精品解析：辽宁省大连市甘井子区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年度第一学期期末学习质量抽测 九年级数学 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间共120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. “篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中”这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 确定性事件 D. 必然事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了随机事件“在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件”、必然事件“必然事件发生的可能性为1”、不可能事件“不可能事件的发生的可能性为0”，熟练掌握各定义是解题关键．根据随机事件、必然事件和不可能事件的定义判断即可得． 【详解】解：“篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中”这个事件是随机事件， 故选：A． 2. 将携物线向右平移6个单位，所得的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移与几何变换，直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向右平移6个单位长度，所得的抛物线解析式为：． 故选：C． 3. 若是方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根，能正确解方程是解题关键．根据一元二次方程的解，把代入一元二次方程中得到关于的方程，然后解此方程即可． 【详解】解：将代入得：， 解得：．   故选：B ． 4. 如图，点A是反比例函数的图象上一点，轴于点B，若的面积等于3，则k的值为（ ） A. B. 6 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握几何意义是解题的关键；根据解答即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：． 5. 如图，在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了余弦的定义．在直角三角形中一个角的余弦等于这个角的邻边比斜边，本题中的邻边，斜边，所以可得． 【详解】解：中，，，， ．   故选：D ． 6. 如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了切线的性质，切线长定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 由，分别为的切线，根据切线长定理得到，再利用等边对等角得到一对角相等，由顶角的度数，求出底角的度数，又为圆的直径，根据切线的性质得到与垂直，可得出为直角，用即可求出的度数． 【详解】∵，分别切于A，B点，是的直径， ， 又∵， ， ， 故选：A． 7. 为推动农业现代化进程，某农科所在相同条件下开展农作物种子发芽率的试验，试验数据如下表： 种子个数 100 400 600 700 900 1000 发芽种子个数 94 338 530 624 814 901 发芽种子频率 0.940 0.845 0.883 0.891 0.904 0.901 由此估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率（精确到0.1）约为（ ） A. 0.8 B. 0.89 C. 0.9 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，熟练掌握大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解决此题的关键．大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，据此解答即可． 【详解】解：∵观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.9左右， ∴估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率约为0.9．， 故选：C． 8. 如图，飞机于空中A处探测到目标C，此时，，从飞机上看地平面指挥台B的俯角为α．则飞机与指挥台的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得：，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图： 由题意得：，， ∴， 在中，, ∴（m）， ∴机与指挥台的距离为m， 故选：C． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标分别为，以原点O为位似中心，把缩小为原来的，则点A的对应点的坐标为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据位似变换的性质解答即可． 本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，把缩小为原来的，点A的坐标分别为， ∴点A的对应点的坐标为或，即或， 故选：A． 10. 折扇是中国传统工艺品，历史悠久．如图是一把完全打开的扇形折扇示意图，外侧两竹条，的夹角为，的长为，扇面的长为，则扇面的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，根据扇形的面积公式，利用扇面的面积进行计算． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴扇面的面积 ． 故选：D． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在中，，，则________． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查特殊锐角的三角函数值，根据特殊锐角的三角函数值即可求得答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 故答案为：45． 12. “绿动电力，与你同行”，我国新能源汽车销售量逐年增加，据统计2023年新能源汽车销售量为900万辆，预计2025年新能源汽车销售量将达到1521万辆．设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，则可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，根据2023年及2025年新能源汽车年销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：根据题意得． 故答案为：． 13. 如图，在中，，，将绕点C逆时针旋转，得到，连接，则的度数为________． 【答案】##15度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，由旋转得，，，推出是等腰直角三角形，，进而可解． 【详解】解：在中，，， ， 将绕点C逆时针旋转，得到， ，，， 是等腰直角三角形， ， ， 故答案为：． 14. 如图是两个M型电子元件的组合，每个M型电子元件都有通电和断开两种状态，且这两种状态发生的可能性相等．在一定时间段内，A，B之间的电流能够正常通过的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法求概率和概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．先画树状图，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：树状图如下： 由图可知共4种情况，有3种情况电流可通过， ∴A，B之间的电流能够正常通过的概率为 ， 故答案为： ． 15. 如图，点A在上，半径，以点A为圆心，在上依次截取长度等于半径r的弦，，，，，连接，则六边形的面积为________．（请用含r的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆的性质，等边三角形的判定与性质以及多边形面积的计算，解题的关键是判断出六边形是由六个全等的等边三角形组成． 先根据圆的半径和弦长相等判断出各个三角形的形状，再根据等边三角形面积公式求出一个三角形的面积，最后乘以三角形的个数得到六边形的面积． 【详解】解：如图，连接，过O点作交与H， 由题意六边形是正六边形，即可以分成六个全等的等边三角形，且． 在等边中，，，， ， ∴正六边形的面积． 故答案为： 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法、特殊角的三角函数、二次根式的运算． 首先把一元二次方程配方得，分解因式得， 把方程两边同时开平方求出方程的解即可； 把物特殊角的三角函数值、、，代入算式可得：原式，然后再根据二次根式的运算法则进行计算． 【详解】解： 移项得：， 配方得：， 分解因式得：， 两边同时开平方得：， 方程的解为，； 解：， ， ， ． 17. 如图，已知点，是一次函数图潒与反比例函数图象的两个交点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）直接写出当时，自变量x的取值范围________． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数交点问题，待定系数法确定函数解析式；解题的关键是求出表达式． （1）把代入反比例函数，得出的值，然后求出，再把，代入一次函数的解析式，运用待定系数法求其解析式； （2）根据图象，分别观察交点的哪一侧能够使一次函数的值小于反比例函数的值，从而求得的取值范围． 【小问1详解】 解：∵在反比例函数的图象上， ∴． ∴． ∴这个反比例函数的解析式为． ∵在反比例函数的图象上， ∴． ∴． ∵点，在一次函数图象上， ∴． ∴． ∴一次函数解析式； 【小问2详解】 解：由图象可得，当或时，直线在双曲线下面 ∴当时，自变量x的取值范围或． 18. 如图，A，B，C，D是上的四个点，，与交于点M．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，根据圆心角、弧、弦的关系，由，得，所以，所以，根据等边对等角即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴ 19. 如图，计划利用一段长为的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形花园，其中一边靠墙，墙长是．设花园的宽为，面积为． （1）写出与的函数解析式（不用写出自变量的取值范围）； （2）试判断矩形花园面积能否达到?如果能，求出花园的宽；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）矩形花园面积能达到，花园的宽为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，解题关键是表示出矩形的另外一边，写出与的函数解析式．（1）根据题意可得，再根据可得出与的函数解析式；（2）令，解方程后，再根据，即可作出判断． 【小问1详解】 解：由题意得： 所以． 【小问2详解】 当时，． ∴， ∴，． ∴当时，（不符合题意，舍去）． ∴当时，． 答：矩形花园面积能达到，花园的宽为． 20. 如图1是旅顺博物馆广场中心的中苏友谊纪念塔，某综合实践小组要测量该塔的高度．如图2，中苏友谊纪念塔与地面垂直，在点D处用测角仪测得塔尖B的仰角，然后沿水平方向向前移动5m到达点C处，在点C处用测角仪测得塔尖B的仰角．已知于点D，于点C，，测角仪的高． （1）________m； （2）求中苏友谊纪念塔的高度．（精确到0.1m，参考数据，，）． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． （1）由题意直接求解； （2）延长交于点N，可得四边形，都为矩形，则，由得，在Rt中，故，则，解得，由即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，， 故答案为：5； 【小问2详解】 解：由题意，得，． ∴． ∵，， ∴， 延长交于点N， ∵， ∴，． ∴，． ∴四边形，都为矩形． ∴，． ∵， ∴． ∴． 在Rt中，， ∴． 即． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． 答：中苏友谊纪念塔的高度约为． 21. 如图，点C在以为直径的上，点D是弧的中点，过点B作切线交延长线于点F，连接并延长交于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵点D是弧的中点， ∴， ∴， ∵与相切于点B，为半径， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理可得，，根据切线的性质可得，进而可得，即可得证； （2）连接，先证明，可得，，再证明，根据相似三角形的性质可求，根据勾股定理求出，再证明，根据相似三角形的性质可求，进而得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 整理得：， ∴，（舍）， ∴， 中，， ， ∴， ， ， ， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是综合运用以上知识点解决问题． 22. 【概念感知】 定义：我们将一组邻边相等且其中一边邻角（不是这组邻边的夹角）为直角的凸四边形称为单直邻等四边形． 例如：如图1，在四边形中，如果，，那么四边形为单直邻等四边形． 【初步理解】 （1）如图2，为等边三角形，点E在的角平分线上，连接，将绕点E顺时针旋转得到线段，连接，． 求证：四边形为单直邻等四边形； 【拓展应用】 （2）如图3，四边形为单直邻等四边形，，连接，若，，作，且，连接并延长交于点，交于点M．求的值； 【解决问题】 （3）如图4，射线于点C，，，点在射线上，，点B在射线上，且四边形为单直邻等四边形，的分平分线交于点P，请直接写出的长________． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）4或2 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． （1）可证得，从而得出，从而得出，从而得出结论； （2）作于G，作于H，可证得，从而，，进而得出，根据，从而得出，从而，故，进而得出，不妨设，则，根据勾股定理得出的值，进而求得的值，进一步得出结果； （3）作于Q，设和交于点G，解直角三角形得出和的值，进而得出的值；当点A在下方时，求得的值，进而得出的值，进而得出的值，进而得出的值，当点A在上方时，同样得出结果． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵点E在的平分线上， ∴， ∵绕点E顺时针旋转得到线段， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为单直邻等四边形； （2）如图1， 作于G，作于H， ∵四边形为单直邻等四边形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 不妨设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）作于Q，设和交于点G， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 当点A在下方时， ， ∵四边形为单直邻等四边形，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点A在上方时（图中）， ， 同理可得，， 综上所述：或2， 故答案为：4或2． 23. 二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）如图，当时； ①请直接写出B点坐标________，C点坐标________； ②M是直线上方的抛物线上一点，过点M作y轴的垂线交直线于点N，求线段的最大值； ③在抛物线上是否存在点E，使，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； （2）抛物线对称轴交x轴于点H，交直线于点K，点D为顶点，过点C作的垂线交抛物线于点G，连接，，交于点P，当时，请直接写出的面积________． 【答案】（1）①，；②线段的最大值为；③点E的坐标为或 （2） 【解析】 【分析】（1）①当时求出y的值，当时，求x的值，进一步得出结果； ②设，求出直线的解析式，从而表示出N的坐标，进而表述出的关系式，进一步得出结果； ③在上截取，作，交抛物线于E，，先求出直线的解析式，进而求得直线的解析式，求直线与抛物线的交点坐标，从而得出点E坐标；作，交抛物线于，作，交于G，可推出，从而，即，设，进而列出方程，求得t的值，进而求出的解析式，进一步得出结果； （2）作于W，先表示出D，C，B坐标，进而表示出作，，的长度，由得出，进而得出，从而得出，表示出，，，，，的长，进而得出b的值，进一步得出结果． 【小问1详解】 解：①当时，， 当时，， ∴， 当时，， ∴或， ∴， 故答案为：，； ②设， ∵，， ∴直线的解析式为：， ∵轴， ∴， 由得，, ∴， ∴， ∴当时，； ③如图1， 在上截取，作，交抛物线于E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与抛物线的交点符合条件， ∵，， ∴直线的解析式为：， ∴直线的解析式为：， 由得， 或， 当时，， ∴， ∵， 作，交抛物线于，作，交于G， ∴，直线的解析式为：， ∴， ∴，即， 设， ∴， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：， 由得， ∴或， 当时，， ∴， 综上所述：或； 【小问2详解】 如图2， 由得， ，， ∴，， 由得， ，，， 当时，y=4b+1， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴BK=， 作于W， ∴， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴，，， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，一元二次方程的解法，求一次函数的解析式等知识，解决问题的关键是较强计算能力． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期末学习质量抽测 九年级数学 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间共120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. “篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中”这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 确定性事件 D. 必然事件 2. 将携物线向右平移6个单位，所得的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 若是方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点A是反比例函数的图象上一点，轴于点B，若的面积等于3，则k的值为（ ） A. B. 6 C. D. 3 5. 如图，在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 为推动农业现代化进程，某农科所在相同条件下开展农作物种子发芽率的试验，试验数据如下表： 种子个数 100 400 600 700 900 1000 发芽种子个数 94 338 530 624 814 901 发芽种子频率 0.940 0.845 0.883 0.891 0.904 0.901 由此估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率（精确到0.1）约为（ ） A. 0.8 B. 0.89 C. 0.9 D. 无法确定 8. 如图，飞机于空中A处探测到目标C，此时，，从飞机上看地平面指挥台B的俯角为α．则飞机与指挥台的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标分别为，以原点O为位似中心，把缩小为原来的，则点A的对应点的坐标为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 10. 折扇是中国传统工艺品，历史悠久．如图是一把完全打开的扇形折扇示意图，外侧两竹条，的夹角为，的长为，扇面的长为，则扇面的面积为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在中，，，则________． 12. “绿动电力，与你同行”，我国新能源汽车销售量逐年增加，据统计2023年新能源汽车销售量为900万辆，预计2025年新能源汽车销售量将达到1521万辆．设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，则可列方程为________． 13. 如图，在中，，，将绕点C逆时针旋转，得到，连接，则的度数为________． 14. 如图是两个M型电子元件的组合，每个M型电子元件都有通电和断开两种状态，且这两种状态发生的可能性相等．在一定时间段内，A，B之间的电流能够正常通过的概率为________． 15. 如图，点A在上，半径，以点A为圆心，在上依次截取长度等于半径r的弦，，，，，连接，则六边形的面积为________．（请用含r的式子表示） 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. （1）解方程：； （2）计算：． 17. 如图，已知点，是一次函数图潒与反比例函数图象的两个交点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）直接写出当时，自变量x的取值范围________． 18. 如图，A，B，C，D是上的四个点，，与交于点M．求证：． 19. 如图，计划利用一段长为的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形花园，其中一边靠墙，墙长是．设花园的宽为，面积为． （1）写出与的函数解析式（不用写出自变量的取值范围）； （2）试判断矩形花园面积能否达到?如果能，求出花园的宽；如果不能，请说明理由． 20. 如图1是旅顺博物馆广场中心的中苏友谊纪念塔，某综合实践小组要测量该塔的高度．如图2，中苏友谊纪念塔与地面垂直，在点D处用测角仪测得塔尖B的仰角，然后沿水平方向向前移动5m到达点C处，在点C处用测角仪测得塔尖B的仰角．已知于点D，于点C，，测角仪的高． （1）________m； （2）求中苏友谊纪念塔的高度．（精确到0.1m，参考数据，，）． 21. 如图，点C在以为直径的上，点D是弧的中点，过点B作切线交延长线于点F，连接并延长交于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 22. 【概念感知】 定义：我们将一组邻边相等且其中一边邻角（不是这组邻边的夹角）为直角的凸四边形称为单直邻等四边形． 例如：如图1，在四边形中，如果，，那么四边形为单直邻等四边形． 【初步理解】 （1）如图2，为等边三角形，点E在的角平分线上，连接，将绕点E顺时针旋转得到线段，连接，． 求证：四边形为单直邻等四边形； 【拓展应用】 （2）如图3，四边形为单直邻等四边形，，连接，若，，作，且，连接并延长交于点，交于点M．求的值； 【解决问题】 （3）如图4，射线于点C，，，点在射线上，，点B在射线上，且四边形为单直邻等四边形，的分平分线交于点P，请直接写出的长________． 23. 二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）如图，当时； ①请直接写出B点坐标________，C点坐标________； ②M是直线上方的抛物线上一点，过点M作y轴的垂线交直线于点N，求线段的最大值； ③在抛物线上是否存在点E，使，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； （2）抛物线对称轴交x轴于点H，交直线于点K，点D为顶点，过点C作的垂线交抛物线于点G，连接，，交于点P，当时，请直接写出的面积________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $