精品解析：湖南省衡阳市衡阳市四校2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024年下初二年级数学学科期末检测卷 试卷说明： 1.本学科试卷共三道大题，满分120分，考试时量120分钟． 2.本试卷的作答一律答在答题卡上，直接在试题卷上作答无效． 一、单选题（30分） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. 0 C. D. 5 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，小明练习册上一个三角形破损了，他运用所学知识重新画了一个一模一样的三角形，他画图的依据是（ ） A. B. C. D. 4. 若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　） A. 9 B. 7 C. 12 D. 9或12 5. 数“20242025”中，数字“2”出现的频率是（ ） A. B. C. D. 6. 若是一个完全平方式，则常数k的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 7. 下列因式分解中，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，按以下步骤：①分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，；②作直线交于点，连接，若，，则的周长是（ ） A. 20 B. 16 C. 12 D. 10 9. 如图，在，，，，以为折痕将翻折，使点与点重合，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 10. 如图，已知，分别以、为边向外作等边和等边，和交于点，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（24分） 11. 计算：=___． 12. 计算：________． 13. 长方形的面积是．若一边长是，则另一边长是______． 14. 若，那么_______． 15. 如图，在中，，是边的中线，若，，则的长度为________． 16. 如图，，，若，，，则的面积为______． 17. 如图，一个圆柱形容器的高为，底面半径为，在容器外壁中点处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁的底部与蚊子相对的点处，壁虎捕捉蚊子的最短距离为______．（容器厚度忽略不计） 18. 如图，在中，，，，是的平分线，若、分别是和上的动点，则的最小值是________ 三、解答题（66分） 19. （1）计算： （2）因式分解： 20. 如图，已知，，，求证：． 21. （1）已知，，求的值； （2）先化简，再求值：，其中，． 22. 为落实省教育厅相关文件精神，某中学开展“减作业 保睡眠 提质量”关于作业减负和睡眠管理的工作，对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查．设每名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是： A组：；B组：；C组：；D组：；E组：． 根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次共调查了　　名学生； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，求D组所对应的扇形圆心角的度数； （4）若该校有2000名学生，请估计该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人？ 23. 如图，在四边形中，∥BC，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点． （1）求证：； （2）求证：平分； （3）猜想线段、、的数量关系，并说明理由． 24. 如图，经过村和村（将，村看成直线上的点）的笔直公路旁有一块山地正在开发，现需要在处进行爆破，已知处与村的距离为300米，处与村的距离为400米，且． （1）求，两村之间的距离； （2）为了安全起见，爆破点周围半径250米范围内不得进入，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由． 25. “我们把多项式及叫做完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等． 例如：分解因式：． 解：原式． 例如：求代数式的最小值． 解：， 因为：，所以：当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：______； （2）当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值； （3）已知，，是的三条边，且满足，试判断的形状． 26. 如图，在长方形中，点M在上，，，过点B作射线（与在同侧），若动点P从点B出发，沿射线匀速运动，运动速度为秒，设点P的运动时间为秒． （1）当_________秒时，； （2）在（1）的条件下，求证：； （3）连接，是否存在某个的值，使得是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下初二年级数学学科期末检测卷 试卷说明： 1.本学科试卷共三道大题，满分120分，考试时量120分钟． 2.本试卷的作答一律答在答题卡上，直接在试题卷上作答无效． 一、单选题（30分） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. 0 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的识别，开不尽方的二次根式是无理数，熟记常见无理数是解决问题的关键． 【详解】解：在这四个数中，是无理数， 故选：C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法、积的乘方、同底数幂除法、合并同类项，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据同底数幂乘法、积的乘方、同底数幂除法、合并同类项等法则，对选项逐一分析即可． 【详解】解：，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； ，故D选项错误． 故选：C． 3. 如图，小明练习册上一个三角形破损了，他运用所学知识重新画了一个一模一样的三角形，他画图的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形可知两角及夹边是已知条件即可判断． 【详解】解：由图可知，左下角和右下角可测量，为已知条件， 两角的夹边也可测量，为已知条件， 故可根据得到与原图形全等的三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定定理，掌握全等三角形的判定定理是关键． 4. 若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　） A. 9 B. 7 C. 12 D. 9或12 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：（1）若2为腰长，5为底边长， 由于，则三角形不存在； （2）若5为腰长，则，符合三角形的两边之和大于第三边． 所以这个三角形的周长为． 故选：C． 5. 数“20242025”中，数字“2”出现的频率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了频数与频率，熟练掌握频率=频数÷总次数是解题的关键．根据频率=频数÷总次数，进行计算即可解答． 【详解】解：数“20242025”中，数字“2”出现的次数为4， ∴数“20242025”中，数字“2”出现的频率， 故选：B 6. 若是一个完全平方式，则常数k的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据完全平方式的特点，确定的值即可． 【详解】解：是一个完全平方式， ， 故选C． 【点睛】本题主要考查了完全平方式，熟记完全平方式的特征是解题关键． 7. 下列因式分解中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确应用的前提．利用平方差公式、完全平方公式逐项进行因式分解即可． 【详解】解：A．，因此选项A不符合题意； B．，因此选项B不符合题意； C．没有写成积的形式，不是因式分解，因此选项C不符合题意； D．，因此选项D不符合题意； 故选：D． 8. 如图，在中，按以下步骤：①分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，；②作直线交于点，连接，若，，则的周长是（ ） A. 20 B. 16 C. 12 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质，根据题意得到是线段的垂直平分线是解题关键． 根据作图得到是线段的垂直平分线，得到，再根据周长公式进行线段代换即可求解． 【详解】解：由作图可知是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长 ∵，， ∴的周长 故选： 9. 如图，在，，，，以为折痕将翻折，使点与点重合，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，根据勾股定理可以求得，再由勾股定理列出方程即可得出答案． 【详解】解：∵在，，，， ∴， 设，则， 由折叠可知， 在中，， ∴， ∴， ∴． ∴． 故选：A 10. 如图，已知，分别以、为边向外作等边和等边，和交于点，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，正确作出辅助线是解题的关键．根据等边和的性质，利用可证，由全等三角形的性质可知①正确；由三角形内角和为易求的度数，可知②正确；过分别作于，于，由可得，进而可得平分，所以③正确；在上截取，利用可证，由全等三角形对应边相等可得，故可得④正确，据此即可求解． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴，，故①正确； ∵，，， ∴，故②正确； 过分别作于，于，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在的角平分线上， ∴平分，故③正确； 如图，在上截取， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确的结论有①②③④，共4个， 故选：A． 二、填空题（24分） 11. 计算：=___． 【答案】2 【解析】 【分析】根据立方根的定义进行计算． 【详解】解：∵23=8， ∴， 故答案为：2． 12. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查积的乘方运算，牢记运算法则是解题的关键，根据积的乘方运算法则运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 长方形的面积是．若一边长是，则另一边长是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，注意计算的准确性即可． 【详解】解：， 故另一边长是， 故答案为： 14. 若，那么_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要查了平方差公式．根据平方差公式计算，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： 15. 如图，在中，，是边的中线，若，，则的长度为________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，是边的中线， ∴，， 在中，，， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质是解答的关键． 16. 如图，，，若，，，则的面积为______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 过点D作交于点E，根据角平分线的性质得出，即可求解． 【详解】解：过点D作交于点E，如图所示， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：15． 17. 如图，一个圆柱形容器的高为，底面半径为，在容器外壁中点处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁的底部与蚊子相对的点处，壁虎捕捉蚊子的最短距离为______．（容器厚度忽略不计） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理中的最短路径问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键；将圆柱侧面展开，然后根据两点之间线段最短结合勾股定理可进行求解． 【详解】解：如图，如图，将圆柱形容器侧面展开，连接， 则即为壁虎捕捉蚊子的最短距离， 由题意得：底面圆的周长为，高为， ∴，， ∴． 故答案为． 18. 如图，在中，，，，是的平分线，若、分别是和上的动点，则的最小值是________ 【答案】 【解析】 【分析】作，，根据角平分线的性质，得出，再根据垂线段最短，可得有最小值，最小值为的长，再根据等面积法，列出方程求解即可得出答案． 【详解】解：如图，过点C作交于点，交于点P，过点P作交于点Q， 是的平分线， ， 根据垂线段最短可知，此时有最小值，最小值为的长， ，，， 由勾股定理可知，， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、垂线段最短、勾股定理等知识，正确找出符合条件的点P、Q的位置是本题关键． 三、解答题（66分） 19. （1）计算： （2）因式分解： 【答案】（1）0；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算和提公因式和公式法因式分解，熟练掌握二次根式的运算和因式分解的方法是解题的关键． （1）先进行幂的运算以及二次根式的运算、再进行合并； （2）先提公因式，再利用公式法进行因式分解即可． 【详解】解：（1）原式， ； （2）原式， ． 20. 如图，已知，，，求证：． 【答案】 ∵， ∴， 在和中 ∴ ∴ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证即可； 【详解】略 21. （1）已知，，求的值； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）6；（2）；2 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的逆用，整式的乘法，熟练掌握同底数幂运算法则和整式乘法运算法则是解题的关键． （1）根据即可求解； （2）根据平方差公式和完全平方公式进行化简，然后代入求解即可． 【详解】解：（1）； （2）原式， ， 当，， 原式， ． 22. 为落实省教育厅相关文件精神，某中学开展“减作业 保睡眠 提质量”关于作业减负和睡眠管理的工作，对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查．设每名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是： A组：；B组：；C组：；D组：；E组：． 根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次共调查了　　名学生； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，求D组所对应的扇形圆心角的度数； （4）若该校有2000名学生，请估计该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人？ 【答案】（1）100 （2）补全的条形统计图如下图所示； （3） （4）500人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图，画条形统计图，用样本估计总体等知识．解题的关键在于从统计图中获取正确的信息． （1）根据统计图中B组的人数与占比，计算求解即可； （2）根据E组人数占比为，求出E组人数为人，然后作差求出A组人数，最后补全统计图即可； （3）根据D组人数的占比乘以计算求解即可； （4）根据A，B两组人数的占比，乘以总人数，计算求解即可． 【小问1详解】 解：（名）， 即本次共调查了100名学生， 故答案为：100； 【小问2详解】 选择E的学生有：（人）， 选择A的学生有：（人）， 【小问3详解】 ， 即D组所对应的扇形圆心角的度数是 【小问4详解】 （人）， 答：估计该校睡眠时间不足9小时的学生有500人． 23. 如图，在四边形中，∥BC，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点． （1）求证：； （2）求证：平分； （3）猜想线段、、的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：， ， 又∵E为的中点， ， 在和中 ∵， ∴， ∴． （2） 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ， ， 又， ， 平分． （3） 结论： 证明：由（2）可知， ， 由（1）可知， ， 即． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证； （2）由（1）得，得，那么． （3）由（2）可知，得出，由（1）可知，根据即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 24. 如图，经过村和村（将，村看成直线上的点）的笔直公路旁有一块山地正在开发，现需要在处进行爆破，已知处与村的距离为300米，处与村的距离为400米，且． （1）求，两村之间的距离； （2）为了安全起见，爆破点周围半径250米范围内不得进入，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由． 【答案】（1）500m （2）需要封锁， 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理及利用三角形的面积公式求出的长． （1）根据勾股定理可直接求出； （2）利用三角形的面积公式求出的长，再根据可以判断有危险；根据勾股定理求出米，进而求出米． 【小问1详解】 解：由题意得，米，米， 由勾股定理得（米）， 答：A，两村之间的距离500m． 【小问2详解】 解：需要封锁，理由如下： 过点C作交于点D，以点C为圆心，250米为半径画弧交l于点E、F，如图所示， ∵， ∴（米）， ∵， ∴需要封锁， ∵米， ∴（米）， ∴（米）， 故需要封锁的路段长为140米． 25. “我们把多项式及叫做完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等． 例如：分解因式：． 解：原式． 例如：求代数式的最小值． 解：， 因为：，所以：当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：______； （2）当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值； （3）已知，，是的三条边，且满足，试判断的形状． 【答案】（1） （2）当，时有最小值3 （3）直角三角形 【解析】 【分析】（1）阅读材料，根据材料中的方法，先配方，再由平方差公式分解因式即可得到答案； （2）阅读材料，根据材料中的方法，先配方，再由平方的非负性即可求出多项式有最小值； （3）阅读材料，根据材料中的方法，先配方，再由平方的非负性及非负数和为零的条件求出，结合勾股定理的逆定理即可判定的形状． 【小问1详解】 解：由材料中的解法可知， ， 故答案为： 【小问2详解】 解：由材料中的解法可知， ， ， 当时，有最小值，最小值是； 【小问3详解】 解：由材料中的解法可知， ， ， 即， ， ， ， ，即是直角三角形． 【点睛】本题考查阅读理解，涉及完全平方公式、配方法、平方差公式、因式分解、平方非负性、求多项式最值、非负数和为零的条件、勾股定理的逆定理等知识，读懂题意，理解配方法是解决问题的关键． 26. 如图，在长方形中，点M在上，，，过点B作射线（与在同侧），若动点P从点B出发，沿射线匀速运动，运动速度为秒，设点P的运动时间为秒． （1）当_________秒时，； （2）在（1）的条件下，求证：； （3）连接，是否存在某个的值，使得是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）1 （2）见解析 （3）秒或2秒或3秒 【解析】 【分析】（1）根据题意求出，由，当时，，即可解答； （2）根据，推出，结合，即可得到，进而求出，即可证明； （3）先利用勾股定理求出，再根据是等腰三角形，分，三种情况解答即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∵， ∴当时，， 此时， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：存在，t的值为秒或2秒或3秒，理由如下： ∵， ∴， ∵是等腰三角形， 当时，则是等腰三角形， ∵， ∴， ∴，此时， ∴； 当时，此时， ∴； 当时， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴； 综上，存在t的值为秒或2秒或3秒时，是等腰三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $