专题一 第四讲 强化拓展(一) 导数中的函数构造（教师用书WORD）-【正禾一本通】2025年高考数学高三二轮专题复习高效讲义（新教材）

强化拓展(一)　导数中的函数构造　

【编者按】 　导数中的函数构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题形式命题，根据已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，能快速解决比较大小、解不等式、恒成立等问题．

构造一　利用f(x)与xn构造

[例1]　(2024·广东佛山模拟)已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，f ′(x)是f(x)的导函数，且当x∈(－∞，0)时，xf ′(x)<2f(x)，f(－1)＝0，则不等式f(x2)>0的解集为(　　 )

A．(－∞，－1)∪(0，1)

B．(－1，a)∪(0，1)

C．(－1，0)∪(1，＋∞)

D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

解析：选D.令g(x)＝，则g′(x)＝.

因为当x∈(－∞，0)时，xf ′(x)<2f(x)，

所以g′(x)＝>0，

所以g(x)在(－∞，0)上单调递增．

因为f(x)为奇函数，所以g(x)为奇函数．

因为f(－1)＝0，所以g(－1)＝－g(1)＝0，

所以f(x2)>0，即g(x2)>0，所以x2>1，所以x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞).

[规律总结]　利用f(x)与x(xn)构造函数的技巧

(1)对于f ′(x)＋g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)＋g(x).

(2)对于f ′(x)－g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)－g(x).

(3)对于f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0(或<0)，可构造函数F(x)＝f(x)g(x).

(4)对于f ′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0(或<0)，可构造函数F(x)＝.

(5)对于xf ′(x)＋f(x)>0(或<0)，可构造函数F(x)＝xf(x).

(6)对于xf ′(x)－f(x)>0(或<0)，可构造函数F(x)＝.

(7)对于xf ′(x)＋nf(x)>0(或<0)，可构造函数F(x)＝xnf(x).

(8)对于xf ′(x)－nf(x)>0(或<0)，可构造函数F(x)＝.

[对点练习]　1.(2024·福建厦门三模)已知奇函数f(x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R，f(1)＝2，当x>0时，xf ′(x)＋f(x)>0，则使不等式xf(x)>2成立的x的取值范围是________．

解析：因为当x>0时，xf ′(x)＋f(x)>0，所以[xf(x)]′>0，令F(x)＝xf(x)，则f ′(x)>0，F(x)单调递增，

因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)，

所以F(－x)＝(－x)f(－x)＝－x[－f(x)]＝xf(x)＝F(x)，所以F(x)为偶函数，图象关于y轴对称，

因为f(1)＝2，所以F(1)＝f(1)＝2，所以F(－1)＝2，大致图象如图，