课下巩固训练（二十八）直线与圆-【正禾一本通】2025年高考数学高三二轮专题复习高效讲义（新教材）

[课下巩固训练(二十八)]　直线与圆 【选择题】每小题5分 一、单选题 1．(2024·辽宁大连一模)过点(－1，1)和(1，3)，且圆心在x轴上的圆的方程为(　　 ) A．x2＋y2＝4 B．(x－2)2＋y2＝8 C．(x－1)2＋y2＝5 D．(x－2)2＋y2＝10 答案：D 解析：令该圆圆心为(a，0)，半径为r，则该圆方程为(x－a)2＋y2＝r2， 则有解得故该圆方程为(x－2)2＋y2＝10. 2．(2024·河北保定模拟)已知直线l1：ax＋2y＋b＝0与直线l2：bx－y＋a＝0垂直，则a2＋b2的最小值为(　　 ) A．2 B．4 C．6 D．8 答案：B 解析：因为直线l1：ax＋2y＋b＝0与直线l2：bx－y＋a＝0垂直，所以ab－2×1＝0，即ab＝2，所以a2＋b2≥2ab＝4，当且仅当a＝b＝或a＝b＝－时等号成立，即a2＋b2的最小值为4. 3．(2024·浙江宁波二模)已知直线l：x－y＋1＝0与圆C：x2＋y2－2x－m＝0相离，则实数m的取值范围是(　　 ) A．m<1 B．－1<m<1 C．m>1 D．m>－1 答案：B 解析：圆C：x2＋y2－2x－m＝0即(x－1)2＋y2＝m＋1，则圆C圆心为(1，0)，半径为，m>－1，因为直线l：x－y＋1＝0与圆C：x2＋y2－2x－m＝0相离，所以>，解得－1<m<1. 4．(2024·辽宁抚顺三模)已知直线y＝x＋1与圆C：x2＋y2＝5相交于M，N两点，O为坐标原点，则△MON的面积为(　　 ) A． B．2 C． D．4 答案：A 解析：设点O到直线MN的距离为d，则d＝＝2所以S△MON＝. 5．已知点P是直线l1：mx－ny－5m＋n＝0和l2：nx＋my－5m－n＝0(m，n∈R，m2＋n2≠0)的交点，点Q是圆C：(x＋1)2＋y2＝1上的动点，则|PQ|的最大值是(　　) A．5＋2 B．6＋2 C．5＋2 D．6＋2 答案：B 解析：因为直线l1：mx－ny－5m＋n＝0，即m(x－5)－n(y－1)＝0， 令解得可知直线l1过定点A(5，1)， 同理可知，直线l2过定点B(1，5)， 又因为m×n＋(－n)×m＝0，可知l1⊥l2， 所以直线l1与直线l2的交点P的轨迹是以AB的中点M(3，3)为圆心，半径r＝＝2的圆， 因为圆C的圆心C(－1，0)，半径R＝1， 所以|PQ|的最大值是|MC|＋r＋R＝. 6．(2024·河北沧州一模)过点P(1，2)作圆O：x2＋y2＝10相互垂直的两条弦AB与CD，则四边形ACBD的面积的最大值为(　　 ) A．6 B．2 C．9 D．15 答案：D 解析：如图所示：OP＝，记OM＝m，ON＝n，则m2＋n2＝5， AB＝2， S四边形ACBD＝＝15， 当且仅当，即m＝n＝时，取等号， 所以四边形ACBD的面积的最大值为15. 7．(2024·江苏苏锡常镇一模)莱莫恩(Lemoine)定理指出：过△ABC的三个顶点A，B，C作它的外接圆的切线，分别和BC，CA，AB所在直线交于点P，Q，R，则三点P，Q，R在同一条直线上，这条直线被称为三角形的Lemoine线．在平面直角坐标系xOy中，若三角形的三个顶点坐标分别为A(0，1)，B(2，0)，C(0，－4)，则该三角形的Lemoine线的方程为(　　 ) A．2x－3y－2＝0 B．2x＋3y－8＝0 C．3x＋2y－22＝0 D．2x－3y－32＝0 答案：B 解析：设△ABC的外接圆为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ∴解得 ∴外接圆方程为x2＋y2＋3y－4＝0，即x2＋2＝，易知外接圆在A处切线方程为y＝1，又BC：＝1，令y＝1得，x＝，∴P， 在C(0，－4)处切线方程为y＝－4， 又AB：＋y＝1，令y＝－4得x＝10，∴R(10，－4)， 则三角形的Lemoine线的方程为，即2x＋3y－8＝0. 8．(2024·山西太原模拟)已知O是坐标原点，若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0上有且仅有2个点到直线2x－y－1＝0的距离为2，则实数a的取值范围为(　　 ) A． B． C． D． 答案：A 解析：圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a(a<5)的圆心C(－1，2)，半径r＝， 设与直线l：2x－y－1＝0平行且距离为2的直线方程为2x－y－t＝0(t≠1)， 则＝2，解得t＝±2＋1，直线l1：2x－y＋2－1＝0，l2：2x－y－2－1＝0， 点C(－1，2)到直线l1的距离d1＝－2，到直线l2的距离d2＝＋2， 由圆C上有且仅有2个点到直线2x－y－1＝0的距离为2，得圆C与直线l1相交，且与直线l2相离，则即解得－4－4<a< 所以实数a的取值范围为. 二、多选题 9．(2024·河北沧州模拟)已知圆C1：x2＋y2－2x－2y－2＝0，圆C2：x2＋y2－8x－10y＋32＝0，则下列选项正确的是(　　 ) A．直线C1C2的方程为4x－3y－1＝0 B．圆C1和圆C2共有4条公切线 C．若P，Q分别是圆C1和圆C2上的动点，则|PQ|的最大值为10 D．经过点C1，C2的所有圆中面积最小的圆的面积为π 答案：ACD 解析：由题意得，圆C1：(x－1)2＋(y－1)2＝4的圆心C1(1，1)，半径r1＝2， 圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝9的圆心C2(4，5)，半径r2＝3. 因为直线C1C2的方程为，即4x－3y－1＝0，所以A正确； 因为|C1C2|＝＝5且r1＋r2＝2＋3＝5，可得|C1C2|＝r1＋r2， 所以圆C1与圆C2外切，故两圆的公切线共有3条，所以B错误； 因为|C1C2|＝5，所以|PQ|的最大值为|C1C2|＋r1＋r2＝10，所以C正确； 当2＝π，所以D正确． 10．(2024·湖北荆州模拟)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，则下列说法正确的是(　　 ) A．直线l恒过定点(3，1) B．直线l被圆C截得的弦最长时，m＝－ C．直线l被圆C截得的弦最短时，m＝－ D．直线l被圆C截得的最短弦长为2 答案：ABC 解析：直线l的方程可化为(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0，令解得所以直线恒过定点P(3，1)，故A正确； 因为(3－1)2＋(1－2)2＝5<25，即点P(3，1)在圆C内，当直线l过圆心C时，直线被圆截得的弦长最长，此时2m＋1＋2(m＋1)－7m－4＝0，解得m＝－，故B正确； 当直线l⊥CP时，直线被圆截得的弦长最短，直线l的斜率为k＝－(m≠－1)，kCP＝由－＝－1，解得m＝－，故C正确； 直线l被圆C截得的弦最短时，直线l的方程是2x－y－5＝0，圆心C(1，2)到直线2x－y－5＝0的距离为d＝＝|BP|＝＝2|AP|＝4，故D错误． 11．(2024·湖南邵阳一模)设点P(x，y)为圆C：x2＋y2＝1上一点，已知点A(4，0)，B(5，0)，则下列结论正确的有(　　 ) A．x＋y的最大值为 B．x2＋y2－4x－4y的最小值为－8 C．存在点P使|PB|＝ D．过A点作圆C的切线，则切线长为 答案：AD 解析：设x＋y＝t，即x＋y－t＝0，由≤1得－，∴t的最大值是，所以A正确； x2＋y2－4x－4y＝(x－2)2＋(y－2)2－8，只有x＝2且y＝2时，x2＋y2－4x－4y才能取得最小值－8，但x2＋y2＝1时，－1≤x≤1且－1≤y≤1，因此上述最小值不能取得，所以B错误； 由|PB| ＝，整理得(x－3)2＋y2＝2，因此满足|PB|＝的点P在圆(x－3)2＋y2＝2，此圆圆心为(3，0)，半径为， 而＝，所以C错误； 圆C圆心为C(0，0)，半径为r＝1，则过A点作圆C的切线，切线长为，D正确． 【填空题】每小题5分 三、填空题 12．(2024·浙江杭州二模)写出与圆x2＋y2＝1相切且方向向量为的一条直线的方程______． 解析：因为切线的方向向量为，所以切线的斜率为，故可设切线方程为y＝x＋b，因为直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相切， 又圆x2＋y2＝1的圆心坐标为(0，0)，半径为1，圆心(0，0)到直线y＝x＋b的距离为， 所以＝1，所以b＝2或b＝－2， 所以与圆x2＋y2＝1相切且方向向量为的直线为y＝x＋2或y＝x－2. 答案：y＝x＋2或y＝x－2(写出一个即可) 13．(2024·陕西安康模拟)已知直线l1：2x＋y－6＝0与l2：2x＋y＋4＝0均与⊙M相切，点(2，2)在⊙M上，则⊙M的方程为________. 解析：由于直线l：2x＋y－6＝0与l2：2x＋y＋4＝0平行，且均与⊙M相切， 所以两直线之间的距离为圆的直径，即2r＝⇒r＝， 又(2，2)在l1：2x＋y－6＝0上，所以(2，2)为切点， 故过(2，2)且与l1：2x＋y－6＝0垂直的直线方程为y＝(x－2)＋2， 联立⇒所以l2：2x＋y＋4＝0与⊙M相切于点(－2，0)， 故圆心为(2，2)与(－2，0)的中点，即圆心为(0，1)， 故圆的方程为x2＋(y－1)2＝5. 答案：x2＋(y－1)2＝5 14．(2024·广东湛江一模)已知点P为直线x－y－3＝0上的动点，过P作圆O：x2＋y2＝3的两条切线，切点分别为A，B，若点M为圆E：(x＋2)2＋(y－3)2＝4上的动点，则点M到直线AB的距离的最大值为________． 解析：设P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则满足x0－y0－3＝＝3； 易知圆O：x2＋y2＝3 的圆心为O(0，0)，半径r＝； 圆E：(x＋2)2＋(y－3)2＝4的圆心为E(－2，3)，半径R＝2，如图所示： 易知OA⊥PA，OB⊥PB，所以＝0，即x1(x1－x0)＋y1(y1－y0)＝0， 整理可得x1x0＋y1y0－3＝0； 同理可得x2x0＋y2y0－3＝0， 即A(x1，y1)，B(x2，y2)是方程x0x＋y0y－3＝0的两组解， 可得直线AB的方程为x0x＋y0y－3＝0，联立x0－y0－3＝0，得x0(x＋y)－3y－3＝0， 令可得即当x＝1，y＝－1时，等式x0(x＋y)－3y－3＝0与x0无关， 所以直线AB恒过定点Q(1，－1)，可得|QE| ＝＝5； 又Q在圆O内，当AB⊥QE，且点M为QE的延长线与圆E的交点时，点M到直线AB的距离最大，最大值为|QE|＋R＝5＋2＝7. 答案：7 学科网（北京）股份有限公司 $$