专题一 重点题型(一) 公切线问题（教师用书WORD）-【正禾一本通】2025年高考数学高三二轮专题复习高效讲义（新教材）

重点题型(一)　公切线问题 【编者按】 　函数的公切线问题是导数的重要应用之一，利用导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要利用消元与转化，考查构造函数、数形结合能力，培养逻辑推理、数学运算素养． 角度1　求两个函数的公切线 [例1]　已知直线l是曲线y＝ln (x－2)＋2与y＝ln (x－1)的公切线，则直线l与x轴的交点坐标为________． 解析：设直线l与曲线y＝ln (x－2)＋2和y＝ln (x－1)分别相切于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，分别求导，得y′＝，y′＝， 故l：y－[ln (x1－2)＋2]＝(x－x1)，整理可得y＝x＋ln (x1－2)＋2－. 同理得l：y－ln (x2－1)＝(x－x2)，整理可得y＝x＋ln (x2－1)－. 因为直线l为两曲线的公切线， 所以 解得 所以直线l的方程为y＝2x－3－ln 2，令y＝0，则x＝. 则直线l与x轴的交点坐标为(，0). 答案：(，0) [规律总结]　解决曲线y＝f(x)和y＝g(x)的公切线问题时，通常有两种方法：一是利用其中一条曲线在某点处的切线与另一条曲线相切，列出关系式求解；二是分别设出公切线与曲线y＝f(x)和y＝g(x)的切点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有f '(x1)＝g′(x2)＝，据此列式求解． [对点练习]　1.已知函数f(x)＝＋，g(x)＝3ln x，若直线l与曲线y＝f(x)及y＝g(x)均相切，且切点相同，则公切线l的方程为________． 解析：设切点为(x0，y0)， 由得 解得x0＝e，y0＝3ln x0＝3， 故切线方程为y－3＝(x－e)，即y＝x. 答案：y＝x 角度2　与公切线有关的求值问题 [例2]　(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝________． 解析：由题，令f(x)＝ex＋x，则f '＝ex＋1，所以f '＝2，所以曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1.令g(x)＝ln (x＋1)＋a，则g′＝，设直线y＝2x＋1与曲线y＝g(x)相切于点(x0，y0)，则＝2，得x0＝－，则y0＝2x0＋1＝0，所以0＝ln ＋a，所以a＝ln 2. 答案：ln 2 [规律总结]　此类问题一般是利用导数的几何意义，充分利用切点既在曲线上又在切线上构造方程求解． [对点练习]　2.已知曲线y＝ex在点(x1，)处的切线与曲线y＝ln x在点(x2，ln x2)处的切线相同，则(x1＋1)(x2－1)＝(　　 ) A．－1 B．－2 C．1 D．2 解析：选B.已知曲线y＝ex在点(x1，)处的切线方程为y－＝(x－x1)， 即y＝x－x1＋， 曲线y＝ln x在点(x2，ln x2)处的切线方程为y－ln x2＝(x－x2)，即y＝x－1＋ln x2， 由题意得得x2＝，－x1＝－1＋ln x2＝－1＋ln ＝－1－x1，则＝. 又x2＝，所以x2＝，所以x2－1＝－1＝， 所以(x1＋1)(x2－1)＝－2. 角度3　判断公切线的条数 [例3]　已知函数f(x)＝x2－4x＋4，g(x)＝x-1，则f(x)和g(x)的公切线的条数为(　　 ) A．3 B．2 C．1 D．0 解析：选A.