精品解析：广东省深圳市深圳高级中学集团2024-2025学年九年级下学期第一次模拟考试数学试卷

深圳市2024—2025学年初三年级第一次模拟考数学试题 全卷共6页，满分100分，考试时间90分钟． 注意事项： 1.答题前，请将姓名、考场和座位号写在答题卡指定位置，将条形码贴在答题卡指定位置． 2.选择题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动请用2B橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上．非选择题，答题不能超出题目指定区域． 3.考试结束，监考人员将答题卡收回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一项是正确的） 1. 全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量，图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下图书馆标志中，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 四位数字标注法是电子元件标注的一种标准化方法．如标注为“”的电阻，第四位数字“ ”为的幂指数，对应的阻值（单位：），这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为3m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图由此她估计此不规则图案的面积大约为（　　） A. B. C. D. 5. 如图为生活中常见的折叠桌的侧面图与示意图，已知，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图为单车实物图，图 为单车示意图， 与地面平行，坐垫可沿射线方向调节．已知，车轮半径为，当时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫离地面高度约为（　　）（结果精确到 ，参考数据：）     A. B. C. D. 7. 一商店销售某种进价为20元/件的商品，当售价为60元时，平均每天可售出20件．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件，若该商店每天要实现1400元的利润，每件需降价多少元？设每件商品降价 元，由题意可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 如图 1，在 中，，一动点P从点A 出发，以每秒2个单位的速度沿A→B→C的路径运动，过点P作，垂足为Q．设点P运动的路程为x，与的差为y，y与x的函数图象如图2所示，点M，N是线段 ， 与x轴的交点，则图2点M对应的点P位置到点N对应的点P位置所经历的时长为（ ） A. 2秒 B. 4秒 C. 秒 D. 秒 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 因式分解： =___． 10. 关于 的一元二次方程有两个不相等实数根，则的值可能是_____．（只需写出一个即可） 11. 非物质文化遗产是我国传统文化的优秀代表．深圳市非物质文化遗产有上川黄连胜醒狮舞、大船坑舞麒麟、潮俗皮影戏、沙头角鱼灯舞等．小聪和小颖商定从“上川黄连胜醒狮舞”、“大船坑舞麒麟”、“潮俗皮影戏”、“沙头角鱼灯舞”四种中各随机选择一种，用于宣传深圳的非物质文化遗产，两人恰好选中同一种的概率是_____． 12. 如图，已知矩形 的一边 落在 轴的正半轴，它的顶点 与对角线的中点 均在反比例函数的图象上，则矩形 的面积为____． 13. 在菱形 中，，将沿翻折至， ， 的延长线分别交 于 ，两点，若，则的值为____． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 计算：． 15. 先化简：，再从，0，3中选取一个适当的数代入求值． 16. 小聪爸爸为了了解国产吉他的品质（指板材质、发出的声音等），对甲、乙两种品牌进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了两种品牌的吉他各9份样品，对吉他的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种品牌吉他得分的统计图表． 甲、乙两种品牌吉他得分表 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 甲（分） 81 82 83 88 90 90 90 92 95 乙（分） 74 75 85 88 89 90 91 97 97 甲、乙两种吉他得分统计表 品牌 平均数 中位数 众数 甲 87.9 90 乙 87.3 97 （1）________，________； （2）从方差的角度看，________种吉他的得分较稳定（填“甲”或“乙”）； （3）你会建议小聪爸爸选择哪种品牌吉他？请结合统计图表中的信息写出你的理由． 17. 根据以下素材，探索完成任务． 学校如何购买保洁物品 问题背景 劳动课正式成为中小学的一门独立课程．劳动教育是学生设计能力、问题解决能力、合作能力、实践能力以及社会责任感提升的重要手段． 素材1 为了保障劳动教育的有序进行，某学校需要增加保洁物品的库存量，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．已知买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元． 素材2 考虑两种物品的易损情况，要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，且扫把簸箕套装不少于50套 素材3 商店提供以下两种优惠方案：方案1：两种商品按原价的8折出售；方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折． 