正确； 由解得－<d<－3，又an＝a3＋(n－3)d＝12＋(n－3)d，当n∈[1，6]时，an>0，当n≥7时，an<0，又＝，所以n∈[1，6]时，>0，n≥7时，<0，所以在n∈[1，6](n∈N*)上单调递增，在n∈[7，＋∞)(n∈N*)上单调递增，所以数列{}不是递增数列，故②不正确； 由于S13＝＝＝13a7<0，而S12>0，所以Sn<0时，n的最小值为13，故③正确； 当n∈[1，6]时，an>0，当n≥7时，an<0，当n∈[1，12]时，Sn>0，当n≥13时，Sn<0，所以当n∈[7，12]时，an<0，Sn>0，{}<0，当n∈[7，12]时，{|an|}为递增数列，Sn为正数且为递减数列，所以数列{}中最小项为第7项，故④正确． 应用5　函数与方程思想在解析几何中的应用 [例5]　已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到直线y＝x＋1的距离为 . (1)求p的值； (2)点Q在直线x＝－1上，点P是抛物线上一点，且P点在第一象限，满足FP⊥FQ，记直线OP，OQ，PQ的斜率分别为k1，k2，k3，求k1·k2·k3的最小值． 解：(1)抛物线的焦点坐标为( ,0)， 其到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝ ，解得p＝2(p＝－6舍去). (2)抛物线C的方程为y2＝4x，焦点F(1，0)， 设P(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)，Q(－1，t)， 则y＝4x0. 因为FP⊥FQ，所以 · ＝－2(x0－1)＋ty0＝0， 即ty0＝2(x0－1)， 因为k1＝，k2＝－t，k3＝， 所以k1k2k3＝＝＝＝＝＝＝－4(－)＝4(－). 令＝x(x＞0)，则构造函数f(x)＝4x3－x(x＞0)， 所以f′(x)＝12x2－1， 令f′(x)≥0，得x≥， 令f′(x)＜0，得0＜x＜， 所以f(x)在(0，)上单调递减，在[，＋∞)上单调递增， 所以f(x)min＝f()＝－，即－的最小值为－， 所以k1k2k3的最小值为－. [对点练习]　5.已知椭圆C的方程为＋＝1，圆O的方程为x2＋y2＝4，过椭圆的右焦点F，斜率为的直线与椭圆交于A，B两点，与圆交于C，D两点． (1)求F的坐标和弦长CD取值范围； (2)求|CD|2·|AB|的取值范围． 解：(1)由题得c2＝4－3＝1，所以椭圆的右焦点F的坐标为(1，0). 由题得直线的方程为y＝(x－1)，即x－ky－1＝0.圆心到直线的距离为，所以|CD|＝2 ， 因为k2>0，所以弦长|CD|∈(2 ，4). (2)把直线方程代入椭圆的方程整理得(3k2＋4)x2－8x＋4－12k2＝0， 由弦长公式得|AB|＝ ×＝. 圆心到直线的距离为，所以|CD|＝2 ， 所以|CD|2·|AB|＝4()·＝48×. 设t＝k2>0，所以g(t)＝48×， 所以g′(t)＝48×>0， 所以函数g(t)在定义域内单调递增， 所以g(t)>48×＝36. 当t →＋∞时，48×→48×＝64， 所以|CD|2·|AB|的取值范围为(36，64). 学科网（北京）股份有限公司 $$