专题二 第一讲 三角函数的图象与性质（教师用书WORD）-【正禾一本通】2025年高考数学高三二轮专题复习高效讲义（新教材）

第一讲　三角函数的图象与性质 考点1　三角函数的图象 [核心整合] 1．“五点法”作图：①列表：设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值与相应的y的值；②描点；③连线． 2．由函数y＝sin x的图象变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)图象的步骤 角度1　图象变换 [例1]　(1)(2024·山东潍坊二模)将函数f(x)＝cos x的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g(x)的图象，则g(x)＝(　　 ) A．sin 2x B．sin C．－sin D．cos 2x 解析：选B.将函数f(x)＝cos x的图象向右平移个单位长度，得y＝cos (x－)＝sin x，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得g(x)＝sin x. (2)(2021·新课标Ⅰ卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin (x－)的图象，则f(x)＝(　　 ) A．sin (－) B．sin (＋) C．sin (2x－) D．sin (2x＋) 解析：选B.(方法一：正向变换)函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到y＝f(2x)的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到y＝f[2(x－)]的图象，根据已知得到了函数y＝sin (x－)的图象， 所以f[2(x－)]＝sin (x－)，令t＝2(x－)，则x＝＋，x－＝＋， 所以f(t)＝sin (＋)，所以f(x)＝sin (＋). (方法二：逆向变换)第一步：由已知的函数y＝sin (x－)向左平移个单位长度，得到y＝sin (x＋－)＝sin (x＋)的图象； 第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin (＋)的图象，即为y＝f(x)的图象，所以f(x)＝sin (＋). [规律总结]　解三角函数图象变换问题的三个关键点 (1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到哪一个函数的图象． (2)变同名：变换前后函数的名称要一样． (3)选方法：选择变换方法要注意对于函数y＝sin ωx(ω>0)的图象，向左平移|φ|个单位长度得到的是函数y＝sin [ω(x＋|φ|)]的图象，而不是函数y＝sin (ωx＋|φ|)的图象． 角度2　三角函数的图象与解析式 [例2]　(1)(2024·陕西西安模拟)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则f()＋f(－)＝(　　 ) A． B． C．0 D． 解析：选B.由图可得A＝，＝－＝，T＝＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝sin (2x＋φ). (方法一：代入法)因为(，0)在函数的图象上，所以f()＝sin (2×＋φ)＝0， 解得＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，因为|φ|<π，所以φ＝， 所以f(x)＝sin (2x＋)， 所以f()＋f(－)＝sin (2×＋)＋sin (－2×＋)＝×＋sin (－2π)＝. (方法二：五点法)由图象可知，当x＝时对应正弦函数图象的第三个点，所以2×＋φ＝π，解得φ＝.下同方法一． (2)(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)，如图A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝______． 解析：设A，B，由|AB|＝可得x2－x1＝， 由sin x＝可知，x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z，由图可知， ωx2＋φ－(ωx1＋φ)＝π－＝，即ω(x2－x1)＝，故ω＝4， 因为f()＝sin ＝0，所以＋φ＝kπ，即φ＝－＋kπ，k∈Z， 所以f(x)＝sin ＝sin (4x－＋kπ)， 所以f(x)＝sin 或f(x)＝－sin (4x－)， 又因为f(0)＜0，所以f(x)＝sin ，故f(π)＝sin ＝－. 答案：－ [规律总结]　由“图”定“式”，找“对应”的方法 由三角函数的图象求解析式y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)中参数的值，关键是厘清函数图象的特征与参数之间的对应关系． ①利用最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋B，m＝－A＋B，解得B＝，A＝. ②利用T定ω：由周期的求解公式T＝，可得ω＝. ③利用点的坐标定φ：一是运用代入法求解φ值，即将曲线上某个点的坐标代入解三角方程；二是用“五点法”求解φ值，即以曲线上某一个特殊点为突破口，“五点”即“峰点”“谷点”与三个“中心点”．代入“中心点”时要注意是上升趋势还是下降趋势． [对点练习]　1.(1)(2024·江西景德镇模拟)为了得到f(x)＝sin (3x＋)的图象，只需将y＝cos 3x(　　 ) A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 解析：选D.因为f(x)＝sin (3x＋)＝sin [＋(3x＋)]＝cos (3x＋)＝cos [3(x＋)]，所以将y＝cos 3x的图象向左平移个单位长度，可得f(x)＝sin (3x＋)的图象． (2)(多选)(2024·湖北襄阳模拟)已知函数f(x)＝A cos (ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，0<φ<)的部分图象如图，则(　　 ) A．b＝2 　 B．ω＝4 C．φ＝ 　D．f(x)的图象关于点(，1)对称 解析：选BD.由题图可得解得故A错误； 由题图可知，f(x)的最小正周期T＝－(－)＝，所以＝，则ω＝4，故B正确； 由题图可知，直线x＝×(＋)＝是函数f(x)图象的一条对称轴，所以4×＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ－，k∈Z，又0<φ<，所以φ＝，故C错误； 由上述可得f(x)＝2cos (4x＋)＋1，令4x＋＝kπ＋，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，当k＝0时，f(x)的图象的一个对称中心为(，1)，故D正确． 考点2　三角函数的性质 [核心整合] 函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的三大性质 单调性 由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得单调递增区间； 由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得单调递减区间 对称性 由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)可得对称中心横坐标；由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)可得对称轴 奇偶性 当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数 [例3]　(1)(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)在区间(，)单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条对称轴，则f(－)＝(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：选D.由题意知＝－＝，且ω>0，则T＝π，ω＝＝2， 当x＝时，f(x)取得最小值，则2·＋φ＝2kπ－，k∈Z，则φ＝2kπ－，k∈Z， 不妨取k＝0，则f(x)＝sin (2x－)， 则f(－)＝sin (－)＝. (2)(多选)(2024·福建三明模拟)已知函数f(x)＝A sin (ωx－)(ω>0)的图象过点(0，－1)，且两条相邻对称轴之间的距离为，则下列说法正确的是(　　 ) A．ω＝2 B．f(x)在[0，]上单调递增 C．直线x＝－为函数f(x)图象的一条对称轴 D．f(x)在[0，]上的值域为[－1，2] 解析：选ACD.由f(x)的图象过点(0，－1)，知－1＝A sin (－)，即A＝2.因为f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为，所以×＝，则ω＝2，故A正确； 选项B，因为f(x)＝2sin(2x－)，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， 所以函数f(x)在[0，)上单调递增，在[，]上单调递减，故B不正确； 选项C：由2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，当k＝－1时，x＝－，所以直线x＝－为函数f(x)图象的一条对称轴，故C正确； 由x∈[0，]，得2x－∈[－，]， 当2x－＝时，即x＝，函数y＝sin (2x－)取得最大值1，当2x－＝－时，即x＝0，函数y＝sin (2x－)取得最小值－，所以sin (2x－)∈[－，1]，所以f(x)∈[－1，2]，故D正确． [规律总结]　研究三角函数的性质，首先化函数为f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋h的形式，然后结合正弦函数y＝sin x的性质求f(x)的性质，此时有两种思路：一种是根据y＝sin x的性质求出f(x)的性质，然后判断各选项；另一种是由x的值或范围求得t＝ωx＋φ的范围，然后由y＝sin t的性质判断各选项． [对点练习]　2.(1)(多选)(2022·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)(0<φ<π)的图象关于点中心对称，则(　　) A．f(x)在单调递减 B．f(x)在区间有两个极值点 C．直线x＝是曲线y＝f(x)的对称轴 D．直线y＝－x是曲线y＝f(x)的切线 解析：选AD.由题意得f＝sin (＋φ)＝0，所以＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z，又0<φ<π，所以k＝2时，φ＝，故f(x)＝sin . 对于A，当x∈时，u＝2x＋∈，由正弦函数y＝sin u图象知y＝f(x)在上单调递减； 对于B，当x∈时，u＝2x＋∈(，)，由正弦函数y＝sin u图象知y＝f(x)只有1个极值点； 对于C，当x＝时，2x＋＝3π，f＝0，直线x＝不是对称轴； 对于D，由y′＝2cos ＝－1得cos (2x＋)＝－， 解得2x＋＝＋2kπ或2x＋＝＋2kπ，k∈Z， 从而得x＝kπ或x＝＋kπ，k∈Z， 所以函数y＝f(x)在点(0，)处的切线斜率为k＝y|x=0 =2cos ＝－1， 切线方程为y－＝－(x－0)，即y＝－x. (2)(多选)(2024·广东汕头二模)如图，函数f(x)＝tan (2x＋φ)(|φ|<)的部分图象与坐标轴分别交于点D、E、F，且△DEF的面积为，则(　　 ) A．点D的纵坐标为1 B．f(x)在(－，)上单调递增 C．点(，0)是f(x)图象的一个对称中心 D．f(x)的图象可由y＝tan x的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再将图象向左平移个单位长度得到 解析：选ABC.由周期可知EF＝，所以S△DEF＝×EF×OD＝×OD＝，则OD＝1，即点D的纵坐标为1，故A正确； 即f(0)＝tan φ＝1，且|φ|<，所以φ＝，即f(x)＝tan (2x＋)， 对于B，当x∈(－，)时，2x＋∈(－，)⊆ (－，)，所以f(x)在(－，)上单调递增，故B正确； 对于C，f()＝tan π＝0，所以点(，0)是f(x)图象的一个对称中心，故C正确； 对于D，将y＝tan x的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，得y＝tan 2x，再将图象向左平移个单位长度得y＝tan (2x＋)，故D错误． 学科网（北京）股份有限公司 $$