精品解析：四川省凉山州2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

凉山州2024—2025学年度上期期末高二年级考试试题 数学 全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确． 2．选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 3．考试结束后，将答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题共58分） 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 已知点关于轴的对称点为，则（ ） A. 2 B. C. D. 6 2. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知事件发生的概率分别为，则下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若与互斥，则 C. 若，则事件与相互独立 D. 若与相互独立，则 4. 已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到直线的距离为5，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 在等差数列，中，，其前项和为，若，则（ ） A. 12 B. 18 C. 30 D. 36 6. 设点，若直线关于轴对称的直线与圆相切，则的值为（ ） A. B. 0 C. D. 1 7. 已知点是正四面体底面内一点，满足，其中，当最小时，的值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 8. 已知椭圆上两点、关于原点对称，为椭圆的右焦点，交椭圆于点，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知等差数列的前项和为，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 当时，的最大值为18 10. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2正方形，平面，，点是棱上一点，则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使平面 B. 存在点，使平面 C. 若点为中点，则点到平面的距离为 D. 二面角夹角最大时， 11. 双曲线的左、右两个焦点分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 过点的直线与双曲线右支交于两点，则 B. 若直线与双曲线恒有公共点，则的取值范围为 C. 若双曲线的离心率为，则 D. 若直线与圆相切于点，且与双曲线的渐近线分别交于、两点，与双曲线分别交于、两点，则 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 直线的倾斜角为_______________. 13. 平面内三点坐标分别为，则平面的一个法向量为____________． 14. 过抛物线的焦点的直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，与抛物线的准线交于点，若是的中点，满足，且、、成等差数列，则直线的方程为____________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 翱翔蓝天，报效祖国是很多有志青年的梦想，而实现这个梦想，需要依次通过五关：目测、初检、复检、文考（文化考试）、政审．若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是，他们能通过文考关的概率分别是，若后三关之间通过与否没有影响． （1）求甲、乙都能进入政审这一关的概率； （2）求甲、乙、丙三位同学中恰好有两个人通过复检概率． 16. 如图，在四棱锥中，，点是中点． （1）求证：平面； （2）若平面，求平面与平面夹角的正弦值． 17. 平面内一动点到点与的距离之比为． （1）求动点的轨迹方程； （2）斜率为1的直线与曲线交于、两点，且，求直线的方程． 18. 设是公差不为零的等差数列，是的前项和，，． （1）求的通项公式； （2）求中的最大值和最小值； （3）求的前项和． 19. 已知圆锥曲线，左右顶点分别为，过点直线交曲线于两点（在的左侧）． （1）当离心率时，求的值． （2）当时，是否存在直线使得，若存在，求出直线方程，若不存在说明理由． （3）连接，直线交曲线于另一点，恒成立，求取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 凉山州2024—2025学年度上期期末高二年级考试试题 数学 全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确． 2．选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 3．考试结束后，将答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题共58分） 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 已知点关于轴的对称点为，则（ ） A. 2 B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据对称得，即可根据两点距离公式求解. 【详解】由题意可得，则. 故选：D 2. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线一般式中平行满足的系数关系，即可结合充分不必要条件的定义求解. 【详解】直线与直线平行,则满足 ，解得或， 因此“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件， 故选：C 3. 已知事件发生的概率分别为，则下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若与互斥，则 C. 若，则事件与相互独立 D. 若与相互独立，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据交事件的性质即可求A，根据互斥事件的性质即可求解C，根据相互独立的性质即可求解CD. 【详解】对于A，若，则,故A错误， 对于B，若与互斥，则,故B正确， 对于C, ,结合，故，故事件与相互独立，C正确， 对于D, 若与相互独立，则,D正确， 故选：A 4. 已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到直线的距离为5，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，结合焦半径公式即可求解. 【详解】由于抛物线的准线方程为，抛物线上点到直线的距离为5， 故点到直线的距离为4，故， 故选：B 5. 在等差数列，中，，其前项和为，若，则（ ） A. 12 B. 18 C. 30 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，由等差数列前项和为，利用已知即可计算出，即得，从而得. 【详解】设等差数列的公差为，则， 所以，，所以， 故选：D. 6. 设点，若直线关于轴对称的直线与圆相切，则的值为（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称求解直线的方程，即可根据相切关系，结合点到直线的距离公式求解. 【详解】由可得，故直线关于轴对称的直线斜率为，且经过点，故直线方程为， 圆的圆心和半径分别为， 由相切可得，解得， 故选：A 7. 已知点是正四面体底面内一点，满足，其中，当最小时，的值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直时距离最小，即可根据向量的线性运算求解,即可求解. 【详解】当最小时，此时平面，故为等边三角形的中心， 记的中点为，则， 故 ， 故，因此， 故选：C 8. 已知椭圆上两点、关于原点对称，为椭圆的右焦点，交椭圆于点，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设椭圆的左焦点为，不妨设，根据题意分析可得，，结合勾股定理可得，即可得离心率. 【详解】设椭圆的左焦点为，连接， 不妨设，则， 因为，且，可知为矩形， 则，， 又因为，， 即， 可得，，则， 在中，， 即，解得， 可得，则， 即，可得， 所以椭圆的离心率为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法 求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值． 2．焦点三角形的作用 在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知等差数列的前项和为，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 当时，的最大值为18 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A：根据等差数列定义分析判断；对于B：根据等差数列的函数特征分析判断；对于C：根据前项和的定义分析判断；对于D：根据等差数列的求和公式结合的符号性分析判断. 【详解】对于选项A：因为数列为等差数列，且， 可得，即，故A正确； 对于选项B：因为，可知等差数列的公差， 所以等差数列为递减数列，即，故B正确； 对于选项C：因为，故C错误； 对于选项D：当时，；当时，； 即， 当时，，当且仅当时，等号成立， 当时，， 所以当时，的最小值为18，故D错误； 故选：AB. 10. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，点是棱上一点，则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使平面 B. 存在点，使平面 C. 若点为中点，则点到平面的距离为 D. 二面角夹角最大时， 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据特殊位置即可根据线线平行求解A，建立空间直角坐标系，求解向量垂直的坐标关系即可求解B，求解平面法向量，即可根据空间距离求解C，根据法向量的夹角即可求解D. 【详解】对于A，当位于时，此时平面，平面， 故平面，A正确， 对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，， 由于，故， 设，则， 则， 要使平面，则，解得，故存在点，当时，，结合，平面，故平面，B正确， 对于C， 点为中点，此时， 设平面的法向量为， 故，， ，令，则， 则点到平面的距离为，故C正确， 对于D，设平面的法向量为， 设平面的法向量为， 故，， ，令，则， 设平面的法向量为， 故 ，令，则， ，显然时，此时并不是最值，此时二面角夹角不是最大，故D错误， 故选：ABC 11. 双曲线的左、右两个焦点分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 过点的直线与双曲线右支交于两点，则 B. 若直线与双曲线恒有公共点，则的取值范围为 C. 若双曲线的离心率为，则 D. 若直线与圆相切于点，且与双曲线的渐近线分别交于、两点，与双曲线分别交于、两点，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据双曲线的定义即可求解A，根据渐近线的斜率即可求解B，根据离心率公式即可求解C，联立直线与直线的方程得，，联立直线与曲线方程可得韦达定理，计算即可求解D. 【详解】对于A，由于，且,故, 由于与不一定相等，故A错误， 对于B，渐近线方程为，要使直线与双曲线恒有公共点，则需，故，B错误， 对于C，双曲线的离心率为，则，由于，故，C正确， 对于D，由题意可知有斜率，当斜率不为0时，设切线方程为，根据相切可得， 渐近线方程为，联立与可得, 故，同理可得，, 联立与的方程可得， 设,则， ， 因此，故,故D正确， 故选：CD 【点睛】关键点点睛：联立方程可得，，以及，代入计算求解D. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 直线的倾斜角为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】由直线的斜率为，得到，即可求解. 【详解】由题意，可知直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，解得， 即换线的倾斜角为. 【点睛】本题主要考查直线的倾斜角的求解问题，其中解答中熟记直线的倾斜角与斜率的关系，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 13. 平面内三点坐标分别为，则平面一个法向量为____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】求出，由，求解即可． 【详解】解：由 则 因为向量是平面的一个法向量， 所以，令，则 故答案为： 14. 过抛物线焦点的直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，与抛物线的准线交于点，若是的中点，满足，且、、成等差数列，则直线的方程为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据焦点弦公式可得，即可根据中项关系，结合图形中的相似可得，即可求解，根据点斜式即可求解直线方程. 【详解】如图：设直线的斜率为正，设，且， 则，故， 故抛物线方程为， 过点作准线的垂线，作准线的垂线， 则,,故是的中点， 由于、、成等差数列，则, 故, 因此,故， 因此,因此, 此时直线方程为， 当斜率为正且时，此时，不符合题意， 根据对称性可知，当直线斜率为负时，方程为， 综上可得直线方程为 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据焦点弦公式以及中点关系可得，根据等差中项，结合相似即可求解。 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 翱翔蓝天，报效祖国是很多有志青年的梦想，而实现这个梦想，需要依次通过五关：目测、初检、复检、文考（文化考试）、政审．若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是，他们能通过文考关的概率分别是，若后三关之间通过与否没有影响． （1）求甲、乙都能进入政审这一关的概率； （2）求甲、乙、丙三位同学中恰好有两个人通过复检的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别求甲、乙能进入政审这一关的概率，结合独立事件概率乘法公式运算求解； （2）分析可知恰好有两个人通过复检的有：甲乙或甲丙或乙丙，结合独立事件概率乘法公式运算求解. 【小问1详解】 由题意可知：甲、乙分别能进入政审这一关的概率， 所以甲、乙都能进入政审这一关的概率. 【小问2详解】 甲、乙、丙三位同学中恰好有两个人通过复检的有：甲乙或甲丙或乙丙， 所以恰好有两个人通过复检的概率. 16. 如图，在四棱锥中，，点是的中点． （1）求证：平面； （2）若平面，求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据中位线的性质可得线线平行，即可根据线面平行的判定求解， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，利用法向量的夹角即可求解. 【小问1详解】 取的中点，连接, 由于，是的中点， 故且， 因此且，故四边形为平行四边形，故, 平面,平面,故平面 【小问2详解】 由于平面，平面，故平面平面， 取中点为，连接, ，且平面平面， 平面，故 平面， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则, 设平面的法向量为， 则，取，则， 设平面的法向量为， 则，取，则， 设平面与平面夹角为， 则， 故， 17. 平面内一动点到点与的距离之比为． （1）求动点的轨迹方程； （2）斜率为1的直线与曲线交于、两点，且，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设动点，根据结合两点间距离公式运算求解； （2）设直线，根据垂径定理可得圆心到直线的距离，列式求解即可. 【小问1详解】 设动点， 因为，则， 整理可得， 所以动点的轨迹方程为. 【小问2详解】 由（1）可知：曲线是以圆心为，半径的圆， 设直线，即， 由题意可得：圆心到直线的距离， 则，解得， 所以直线的方程为. 18. 设是公差不为零的等差数列，是的前项和，，． （1）求的通项公式； （2）求中的最大值和最小值； （3）求的前项和． 【答案】（1） （2）最大值为1，最小值为， （3） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差，即可根据等差通项的公式求解， （2）根据单调性即可求解， （3）根据的正负，即可分类求解. 【小问1详解】 由可得，故，设公差为d，， 由可得，， 故， 由于，所以，因此，因此， 故， 【小问2详解】 ， 当且时，，且此时单调递减， 故为最大值，为最小值， 当且时，，且此时单调递减， 故为最大值1，此时无最小值， 综上可得的最大值为1，最小值为， 【小问3详解】 由可得当且时，， 当且时，， 所以当且时，， 当且时， ， 故 19. 已知圆锥曲线，左右顶点分别为，过点的直线交曲线于两点（在的左侧）． （1）当离心率时，求的值． （2）当时，是否存在直线使得，若存在，求出直线方程，若不存在说明理由． （3）连接，直线交曲线于另一点，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）或， （2） （3）或或， 【解析】 【分析】（1）根据离心率的公式，结合焦点的位置即可求解， （2）联立直线与曲线方程得到韦达定理，根据向量垂直的坐标运算可求解或，即可根据斜率公式求解斜率，即可求解直线方程， （3）根据数量积的坐标运算，代入韦达定理，即可求解，根据判别式求解. 【小问1详解】 当离心率时，则曲线椭圆， 当焦点在轴时，此时故，解得， 当焦点在轴时，此时故，解得， 故或， 【小问2详解】 由题意可知：直线有斜率，设直线， 联立与可得， 设，且， 则， ,则， ， 当时，，则， 当时，则， 故，解得或， 由于且，故，（舍去）， 此时或， 故或， 故直线的方程为, 【小问3详解】 由于直线交曲线于两点（在的左侧）， 故直线的斜率一定存在， 联立与可得， 故，且,， 故， 故， 即， ， 故， ， 化简可得，由于，故，故， ， 考虑到，故， 故，解得或或， 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $