精品解析：上海市实验学校2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

上实验2024学年第一学期高二年级数学期末 一、填空题（共40分，每小题4分，答案正确得4分，否则不得分） 1. 抛物线的准线方程为________． 【答案】 【解析】 【详解】抛物线的准线方程为；故填. 2. 对任意实数，直线总经过定点________．（写出该定点坐标） 【答案】 【解析】 【分析】根据已知直线方程化简列方程组计算求解即可. 【详解】由直线，化简可得对任意实数都成立， 所以，所以定点为. 故答案为：. 3. 椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于，两点，则的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合椭圆的定义求解即可. 【详解】由，得，则， 因为过的直线交椭圆于，两点， 所以的周长为 . 故答案为： 4. 若向量是直线的一个法向量，则直线的倾斜角为________．（用反三角表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据法向量的定义，以及直线的斜率与倾斜角的关系，即可求解． 【详解】因为向量是直线的一个法向量， 所以直线的一个方向向量为， 所以直线l的斜率，设直线的倾斜角为， 则，又， 所以直线l的倾斜角. 故答案为：. 5. 已知方程表示圆，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程表示圆需满足的条件列出方程，即可求得答案. 【详解】若方程表示圆，则， 解得，故的取值范围为， 故答案为:. 6. 平面经过点，且的法向量，则到平面的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出，则点到平面的距离. 【详解】因为平面经过点，所以， 又平面的法向量， 所以点到平面的距离. 故答案为： 7. 双曲线与双曲线共渐近线且过点，则的标准方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两个双曲线共渐近线，设双曲线的方程为，，再代入点的坐标，即可求双曲线方程. 【详解】设双曲线的方程为，， 代入点，得，即， 所以双曲线方程为，整理为. 故答案为： 8. 已知椭圆方程为，点为椭圆的右顶点，定点在轴上，点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，利用两点间距离公式建立函数关系，借助二次函数探讨最小值. 【详解】椭圆方程为，则圆的右顶点 设，则，， 则， 所以，， 当恰与点重合时，取得最小值， 即要使时取最小值，则必有，所以. 故答案为：. 9. 如图，长方体中，，，，为底面的中心，点为上的动点（包括端点），则当的面积最小时，线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】如图以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，根据题意设，然后利用空间向量求出点到的最小距离，从而可求出点的坐标，进而可求出的长 【详解】如图以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则 ，， 则， 设，则， 因为‖，所以，得， 所以（），则， 设点到的距离为，则 ， 所以当时，取得最小值，此时的面积取得最小值， 所以， 所以 故答案为： 10. 在平面直角坐标系中，的三个顶点均位于抛物线上，点为的焦点，若，直线的斜率为，则使成立的实数的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】不妨设点在x轴上方，根据正弦定理可得，结合直线的倾斜角可知x轴，且直线的斜率为，设，根据斜率公式整理可得，再根据数量积的坐标运算求解即可. 【详解】由题意可知：，不妨设点在x轴上方， 取的中点，过分别作直线平行与x轴，分别交于点， 因为，由正弦定理可得， 设，则， 则，且， 可得， 又因为直线的斜率为，则直线的倾斜角为， 可得，， 则，可得，即x轴， 则，可得直线的斜率为， 设，则， 则，， 整理可得，解得， 又因为， 且，可得， 即，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据题中的长度和直线的倾斜角可知x轴，且直线的斜率为，进而可得坐标值. 二、选择题（共16分，每小题4分） 11. 在空间直角坐标系中，已知，，则点和点关于（ ） A. 轴对称 B. 平面对称 C. 轴对称 D. 平面对称 【答案】C 【解析】 【分析】根据两点的坐标特征结合已知条件即可得答案. 【详解】因为点和的纵坐标相等，其余两个坐标互为相反数， 所以点和点关于轴对称. 故选：C 12. 如图，共顶点的椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，，，，其大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据椭圆越扁离心率越大判断，的大小，再由双曲线开口越大离心率越大判断，的大小，最后根据椭圆离心率大于0小于1，抛物线离心率大于1进行判断可得答案. 【详解】解：根据椭圆越扁离心率越大，可得， 根据双曲线开口越大离心率越大，可得， 故可得：， 故选：C. 【点睛】本题主要考查椭圆、双曲线的离心率的性质，熟悉椭圆越扁离心率越大、双曲线开口越大离心率越大的性质是解题的关键. 13. 著名的古希腊数学家阿基米德一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理：把一个球放在一个圆柱形的容器中，如果盖上容器的上盖后，球恰好与圆柱的上、下底面和侧面相切（该球也被称为圆柱的内切球），那么此时圆柱的内切球体积与圆柱体积之比为定值，则该定值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件可得，结合圆柱与球的体积公式计算即可. 【详解】设圆柱的母线长为l，内切球的半径为r，如图所示， 则其轴截面如图所示， 则， 所以圆柱的内切球体积为，圆柱体积为， 所以圆柱的内切球体积与圆柱体积之比为. 故选：D. 14. 设直线的方程为，两不同定点、，点满足，记，若，且线段与直线有交点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算表示点的坐标，代入直线方程，整体配凑得到，根据参数得到关于满足的不等关系，进而得解 【详解】设,,代入直线的方程为中， , , ， 若，则，从而，与已知矛盾， 所以,所以,即, 又因为，所以, 故选:D 【点睛】由,整体配凑得到,进而，是解决问题的关键. 三、解答题（共44分，要求写出必要的解答或证明步骤） 15. 已知椭圆的方程为，、为其左、右焦点． （1）求椭圆的离心率； （2）若直线被椭圆截得的线段长为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接由离心率定义求解； （2）设直线与椭圆交于，两点，联立方程组，利用韦达定理和弦长公式求解. 【小问1详解】 由椭圆的方程为， 可得， 所以； 【小问2详解】 设直线与椭圆交于，两点， 联立方程组， 得， 则， 由于即， 解得. 16. 如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB的长为16米，最大高度CD的长为4米，以C为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立直角坐标系． （1）求该圆弧所在圆的方程； （2）若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体） 【答案】（1） （2）4辆 【解析】 【分析】（1）根据圆的几何性质确定圆心的位置，结合垂径定理与勾股定理求圆心与半径，即可圆弧所在圆的方程； （2）确定汽车通过的最大宽度，再分析可得最多可以并排通过该种汽车数量. 【小问1详解】 由圆的对称性可知，该圆弧所在圆的圆心在y轴上， 设该圆的半径为r米，则，解得， 故该圆弧所在圆的方程为． 【小问2详解】 设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米，则， 解得． 若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度为，故该隧道不能并排通过5辆该种汽车． 若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度为．隧道能并排通过4辆该种汽车． 综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车． 17. 如图，平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，． （1）求该平行六面体的表面积； （2）记在底面上的射影为，，，，求证：，并求侧棱与底面的所成角； （3）求异面直线与的所成角． 【答案】（1） （2）过 作 平面，连接 AM, HM, AE, HE, AH， 此时平面 ，，，平面， 面， ，， ，得证. 侧棱与底面的所成角为 （3） 【解析】 【分析】（1）分别求出平行六面体的底面积和侧面积，由即可求解； （2）数形结合，作出辅助线，利用，，即可求证，根据平面， ，可知即为所求的侧棱与底面的所成角，计算从而得解； （3）根据题意可得， ，根据数量积运算结合夹角公式求异面直线夹角. 【小问1详解】 底面是边长为1的正方形，则,, ，， 所以， 所以该平行六面体的表面积. 【小问2详解】 因为，则, 则， 所以 , 所以，所以， 因为平面，平面，所以， 所以侧棱与底面的所成角为. 所以，侧棱与底面的所成角为. 【小问3详解】 由题意，， ， ， 所以． 而，， 则 ， 所以， 所以直线与所成角为. 18. 已知双曲线，，分别为其左、右焦点，为其左顶点．设过右焦点的直线与的右支交于，两点，其中点位于第一象限内．当直线与轴垂直时，． （1）求双曲线的方程； （2）设直线，分别与直线交于，两点，问：是否存在实数，使右焦点恒位于以线段为直径的圆上？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； （3）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）依据题意设出，代入双曲线中建立方程，再结合双曲线中基本量的运算关系得到另一个方程，求解基本量，得到双曲线方程即可. （2）设出直线的方程，联立双曲线方程，得到关于点坐标的韦达定理；再分别求得的方程，以及点的坐标，利用数量积的坐标运算表示，再结合题意建立方程，求解参数即可. （3）求得直线不存在斜率时满足的，当斜率存在时，将所求问题，转化为直线斜率之间的关系，结合点的坐标满足曲线方程，求解即可. 【小问1详解】 因为当直线与轴垂直时，， 且点位于第一象限内，所以设， 代入方程中得到，而， 解得，，则双曲线的方程为. 【小问2详解】 由上问得双曲线的方程为， 如图，则点，的坐标分别为， 又双曲线渐近线为，显然直线的斜率不为零， 故设其方程为，， 联立双曲线方程可得：， 设点的坐标分别为，且恒成立 则， ， ； 又直线方程为：，令，则， 故点的坐标为；直线方程为：， 令，则，故点的坐标为； 若右焦点恒位于以线段为直径的圆上，则， 则 ，令，解得， 故存在，使右焦点恒位于以线段为直径的圆上. 【小问3详解】 当直线斜率不存在时， 对曲线，令，解得， 故点的坐标为，此时， 在三角形中，，故可得， 则存在常数，使得成立； 当直线斜率存在时，不妨设点的坐标为，， 此时直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 则，， 假设存在常数，使得成立，即， 则一定有：，也即； 又；； 又点的坐标满足，则， 故 ； 故假设成立，存在实数常数，使得成立； 综上所述，存在常数，使得恒成立. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线中存在常数满足条件的问题；其中第二问的关键是能够分析出向量数量积是定值，再表示出数量积，进而求解参数，第三问处理的关键是要投石问路，找到特殊情况下的参数值，再验证非特殊情况下依旧成立，同时还要注意本小题中把角度关系，转化为斜率关系即可. 四、附加题（共20分，要求写出必要的解答或证明步骤） 19. 带着数学的眼光看世界，则生活中处处有数学．以一种常见的生活用品——酒杯为例，根据其造型，不妨将其抽象为开口向上的抛物线，并假设其内壁足够光滑. （1）将一定长度，质量分布均匀，各处粗细相等的小木棍丢入酒杯中，想要研究小木棍自然静止下来后所处位置的特征．查阅资料后可知，物理中有被称为“重心最低”的原理．试将该物理原理抽象为这一抛物线酒杯模型中的数学语言，并借助之给出研究结论. 【注】①请将“抽象出的数学问题：XXX……”与“问题解答：XXX……”分开书写，不明确问题直接开始解答的不得分； ②自行定义必要的字母记号，并配以相应的图形说明． （2）将许多长短不一（但均足够长）的小木棍丢入酒杯中，待它们全部自然静止后，发现它们全部交汇于同一点，请解释该现象． 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据“重心最低”原理，可转化为木棍中点到杯底距离最小，从而抽象数学问题；联立直线与抛物线方程利用韦达定理求解中点坐标，并表示中点到轴的距离，利用双勾函数求最值即得； （2）借助（1）结论分析可得. 【小问1详解】 抽象出的数学问题： 已知抛物线上有一条长度为的动弦，求中点到轴的距离的最小值. 问题解答： 设，直线， 联立得，， ，，， 所以， 解得， 中点， 则中点到轴的距离为 ， 令，设， ①当时，， 当且仅当，即时等号成立. 此时， 故直线，恒过抛物线的焦点； ②当时，在上单调递增，则. 当，即时，中点到轴的距离最小，最小值为. 此时斜率，即关于轴对称. 回归实际问题，研究结论是： 当木棍长时，小木棍自然静止下来后对应木棍处于水平位置； 当木棍长时，小木棍自然静止下来后对应木棍通过抛物线焦点. 【小问2详解】 由题意，小木棍长短不一，但均足够长，不妨认为木棍长度均满足. 由（1）可知，当时，小木棍自然静止下来后对应木棍通过抛物线焦点. 故将许多长短不一（但均足够长）的小木棍丢入酒杯中，待它们全部自然静止后， 它们全部交汇于同一点，即抛物线的焦点. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键有二，一是理解题意，将实际问题抽象为数学问题；二是根据与的大小，分类讨论双勾函数的最值. 20. 已知椭圆. （1）已知椭圆的离心率为，求椭圆的标准方程； （2）已知直线过椭圆的右焦点且垂直于轴，记与的交点分别为A、B，A、 B两点关于y轴的对称点分别为、，若四边形是正方形，求正方形的内切圆的方程； （3）设О为坐标原点，P、Q两点都在椭圆上，若是等腰直角三角形，其中是直角，点Р在第一象限，且O、P、Q三点按顺时针方向排列，求b的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据离心率求出，然后求出，即可得解； （2）设右焦点，左焦点，根据正方形的结构特征及椭圆的对称性可得，再根据椭圆的定义求出，即可得出所求圆的半径，即可得解； （3）设直线的倾斜角为，斜率为，求出直线的斜率，设，则，联立方程求出，根据可得关于的一元二次方程，再根据即可得解. 【小问1详解】 由题意得，，所以， 所以， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 设右焦点，左焦点， 因为四边形是正方形， 不妨设点在第一象限，则， 所以， 由，得， 正方形的内切圆的圆心为，半径为， 所以所求圆的方程为； 【小问3详解】 设直线的倾斜角为，斜率为， 则直线的斜率为， 设，则， 联立，得， 同理可得， 由得， 即， 整理得， 注意到且， 则要使上述关于的一元二次方程有正数解， 只需要，解得， 所以b的最大值为. 【点睛】关键点点睛：由得出关于的一元二次方程，再结合题意得出是解决第三问的关键步骤. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上实验2024学年第一学期高二年级数学期末 一、填空题（共40分，每小题4分，答案正确得4分，否则不得分） 1. 抛物线的准线方程为________． 2. 对任意实数，直线总经过定点________．（写出该定点坐标） 3. 椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于，两点，则的周长为________． 4. 若向量是直线的一个法向量，则直线的倾斜角为________．（用反三角表示） 5. 已知方程表示圆，则的取值范围为__________． 6. 平面经过点，且的法向量，则到平面的距离为______． 7. 双曲线与双曲线共渐近线且过点，则的标准方程为________． 8. 已知椭圆方程为，点为椭圆的右顶点，定点在轴上，点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，则实数的取值范围为________． 9. 如图，长方体中，，，，为底面的中心，点为上的动点（包括端点），则当的面积最小时，线段的长为________． 10. 在平面直角坐标系中，的三个顶点均位于抛物线上，点为的焦点，若，直线的斜率为，则使成立的实数的值为________． 二、选择题（共16分，每小题4分） 11. 在空间直角坐标系中，已知，，则点和点关于（ ） A. 轴对称 B. 平面对称 C. 轴对称 D. 平面对称 12. 如图，共顶点的椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，，，，其大小关系为（ ） A. B. C. D. 13. 著名的古希腊数学家阿基米德一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理：把一个球放在一个圆柱形的容器中，如果盖上容器的上盖后，球恰好与圆柱的上、下底面和侧面相切（该球也被称为圆柱的内切球），那么此时圆柱的内切球体积与圆柱体积之比为定值，则该定值为（ ）． A. B. C. D. 14. 设直线的方程为，两不同定点、，点满足，记，若，且线段与直线有交点，则（ ） A. B. C. D. 三、解答题（共44分，要求写出必要的解答或证明步骤） 15. 已知椭圆的方程为，、为其左、右焦点． （1）求椭圆的离心率； （2）若直线被椭圆截得的线段长为，求的值． 16. 如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB的长为16米，最大高度CD的长为4米，以C为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立直角坐标系． （1）求该圆弧所在圆的方程； （2）若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体） 17. 如图，平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，． （1）求该平行六面体的表面积； （2）记在底面上的射影为，，，，求证：，并求侧棱与底面的所成角； （3）求异面直线与的所成角． 18. 已知双曲线，，分别为其左、右焦点，为其左顶点．设过右焦点的直线与的右支交于，两点，其中点位于第一象限内．当直线与轴垂直时，． （1）求双曲线的方程； （2）设直线，分别与直线交于，两点，问：是否存在实数，使右焦点恒位于以线段为直径的圆上？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； （3）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 四、附加题（共20分，要求写出必要的解答或证明步骤） 19. 带着数学的眼光看世界，则生活中处处有数学．以一种常见的生活用品——酒杯为例，根据其造型，不妨将其抽象为开口向上的抛物线，并假设其内壁足够光滑. （1）将一定长度，质量分布均匀，各处粗细相等的小木棍丢入酒杯中，想要研究小木棍自然静止下来后所处位置的特征．查阅资料后可知，物理中有被称为“重心最低”的原理．试将该物理原理抽象为这一抛物线酒杯模型中的数学语言，并借助之给出研究结论. 【注】①请将“抽象出的数学问题：XXX……”与“问题解答：XXX……”分开书写，不明确问题直接开始解答的不得分； ②自行定义必要的字母记号，并配以相应的图形说明． （2）将许多长短不一（但均足够长）的小木棍丢入酒杯中，待它们全部自然静止后，发现它们全部交汇于同一点，请解释该现象． 20. 已知椭圆. （1）已知椭圆的离心率为，求椭圆的标准方程； （2）已知直线过椭圆的右焦点且垂直于轴，记与的交点分别为A、B，A、 B两点关于y轴的对称点分别为、，若四边形是正方形，求正方形的内切圆的方程； （3）设О为坐标原点，P、Q两点都在椭圆上，若是等腰直角三角形，其中是直角，点Р在第一象限，且O、P、Q三点按顺时针方向排列，求b的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $