课下巩固训练（十七）等差数列、等比数列-【正禾一本通】2025年高考数学高三二轮专题复习高效讲义（新教材）

[课下巩固训练(十七)]　等差数列、等比数列 【选择题】每小题5分 一、单选题 1．(2024·河北秦皇岛模拟)已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2，其前n项和为Sn，若S9＝18，则a5＝(　　 ) A．－2 B．0 C．2 D．4 答案：C 解析：根据题意2an＋1＝an＋an＋2，可得数列{an}为等差数列，所以S9＝＝18，所以a1＋a9＝4，所以2a5＝4，所以a5＝2. 2．(2024·湖南永州三模)已知非零数列{an}满足2nan＋1－2n+2an＝0，则＝(　　 ) A．8 B．16 C．32 D．64 答案：D 解析：由2nan＋1－2n+2an＝0可得an＋1＝4an，则＝64. 3．(2024·江苏南通模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5＝5，a1＋S11＝46，则a3·a10是{an}中的(　　 ) A．第28项 B．第29项 C．第30项 D．第32项 答案：C 解析：设等差数列{an}的公差为d， 则 解得 所以a3·a10＝(a1＋2d)(a1＋9d)＝9×(－5)＝－45， 令an＝a1＋(n－1)d＝13－2(n－1)＝－45， 得n＝30，即a3·a10是{an}中的第30项． 4．(2024·江苏扬州模拟)在正项等比数列{an}中，Sn为其前n项和，若S30＝7S10，S10＋S30＝80，则S20的值为(　　 ) A．10 B．20 C．30 D．40 答案：C 解析：设正项等比数列{an}的公比为q， 则S10，S20－S10，S30－S20是首项为S10，公比为q10的等比数列， 若S30＝7S10，S10＋S30＝80，则S10＝10，S30＝70， 所以(S20－10)2＝10(S30－S20)＝10(70－S20)>0，即－10S20－600＝0， 解得S20＝30或S20＝－20(舍去)． 5．中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神十八”，于2024年4月执行载人航天飞行任务．运送“神十八”的长征二号F遥十八运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程都增加3 km，在达到离地面222 km的高度时，火箭开始进入转弯程序．则从点火到进入转弯程序大约需要的时间是(　　)s. A．10 B．11 C．12 D．13 答案：C 解析：设每一秒钟的路程为数列{an}， 由题意可知{an}为等差数列，则数列首项a1＝2，公差d＝3， 所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×3＝3n－1， 由求和公式有Sn＝＝222，解得n＝12. 6．已知等比数列{an}，满足log2a2＋log2a13＝1，且a5a6a8a9＝16，则数列{an}的公比为(　　 ) A．2 B． C．±2 D．± 答案：B 解析：令{an}公比为q，由log2a2＋log2a13＝log2(a2a13)＝1＝log22， 故a2a13＝2且a2，a13>0，所以a13＝a2q11>0，则q>0， 又a2a13＝a6a9＝2，a5a6a8a9＝16，则a5a8＝8， 所以，解得q＝. 7．(2024·湖南岳阳三模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2≥a1>0，S20＝100，则a10a11(　　 ) A．有最小值25 B．有最大值25 C．有最小值50 D．有最大值50 答案：B 解析：由S20＝＝10(a10＋a11)＝100可得a10＋a11＝10， 因a2≥a1>0，则等差数列{an}的公差d≥0，故a10>0，a11>0， 则a10a11≤2＝25，当且仅当a10＝a11＝5时取等号， 即当a10＝a11＝5时，a10a11取得最大值25. 8．(2024·山东潍坊一模)已知数列{an}满足a1＝0，a2＝1.若数列{an＋an＋1}是公比为2的等比数列，则a2 024＝(　　 ) A． B． C．21 012－1 D．21 011－1 答案：A 解析：依题意，a1＋a2＝1，an＋an＋1＝2n-1，当n≥2时，an－1＋an＝2n-2，则an＋1－an－1＝2n-2， 所以a2 024＝a2＋(a4－a2)＋(a6－a4)＋…＋(a2 024－a2 022)＝1＋2＋23＋25＋…＋22 021＝1＋. 二、多选题 9．(2024·湖北襄阳模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a5＝－4，S5＝－40，则(　　 ) A．a10＝6 B．S10＝－30 C．当且仅当n＝6时，Sn取最小值 D．a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝0 答案：AB 解析：设数列{an}的公差为d，由a5＝－4，S5＝－40，得解得a1＝－12，d＝2，所以an＝2n－14，Sn＝＝n2－13n，则a10＝6，S10＝－30，A，B正确； 令an＝2n－14≤0，得n≤7，且a7＝0，则n＝6或n＝7时，Sn取最小值，C不正确； 因为a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝5a7＝0，所以a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝6≠0，D不正确． 10． (2024·广东湛江模拟)一百零八塔始建于西夏时期，是中国现存最大且排列最整齐的塔群之一，塔群随山势凿石分阶而建，自上而下一共12层，第1层有1座塔，从第2层开始每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座塔．已知包括第1层在内的其中10层的塔数可以构成等差数列{an}，剩下的2层的塔数分别与上一层的塔数相等，第1层与第2层的塔数不同，则(　　 ) A．第3层的塔数为3 B．第6层的塔数为9 C．第4层与第5层的塔数相等 D．等差数列{an}的公差为2 答案：ACD 解析：设等差数列{an}的公差为d，若d＝1，则这10层的塔数之和为10×1＋＝55，则最多有55＋10＋10＝75座塔，不符合题意； 若d≥3，则这10层的塔数之和不少于10×1＋×3>108，不符合题意； 所以d＝2，这10层的塔数之和为10×1＋×2＝100， 塔数依次是1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，依题意剩下2层的塔数为3与5， 所以这12层塔的塔数分别为1，3，3，5，5，7，9，11，13，17，19，因此A，C，D正确，B错误． 11．(2024·河北石家庄模拟)已知数列{an}满足a1＝(n∈N*)，则下列结论正确的是(　　 ) A．{－2}为等比数列 B．{an}的通项公式为an＝ C．{an}为递减数列 D．{}的前n项和Tn＝2n＋1－2－n 答案：AB 解析：因为an＋1＝(n∈N*)，由题意显然an≠0，an＋1≠0，变形得＋1，所以，又因为－2＝1≠0，所以{－2}是以1为首项，为公比的等比数列，A正确； 因为－2＝n-1，所以an＝，B正确； 因为n-1递减，所以an＝递增，即{an}为递增数列，C错误； 因为－2＝n-1，所以＝n-1＋2，所以Tn＝＋2n＝2－＋2n，所以D错误． 【填空题】每小题5分 三、填空题 12．(2024·河北邢台二模)已知数列{an}为等比数列，a3＝1，a7＝9，则sin ＝________． 解析：(方法1：基本量法)设公比为q，则q4＝＝9，所以q2＝3，从而sin ＝＝＝－. (方法2：性质法)由等比数列的性质，得＝a3·a7且a5>0，所以a5＝3，从而＝sin ＝－. 答案：－ 13．(2024·湖北十堰模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，写出一个满足下列条件的{an}的公比q＝________. ①a1>0，②{an}是递增数列，③S3<13a1. 解析：由等比数列的通项公式可得an＝a1qn-1，则an－an－1＝a1qn-2(q－1)， 因为a1>0，且{an}是递增数列，所以q>1， 因为S3<13a1，所以a1＋a2＋a3<13a1，即a1q2＋a1q－12a1<0， 因为a1>0，所以q2＋q－12<0，解得－4<q<3， 综上1<q<3，故答案为2(答案不唯一)． 答案：2(答案不唯一) 14．(2024·河北沧州模拟)自然界中某些生物的基因型是由雌雄配子的基因组合而成的，这种生物在生育下一代时，成对的基因相互分离形成配子，配子随机结合形成下一代的基因型．若某生物群体的基因型为Aa，在该生物个体的随机交配过程中，基因型为aa的子代因无法适应自然环境而被自然界淘汰．例如当亲代只有Aa的基因型个体时，其子一代的基因型如下表所示： 雌 雄 A a A AA Aa a Aa × 由上表可知，子一代中AA∶Aa＝1∶2，子一代产生的配子中A占，a占，以此类推，子七代中Aa的个体所占的比例为________． 解析：设子n代中Aa占比为an，则AA占比为1－an， 所以A∶a＝[2(1－an)＋an]∶an＝(2－an)∶an，则子(n＋1)代的基因型如下表所示： 雌 雄 A a A ()2AA Aa a Aa × 由表可知，表格中总份数为2＋2×(其中淘汰了份)， 因此子(n＋1)代中Aa的占比为＝an＋1， 化简得an＋1＝，即，即， 所以数列{}是首项为，公差为的等差数列， 所以，因此a7＝. 答案： 【解答题】每小题10分 四、解答题 15．(2022·全国甲卷)记Sn为数列的前n项和．已知＋n＝2an＋1. (1)证明：是等差数列； (2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值． 解：(1)因为＋n＝2an＋1，即2Sn＋n2＝2nan＋n　①， 当n≥2时，2Sn－1＋　②， ①－②得，2Sn＋n2－2Sn－1－， 即2an＋2n－1＝2nan－2an－1＋1， 即2，所以an－an－1＝1，n≥2且n∈N*， 所以是以1为公差的等差数列． (2)由(1)可得a4＝a1＋3，a7＝a1＋6，a9＝a1＋8， 又a4，a7，a9成等比数列，所以a9， 即，解得a1＝－12， 所以an＝n－13，所以Sn＝－12n＋， 所以当n＝12或n＝13时，=-78. 16．已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足an(2Sn－an)＝1(n∈N*)． (1)求证：数列}是等差数列，并求出Sn的表达式． (2)数列{an}中是否存在连续的三项ak，ak＋1，ak＋2，使得构成等差数列？请说明理由． 解：(1)依题意知，正项数列{an}中＝1，得a1＝1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，则(Sn－Sn－1)[2Sn－(Sn－Sn－1)]＝1， 整理得＝1，又＝1， ∴数列}是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴＝n(n∈N*)，∴Sn＝ . (2)数列{an}中不存在连续三项ak，ak＋1，ak＋2，使得构成等差数列．理由如下： 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ ， ∵当n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝ (n∈N*)， ∴＝ ＋ ， 假设数列{an}中存在连续的三项ak，ak＋1，ak＋2，使得构成等差数列， 则2＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ，即 ＋ ＝ ＋ ， 两边同时平方，得k＋1＋k＋2 · ＝k－1＋k＋2＋2 · ， ∴(k＋1)k＝(k－1)(k＋2)， 整理得k2＋k＝k2＋k－2，得0＝－2， 又0≠－2，∴假设错误， ∴数列{an}中不存在连续的三项ak，ak＋1，ak＋2，使得构成等差数列． 学科网（北京）股份有限公司 $$