设公切线与f(x)和g(x)分别相切于点(m，f(m))，(n，g(n))，f '(x)＝2x－4，g′(x)＝－x-2，g′(n)＝f '(m)＝，解得m＝－＋2， 代入化简得8n3－8n2＋1＝0，构造函数φ(x)＝8x3－8x2＋1，φ′(x)＝8x(3x－2)， 故函数φ(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，)上单调递减，(，＋∞)上单调递增， 所以极大值f(0)>0，极小值f()<0， 故函数和x轴有3个交点，方程8n3－8n2＋1＝0有三解，故切线有3条． [对点练习]　3.曲线y＝－(x<0)与曲线y＝ln x公切线的条数为________． 解析：由已知，y＝－的导数为y′＝，y＝ln x的导数为y′＝， 设公切线在函数y＝－的切点为(x1，－)(x1<0)，在函数y＝ln x的切点为(x2，ln x2)， 则切线为y＋＝(x－x1)，y－ln x2＝(x－x2)，又两切线相同， 则有消去x2，整理得＋2ln (－x1)－1＝0， 记g(x)＝＋2ln (－x)－1，则g′(x)＝－＋＝(1－)， 当x<0时，g′(x)<0，g(x)单调递减， 且g(－e)＝2－－1>0，g(－)＝－2e－3<0， 因此g(x)＝0在(－∞，0)上只有一解，即方程＋2ln (－x1)－1＝0只有一解， 因此所求公切线只有一条． 答案：1 角度4　求参数的取值范围 [例4]　若函数f(x)＝ln x＋ax与函数g(x)＝x2的图象存在公切线，则实数a的取值范围是(　　 ) A．(－∞，－1] B．(－∞，0] C．(－∞，1] D．(－∞，2] 解析：选C.f '(x)＝＋a，g′(x)＝2x，设公切线与g(x)的图象的切点为(s，t)，与f(x)的图象的切点为(m，n)(m＞0)，则公切线的斜率k＝2s＝＋a＝，又t＝s2，n＝ln m＋am，所以n－t＝2sm－2s2＝1＋am－2s2＝1＋am－2t，则n＝1＋am－t＝ln m＋am，t＝1－ln m＝s2，ln m＝1－s2，可得m＝e1－s2，a＝2s－＝2s－es2－1.设h(s)＝2s－es2－1，则h′(s)＝2－2ses2－1＝0，得s＝1，当s＞1时，h′(s)＜0，h(s)在(1，＋∞)上单调递减，当s＜1时，h′(s)＞0，h(s)在(－∞，1)上单调递增，所以h(s)max＝h(1)＝2－1＝1，故a≤1. [规律总结]　利用导数的几何意义，构造参数，建立关于切点横坐标或切线斜率k的函数，转化成函数的零点问题或两个函数的交点问题，利用函数的性质或图象求解． [对点练习]　4.(2024·山东烟台模拟)若曲线y＝kx-1(k<0)与曲线y＝ex有两条公切线，则k的值为________． 解析：令f(x)＝kx-1(k<0)，g(x)＝ex，则f '(x)＝－，g′(x)＝ex， 设A(x1，f(x1))，则曲线y＝f(x)在A处切线为y－f(x1)＝f '(x1)(x－x1)，即y＝－x＋. 设B(x2，g(x2))，则曲线y＝g(x)在B处切线为y－g(x2)＝g′(x2)(x－x2)，即y＝x＋(1－x2). 由题意消去x1得－4k＝(1－x2)2， 由题意知方程－4k＝(1－x)2ex有两个不同的实数根， 令φ(x)＝(1－x)2ex，则φ′(x)＝(x2－1)ex＝(x－1)(x＋1)ex， 当x<－1时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增；当－1<x<1时，φ′(x)<0，φ(x)单调递减；当x>1时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增． 故当x＝－1时，φ(x)取极大值φ(－1)＝；当x＝1时，φ(x)取极小值φ(1)＝0， 又当x≠1时φ(x)>0，根据以上信息作出φ(x)的大致图象， 由图可知当－4k＝，即k＝－时，直线y＝－4k与φ(x)的图象有两个交点，从而方程－4k＝(1－x)2ex有两个不同的实数根， 所以曲线y＝kx-1(k<0)与曲线y＝ex有两条公切线时，k的值为－. 答案：－ 学科网（北京）股份有限公司 $$