课下巩固训练（三十四）圆锥曲线中的定点、定值问题-【正禾一本通】2025年高考数学高三二轮专题复习高效讲义（新教材）

[课下巩固训练(三十四)]　圆锥曲线中的定点、定值问题 【解答题】每小题10分 1．(2024·湖北襄阳模拟)已知点A、B分别是椭圆C：＝1(a>b>0)的上、下顶点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，|AF1|＋|AF2|＝4，|AB|＝2. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点M(0，1)的直线与椭圆C交于不同两点P、Q(P、Q与椭圆上、下顶点均不重合)，证明：直线AP、BQ的交点在一条定直线上． 解：(1)由|AF1|＋|AF2|＝4⇒a＝2，|AB|＝2⇒b＝， 所以所求椭圆的标准方程为＝1. (2)如图，过M点的直线与椭圆相交于P、Q两点，因为P、Q不与A、B重合，故直线的斜率一定存在，设直线方程为y＝kx＋1， 联立方程组消去y得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝，所以x1＋x2＝kx1x2， 直线AP：⇒y－x， 直线BQ：y＋x， 所以， 所以y－＝，化简得y＝3， 即直线AP与BQ的交点在定直线y＝3上． 2．(2024·山西太原模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2，O为坐标原点． (1)求E的方程； (2)已知点T(t，0)，若E上存在一点P，使得＝－1，求t的取值范围； (3)过M(－4，0)的直线交E于A，B两点，过的直线交E于A，C两点，B，C位于x轴的同侧，证明：∠BOC为定值． 解：(1)由题意可知：焦点F到准线的距离为p＝2， 所以抛物线E的方程为y2＝4x. (2)设P(x，y)，可知y2＝4x，x≥0，则＝(－x，－y)，＝(t－x，－y)， 可得＝－x(t－x)＋y2＝x2－tx＋4x＝x2＋(4－t)x＝－1， 显然x＝0不满足上式，则x>0，可得t－4＝x＋， 又因为x＋＝2，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立， 则t－4≥2，即t≥6， 所以t的取值范围为[6，＋∞)． (3)设A，B，C， 则直线AB的斜率kAB＝， 可得直线AB的方程为y－y1＝，整理得4x－(y1＋y2)y＋y1y2＝0， 同理可得直线AC的方程为4x－(y1＋y3)y＋y1y3＝0， 由题意可得 整理得 又因为直线OB，OC的斜率分别为kOB＝， 显然∠BOC为锐角，则tan ∠BOC＝＝＝＝＝， 所以∠BOC＝，为定值． 3．(2024·山东青岛模拟)中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C经过点，一条渐近线方程为x－y＝0. (1)求C的方程： (2)若过C的上焦点F的直线与C交于A，B两点．求证：以AB为直径的圆过定点．并求该定点． 解：(1)由题可设双曲线方程为x2－3y2＝λ(λ≠0)， 因为双曲线经过点， 所以λ＝2－32＝－3， 故双曲线方程为y2－＝1. (2)设AB方程为x＝m(y－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立化简得(3－m2)y2＋4m2y－4m2－3＝0， 显然Δ>0，m≠±，由韦达定理得y1＋y2＝， x1x2＝m2(y1－2)(y2－2)＝m2[y1y2－2(y1＋y2)＋4]＝， 以AB为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0， 即x2－(x1＋x2)x＋x1x2＋y2－(y1＋y2)y＋y1y2＝0， 由对称性知以AB为直径的圆必过y轴上的定点，令x＝0，得y2－(y1＋y2)y＋x1x2＋y1y2＝0， 所以y2＋＝0，即(3－m2)y2＋4m2y＋5m2－3＝0. 所以[(3－m2)y＋5m2－3](y＋1)＝0对∀m∈R恒成立，得y＝－1， 则经过定点(0，－1)， 检验，当y＝2时，A(－3，2)，B(3，2)， 此时圆的方程为x2＋(y－2)2＝9，也经过点(0，－1)， 故以AB为直径的圆过定点(0，－1)． 4．(2024·新疆乌鲁木齐模拟)在平面直角坐标系xOy中，重新定义两点A(x1，y1)，B(x2，y2)之间的“距离”为|AB|＝|x2－x1|＋|y2－y1|，我们把到两定点F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)的“距离”之和为常数2a(a>c)的点的轨迹叫“椭圆”． (1)求“椭圆”的方程； (2)根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由； (3)设c＝1，a＝2，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为C，C的左顶点为A，过F2作直线交C于M，N两点，△AMN的外心为Q，求证：直线OQ与MN的斜率之积为定值． 解：(1)设“椭圆”上任意一点为P(x，y)， 则|PF1|＋|PF2|＝2a， 即|x＋c|＋|y|＋|x－c|＋|y|＝2a，即|x＋c|＋|x－c|＋2|y|＝2a(a>c>0)， 所以“椭圆”的方程为|x＋c|＋|x－c|＋2|y|＝2a(a>c>0)． (2)由方程|x＋c|＋|x－c|＋2|y|＝2a，得2|y|＝2a－|x＋c|－|x－c|， 因为|y|≥0，所以2a－|x＋c|－|x－c|≥0，即2a≥|x＋c|＋|x－c|， 所以或或 解得－a≤x≤a， 由方程|x＋c|＋|x－c|＋2|y|＝2a，得|x＋c|＋|x－c|＝2a－2|y|， 即2a－2|y|＝≥2c，所以c－a≤y≤a－c， 所以“椭圆”的范围为－a≤x≤a，c－a≤y≤a－c， 将点(－x，y)代入得|－x＋c|＋|－x－c|＋2|y|＝2a，即|x＋c|＋|x－c|＋2|y|＝2a，方程不变，所以“椭圆”关于y轴对称， 将点(x，－y)代入得|x＋c|＋|x－c|＋2|－y|＝2a，即|x＋c|＋|x－c|＋2|y|＝2a，方程不变，所以“椭圆”关于x轴对称， 将点(－x，－y)代入得|－x＋c|＋|－x－c|＋2|－y|＝2a， 即|x＋c|＋|x－c|＋2|y|＝2a，方程不变，所以“椭圆”关于原点对称， 所以“椭圆”关于x轴，y轴，原点对称． (3)当c＝1，a＝2时，根据(2)可作出“椭圆”，如图1. 由题意可设椭圆C的方程为＝1， 将点(1，1)代入得＝1，解得b2＝， 所以椭圆C的方程为＝1，F2(1，0)，A(－2，0)， 由题意可设直线MN的方程为x＝my＋1(m≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立得(m2＋3)y2＋2my－3＝0， Δ＝4m2＋12(m2＋3)＝16m2＋36>0恒成立， 则y1＋y2＝－， 因为AM的中点为，kAM＝， 所以直线AM的中垂线的方程为y－＝－， 同理直线AN的中垂线的方程为y－， 设Q(x0，y0)，则y1，y2是方程y0－的两根， 即y1，y2是方程(m2＋1)y2－(2mx0－2m＋2y0)y－3－6x0＝0的两根， 所以y1＋y2＝， 又因y1＋y2＝－，所以， 两式相比得，所以＝－3m， 所以kMN·kOQ＝＝－3， 所以直线OQ与MN的斜率之积为定值－3. 学科网（北京）股份有限公司 $$