问题解决 任务1 确定物品单价 请运用所学知识，求出毛巾和扫把簸箕套装的单价． 任务2 探究购买方案 如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？ 18. 在矩形 中，连接 ． （1）如图1，请用尺规在边 上求作一点 ，连接，使；（不写作法，保留作图痕迹） （2）如图2，已知点 在边 上，且，连接，交 于点 ，若，，求 的长． 19. 综合与实践 【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）．为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一个标志建筑，需要重造扩建拱门．经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观． 【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）．由于地域限制，为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能使拱门最美观，又不影响树木的生长呢？ 【分析问题】 （1）二次函数的图象经过和，此抛物线的对称轴为直线________； （2）如图2，已知二次函数经过点，且与的图象均经过和，则的取值范围是________； 【解决问题】 （3）以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以 ， 为端点的拱门表示原拱门， 表示大树．当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时拱顶到地面的距离的取值范围． 20. 综合与探究 在正方形 中，，点E是边上的动点，连接． （1）【探索发现】如图1，过点D作，求证：； （2）【类比探究】如图2，过点B作于点F，连接，当是等腰三角形时，求此时 的长度与的面积； （3）【拓展延伸】如图3，过点B作于点F，连接，将沿翻折得到， 交 于点H，求出线段的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市2024—2025学年初三年级第一次模拟考数学试题 全卷共6页，满分100分，考试时间90分钟． 注意事项： 1.答题前，请将姓名、考场和座位号写在答题卡指定位置，将条形码贴在答题卡指定位置． 2.选择题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动请用2B橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上．非选择题，答题不能超出题目指定区域． 3.考试结束，监考人员将答题卡收回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一项是正确的） 1. 全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量，图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下图书馆标志中，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．此题主要考查了轴对称图形，关键是找出图形中的对称轴． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、该图形是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 四位数字标注法是电子元件标注的一种标准化方法．如标注为“”的电阻，第四位数字“ ”为的幂指数，对应的阻值（单位：），这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，把一个数表示成（其中，为整数）的形式的记数方法叫科学记数法，据此解答即可求解，掌握科学记数法的定义是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 3. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方、合并同类项，根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方、合并同类项的运算法则逐项分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、和不是同类项，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算正确，符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 4. 如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为3m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图由此她估计此不规则图案的面积大约为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先假设不规则图案面积为，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解． 【详解】解：假设不规则图案面积为， 由已知得：长方形面积为， 根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：， 当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，故由折线图可知， 综上有：， 解得． 故选：A． 【点睛】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高． 5. 如图为生活中常见的折叠桌的侧面图与示意图，已知，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质求角度、等边对等角、三角形外角的定义及性质，由平行线的性质结合等边对等角可得，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 6. 为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图为单车实物图，图 为单车示意图， 与地面平行，坐垫 可沿射线方向调节．已知，车轮半径为，当时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫 离地面高度约为（　　）（结果精确到 ，参考数据：）     A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作 于 ，地面于 ，可得，解得，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，作 于 ，地面于 ， 由题意得，， 在中，∵，， ∴， ∴坐垫 离地面高度约为， 故选：． 7. 一商店销售某种进价为20元/件的商品，当售价为60元时，平均每天可售出20件．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件，若该商店每天要实现1400元的利润，每件需降价多少元？设每件商品降价 元，由题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程，设每件商品降价 元，则每件的利润为元，根据总利润 每件的利润件数即可得解． 【详解】解：设每件商品降价 元， 由题意可得：， 故选：B． 8. 如图 1，在中， ，一动点P从点A 出发，以每秒2个单位的速度沿A→B→C的路径运动，过点P作，垂足为Q．设点P运动的路程为x，与的差为y，y与x的函数图象如图2所示，点M，N是线段 ， 与x轴的交点，则图2点M对应的点P位置到点N对应的点P位置所经历的时长为（ ） A. 2秒 B. 4秒 C. 秒 D. 秒 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角函数以及动点问题的函数图象，正确读取图中的信息是解题的关键． 先根据函数图象中特殊点的坐标求出直角三角形的边长，再通过三角函数关系求出与相等时对应的点 的运动路程，最后根据运动速度求出点M对应的点P位置到点N对应的点P位置所经历的时长． 【详解】解：当时，，此时点P、Q都在点A处， ， ， 当时，点P从点A运动到点C处， ， ， ， ， ， 由题意得：当时，与的长相等， 设长为 ，则为 ，， ， ， ， 解得：， 如图，当点P运动到 的中点时，，此时， 点M对应的点P位置到点N对应的点P位置所经历的路程长为：， 点M对应的点P位置到点N对应的点P位置所经历的时长为：秒， 故选：C． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 因式分解： =___． 【答案】． 【解析】 【详解】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此， 先提取公因式a后继续应用平方差公式分解即可：． 10. 关于 的一元二次方程有两个不相等实数根，则的值可能是_____．（只需写出一个即可） 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，② ，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．由题意可得，计算即可得解． 【详解】解：∵关于 的一元二次方程有两个不相等实数根， ∴， 解得：， ∴的值可能是， 故答案为：． 11. 非物质文化遗产是我国传统文化的优秀代表．深圳市非物质文化遗产有上川黄连胜醒狮舞、大船坑舞麒麟、潮俗皮影戏、沙头角鱼灯舞等．小聪和小颖商定从“上川黄连胜醒狮舞”、“大船坑舞麒麟”、“潮俗皮影戏”、“沙头角鱼灯舞”四种中各随机选择一种，用于宣传深圳的非物质文化遗产，两人恰好选中同一种的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法求概率, 画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意，“上川黄连胜醒狮舞”、“大船坑舞麒麟”、“潮俗皮影戏”、“沙头角鱼灯舞”四种非物质文化遗产分别记为 画出树状图如下： 一共有16种等可能的情况，两人恰好选中同一种的情况有4种， （两人恰好选中同一种）． 故答案为：． 12. 如图，已知矩形 的一边 落在 轴的正半轴，它的顶点 与对角线的中点 均在反比例函数的图象上，则矩形 的面积为____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、反比例函数的性质，设，，则，结合反比例函数的性质求出，即可得出，从而可得，，即可得解． 【详解】解：设， ∵它的顶点 与对角线的中点 均在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴矩形 的面积为， 故答案为：． 13. 在菱形 中，，将沿翻折至， ， 的延长线分别交 于 ， 两点，若，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据菱形的性质以及解直角三角形分别求出，，，再结合勾股定理得，因为折叠，得，，，，运用勾股定理得出，，，，再证明，运用两个相似三角形的高的比等于相似比列式化简，即可作答． 【详解】解：分别过点 ， 作的延长线，的延长线，且过F作分别交于点，如图所示： ∵四边形 是菱形， ∴ ，，， ∵ ∴， 设， ∴在中，， 即， ∴， ∵ ，的延长线，的延长线， ∴， ∵， ∴ ∴在中，，， 即，， ∴，， 在中，， 则， ∵将沿翻折至， ， 的延长线分别交 于 ， 两点， ∴，，，， ∴， 即， ∴， 解得， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 则， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴（两个相似三角形的高的比等于相似比）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，菱形的性质，解直角三角形的性质，勾股定理，难度大，综合性强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角形函数的混合运算，先化简乘方，立方根，正切值，绝对值，再运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 15. 先化简：，再从，0，3中选取一个适当的数代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件、分式的化简求值，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键；根据分式的混合运算法则计算即可化简，再根据分式有意义的条件得出 只能为0，代入计算即可得解． 【详解】解：原式 因为，， 所以，， 所以 只能为0， 当时，原式． 16. 小聪爸爸为了了解国产吉他的品质（指板材质、发出的声音等），对甲、乙两种品牌进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了两种品牌的吉他各9份样品，对吉他的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种品牌吉他得分的统计图表． 甲、乙两种品牌吉他得分表 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 甲（分） 81 82 83 88 90 90 90 92 95 乙（分） 74 75 85 88 89 90 91 97 97 甲、乙两种吉他得分统计表 品牌 平均数 中位数 众数 甲 87.9 90 乙 87.3 97 （1）________，________； （2）从方差的角度看，________种吉他的得分较稳定（填“甲”或“乙”）； （3）你会建议小聪爸爸选择哪种品牌吉他？请结合统计图表中的信息写出你的理由． 【答案】（1）， （2）甲 （3）建议购买甲品牌，因为甲品牌的平均数更高，所以甲品牌吉他更好． 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、方差、平均数，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由中位数和众数的定义求解即可； （2）由甲、乙两种吉他得分的方差，比较得出，即可得解； （3）根据平均数的定义解答即可． 【小问1详解】 解：由乙种吉他得分可得，处在中间位置的一个数是，即， 由甲种吉他得分可得，出现次数最多的是90分，即； 【小问2详解】 解：， 故， ∴甲吉他的得分较稳定； 【小问3详解】 略 17. 根据以下素材，探索完成任务． 学校如何购买保洁物品 问题背景 劳动课正式成为中小学的一门独立课程．劳动教育是学生设计能力、问题解决能力、合作能力、实践能力以及社会责任感提升的重要手段． 素材1 为了保障劳动教育的有序进行，某学校需要增加保洁物品的库存量，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．已知买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元． 素材2 考虑两种物品的易损情况，要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，且扫把簸箕套装不少于50套 素材3 商店提供以下两种优惠方案：方案1：两种商品按原价的8折出售；方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折． 问题解决 任务1 确定物品单价 请运用所学知识，求出毛巾和扫把簸箕套装的单价． 任务2 探究购买方案 如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？ 【答案】任务1：毛巾单价为2元，扫把簸箕套装的单价为6元；任务2：学校购买扫把簸箕套装50套，毛巾150条 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程组与不等式是解此题的关键． 任务1：设毛巾的单价为 元，扫把簸箕套装单价为 元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； 任务2：设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条，根据题意列出一元一次不等式，计算即可得解． 【详解】解：任务1：设毛巾的单价为 元，扫把簸箕套装单价为 元． 根据题意得：， 解得， 答：毛巾单价为2元，扫把簸箕套装的单价为6元． 任务2：设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条， ∴购买扫把簸箕套装和毛巾的费用为（元） 方案一：， 解得， 由题意得， ∴， ∴ 方案二：， 解得， ∴方案二不符题意，舍去． 答：学校购买扫把簸箕套装50套，毛巾150条． 18. 在矩形 中，连接 ． （1）如图1，请用尺规在边 上求作一点 ，连接，使；（不写作法，保留作图痕迹） （2）如图2，已知点 在边 上，且，连接，交 于点 ，若，，求 的长． 【答案】（1） 如图，即为所作； ， （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）作 的垂直平分线交 于 ，点 即为所求； （2）设，则，由勾股定理可得，证明，再由相似三角形的性质计算即可得解． 【小问1详解】 解：由作图可得：， ∴； 【小问2详解】 解：如图， ， ∵，又， ∴， ∵四边形 是矩形， ∴，， ∵， ∴， 设， ∴， ∴， 解得， ∵四边形 是矩形， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 又， ∴． 19. 综合与实践 【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）．为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一个标志建筑，需要重造扩建拱门．经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观． 【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）．由于地域限制，为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能使拱门最美观，又不影响树木的生长呢？ 【分析问题】 （1）二次函数的图象经过和，此抛物线的对称轴为直线________； （2）如图2，已知二次函数经过点，且与的图象均经过和，则的取值范围是________； 【解决问题】 （3）以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以， 为端点的拱门表示原拱门， 表示大树．当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时拱顶到地面的距离的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）根据二次函数的性质求解即可； （2）待定系数法求出，，由图象可得的顶点在的下方，即可得出，求解即可； （3）设新拱门抛物线解析式为，则抛物线顶点坐标为由题意可得，从而解得，（不符题意，舍去），得到新拱门抛物线解析式为，将代入得，，解得，从而可得，将代入得，，解得，从而可得；将代入得，，解得，从而可得；分别求解即可得解． 【详解】解：（1）∵二次函数的图象经过和， ∴此抛物线的对称轴为直线； （2）∵二次函数经过和， ∴， 将代入可得：， ∴， ∴， ∵的图象均经过和， ∴， ∵由图象可得：的顶点在的下方， ∴， 解得：； （3）如图所示，将点分别向左右两侧平移3个单位得到点 、 ，将向上平移个单位，矩形 即为大树生长空间． 由题意得，，，， ∴，； 设新拱门抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ∵拱顶到地面的距离为拱宽的一半， ∴， 解得，（不符题意，舍去）， ∴新拱门抛物线解析式为， 将代入得，，解得， ∴， ∵原拱门拱顶距地面为4米， ∴， 将代入得，，解得， ∴， 将代入得，，解得， ∴， ∴， 综上所述，的取值范围是或． 20. 综合与探究 在正方形 中，，点E是 边上的动点，连接． （1）【探索发现】如图1，过点D作，求证：； （2）【类比探究】如图2，过点B作于点F，连接，当是等腰三角形时，求此时 的长度与的面积； （3）【拓展延伸】如图3，过点B作于点F，连接，将沿翻折得到， 交 于点H，求出线段的最小值． 【答案】（1） 证明：∵四边形 是正方形， ， ， ， ， ； （2）或 ，的面积为4或 （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形性质得出：，因为证得，进而推导和，通过互余关系得，最终利用两角对应相等完成相似证明； （2）分两种情况讨论：①当时，作，设，利用 为中线及的比例关系解得，此时为等腰直角三角形，面积，且点共线，故；②当时，作，设 ，通过和的勾股定理（）解得，进而面积，再结合的比例关系：得，故．综合得或 ，对应面积为 或； （3）首先利用，说明点在以中点 为圆心的圆上，延长交延长线于 ，设，推导，进而得，从而．要使最小（即 最小），需 最大，此时与圆 相切（即），设，利用建立方程，解得（舍负值），代入得，最终可求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，作于点H， ， ， ， ， 当为等腰三角形时，只有以下两种可能： ①当时，作于点H，如图所示， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 解得，， ，为等腰直角三角形， ， ∴此时点A、F、C三点共线， ； ②当时，作于点H，如图所示， 设， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， ， ， ， ， 即， 解得， ； 综上所述，或2，的面积为 或； 【小问3详解】 的最小值为．理由如下： ， ∴点F在以 的中点M为圆心的圆上，延长交的延长线于点N， 设， ， ， ， ， ， ， ， 若最小，即最小，则最大， 当最大时，与圆M相切，即， 设， ， ， ， 解得或（舍）， ， ． 的最小值为． 【点睛】本题主要考查正方形的性质（如直角、边相等）、三角形相似（AA判定）与全等（AAS）、等腰三角形的分类讨论、勾股定理、圆的性质（点轨迹、切线）及最值问题（通过相似比例和方程求极值）。解决问题的关键在于巧妙构造辅助线（如垂线、延长线）建立几何关系，将动态问题转化为静态模型，利用相似和全等传递边角关系，并通过方程思想求解未知量，同时注意分类讨论避免遗漏（如小问2的等腰三角形情形），最终综合几何变换（折叠）和圆的性质实现最值优化。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $