专题一 大题规范解答·(一)函数与导数（教师用书WORD）-【正禾一本通】2025年高考数学高三二轮专题复习高效讲义（新教材）

大题规范解答·(一)函数与导数 [典例示范] (17分)(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ln ＋ax＋b(x－1)3①. (1)若b＝0，且f′(x)≥0②，求a的最小值； (2)证明：曲线y＝f(x)是中心对称图形③； (3)若f(x)>－2当且仅当1<x<2④，求b的取值范围． 破题①：a.确定函数定义域；b.发现f(1)的特殊性． 破题②：简化函数f(x)，并对其求导． 破题③：a.证明函数f(x)是由某个奇函数经平移变换得到； b．根据函数特征求函数f(x)的对称中心． 破题④：f(1)＝－2. ————————————[满分作答]—————————————— 解：(1)当b＝0时，f(x)＝ln ＋ax，x∈(0，2)， 则f′(x)＝·()′＋a＝·＋a＝＋a.(2分) ① ∵f′(x)≥0，∴a≥在(0，2)上恒成立．(3分) ② 当x∈(0，2)时，x(x－2)∈[－1，0)， ∴∈(－∞，－2]，(4分) ③ ∴a∈[－2，＋∞)，即a的最小值为－2.(5分) (2)法一：∵f(x)＝ln ＋ax＋b(x－1)3，x∈(0，2)， ∴f(x＋1)＝ln ＋ax＋a＋bx3，x∈(－1，1).(6分) ④ 令g(x)＝f(x＋1)－a＝ln ＋ax＋bx3，x∈(－1，1)，(7分) 则g(－x)＝ln －ax－bx3＝－ln －ax－bx3＝－g(x), ⑤ ∴g(x)是定义域为(－1，1)的奇函数，其图象关于坐标原点O对称．(8分) 又∵f(x)的图象可由g(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移a个单位长度得到．(9分) ⑥ ∴曲线y＝f(x)是中心对称图形．(10分) 法二： f(x)的定义域为（0,2），f(1) =a .(6分) ⑦ 当x∈(－1，1)时，f(1＋x)＝ln ＋a(1＋x)＋bx3， f(1－x)＝ln ＋a(1－x)－bx3，(8分) ∴f(1＋x)＋f(1－x)＝ln ＋ln ＋2a＝2a，(9分) ⑧ ∴曲线y＝f(x)关于点(1，a)中心对称， 即曲线y＝f(x)是中心对称图形．(10分) (3)由(2)知，f(x)的图象关于点(1，a)中心对称，且f(x)在(0，2)内连续． 若f(x)>－2，当且仅当1<x<2，则f(1)＝－2，∴a＝－2. ∴f(x)＝ln －2x＋b(x－1)3>－2在区间(1，2)内恒成立．(11分) ⑨ f′(x)＝＋－2＋3b(x－1)2＝＋3b(x－1)2＝(x－1)2[＋3b]，(12分) ⑩ 令g(x)＝＋3b，则g(1)＝2＋3b，由2＋3b≥0， 得b≥－，此时，f′(x)≥0，f(x)在区间(1，2)内单调递增． ∴在区间(1，2)内恒有f(x)>f(1)＝－2.(13分) ⑪ 若b<－，则存在x∈(1，ε)，使得f′(x)<0，f(x)在区间(1，ε)内单调递减， 则在区间(1，2)内，f(x)<f(1)＝－2，不符合题意．(14分) 故b≥－. 对∀x∈(1，2)，f(x)≥ln －2x－(x－1)3. 令h(x)＝ln －2x－(x－1)3，(15分) 则h′(x)＝－2(x－1)2＝2(x－1)2[－1]>0对∀x∈(1，2)恒成立， ⑫ ∴h(x)>h(1)＝－2 符合条件．(16分) 综上所述，b的取值范围为[－，＋∞).(17分) ,【关键点拨】 ①处利用复合函数求导法则正确求导是解决本题的前提 ②处分离参数，转化为恒成立问题，进而需求的最大值 ③处依次利用二次函数的性质、不等式的性质逐步求的范围 ④处因为y＝ln ，y＝ax，y＝bx3均为奇函数，所以考虑f(x＋1)－a为奇函数 ⑤处利用奇函数定义证明g(x)为奇函数，所以图象关于(0，0)对称 ⑥处依据图象的平移变换规则，可得曲线y＝f(x)关于(1，a)对称 ⑦处由函数解析式的特点及定义域，赋值得f(1)＝a，即(1，a)是f(x)图象上的点 ⑧处通过验证f(1＋x)＋f(1－x)为定值，确定曲线y＝f(x)的对称中心 ⑨处若不等式恒成立，只需f(x)min>－2 ⑩处因为(x－1)2非负，只需分析g(x)＝＋3b的符号即可 ⑪处由b≥－将不等式简化，消去参数 ⑫处h′(x)>0对∀x∈(1，2)恒成立，知h(x)在(1，2)上单调递增 满分点评 (1)本题综合考查了函数的奇偶性、对称性等性质，导数的基本运算，利用导数研究函数的单调性及最值，不等式恒成立问题等知识，对数学运算、逻辑推理和数学抽象的数学素养有一定的要求，难度中高档，考查考生的转化与化归、分析和解决问题的能力． (2)第(1)问，求出f′(x)，由f′(x)≥0分离参数，转化为求函数的范围(最值); 第(2)问，法一：证明y＝f(x)的图象是由某个奇函数的图象平移变换得来的；法二：猜测y＝f(x)的对称中心，并用抽象函数关系验证； 第(3)问根据题设可判断f(1)＝－2，即a＝－2，根据f(x)>－2在(1，2)上恒成立可求得b≥－，即在此条件下验证不等式恒成立 学科网（北京）股份有限公司 $$