精品解析：河南省许昌市禹州市2024-2025学年上学期九年级期末数学试题

YZS2024—2025学年上学期期末质量检测试卷 九年级数学 注意事项： 1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟. 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上.答在试卷上的答案无效. 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的. 1. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 画饼充饥 B. 水涨船高 C. 一箭双雕 D. 缘木求鱼 2. 2024年巴黎奥运会圆满落幕，下列是巴黎奥运会四个运动项目的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程时，原方程变形正确的是（ ） A. B. C D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，以原点O为位似中心，在y轴的左侧将放大为原来的2倍得到，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计口袋中白球的个数是（ ） A. 8 B. 10 C. 16 D. 20 6. 如图，在中，为直径，B，D为上的点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在反比例函数的图象上，D为y轴上一点，连接，若的面积为3，则k的值是（ ） A 3 B. 6 C. 9 D. 12 8. 定义：如果一条直线把分割成一个三角形和一个四边形，并且分割后得到的三角形与四边形的面积相等，那么我们把这条直线叫作的“完美分割线”．已知的一条“完美分割线”分别交边AB，AC于点M，N，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 9. 二次函数的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，平面直角坐标系中有一个“飞镖”，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，点C在第四象限，，．将此飞镖绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 将抛物线向右平移2个单位长度后得到的新抛物线的顶点坐标为______． 12. 已知一元二次方程的两根，有如下的关系：，．根据以上信息请写出一个两根互为倒数的一元二次方程：______． 13. 若点和点都在反比例函数的图象上，且，则k的取值范围是______． 14. 如图，E为菱形的对角线上一点，以E为圆心的圆弧恰好经过点A，B，C．若，，则图中阴影部分的面积为_____． 15. 如图，E为正方形边上一点，连接，将绕点A顺时针旋转得到线段，连接．若，则线段长度的最小值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 设关于x的一元二次方程．现有如下两组条件：①，；②，．请从这两组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程． 17. 某学校开展研学活动，小沈将四个研学地点（中国文字博物馆、林州红旗渠、焦作云台山、焦裕禄纪念园）制成编号分别为A，B，C，D的四张卡片（除正面上的字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小沈从中随机抽取一张卡片是“中国文字博物馆”的概率是多少？ （2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“林州红旗渠”和“焦作云台山”的概率． 18. 手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”、“画心”、“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形形状），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”．下图中手卷长1000cm，宽40cm，引首和拖尾完全相同，其宽度都为100cm．若隔水的宽度为xcm，画心的面积为15200cm2，求x的值． 19. 如图1是光的反射规律示意图，是入射光线，是反射光线，法线垂直于平面镜L，反射角等于入射角．如图2，水平桌面上从左至右分别竖直放置了挡板、挡板、平面镜，挡板上有一个孔隙（可以看作点B），从点A发出的光线经平面镜反射后恰好经过孔隙B射出，并落在挡板上的点P处．已知，．求点P离桌面的高度． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）请结合图象直接写出不等式的解集． （3）连接并延长，交反比例函数图象于点，连接，求的面积． 21. 我们已经学习了垂径定理、圆周角定理等，实际上，与圆相关的定理还有很多，比如切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．切割线定理揭示了从圆外一点引圆的切线和割线时，切线与割线之间的关系． 下面我们尝试证明切割线定理． 已知：如图1，是外一点，与相切于点，交于点，（即是割线），连接，． 求证：． 证明：如图2，连接并延长，交于点，连接． 与相切于点，.， 是的直径， …… （1）根据上面的证明思路，补全剩余的证明过程． （2）图2中，若，，求的长． 22. 实心球是中考体育项目之一，在掷实心球时，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．已知小军在一次掷实心球训练中，第一次投掷时出手点距地面，实心球运动至最高点时距地面，距出手点的水平距离为．设实心球掷出后距地面的竖直高度为，实心球距出手点的水平距离为．如图，以水平方向为x轴，出手点所在竖直方向为y轴建立平面直角坐标系． （1）求第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的函数表达式． （2）若实心球投掷成绩（即出手点与着陆点的水平距离）达到为满分，请判断小军第一次投掷实心球能否得满分． 23. 如图1，将矩形绕点A逆时针旋转得到矩形，点B，C，D的对应点分别为E，F，G，延长交于点P． （1）在旋转过程中，试探究线段与数量关系，并说明理由． （2）如图2，当点F在的延长线上时，连接，延长交于点Q，证明：Q为的中点． （3）在（2）的条件下，若矩形长与宽之比为，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ YZS2024—2025学年上学期期末质量检测试卷 九年级数学 注意事项： 1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟. 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上.答在试卷上的答案无效. 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的. 1. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 画饼充饥 B. 水涨船高 C. 一箭双雕 D. 缘木求鱼 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，必然事件就是一定会发生的事件，根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：A、“画饼充饥”是不可能事件； B、“水涨船高”是必然事件； C、“一箭双雕”是随机事件； D、“缘木求鱼”是不可能事件； 故选B． 2. 2024年巴黎奥运会圆满落幕，下列是巴黎奥运会四个运动项目的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握这两个定义．根据轴对称图形和中心对称图形的定义一一判断即可． 【详解】解：选项A，B中的图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项A，B错误，不符合题意； 选项C中的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项C正确，符合题意； 选项D中的图形不是轴对称图形但是中心对称图形，故选项D错误，不符合题意； 故选C． 3. 用配方法解方程时，原方程变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，利用配方法解一元二次方程就是把一元二次方程中含有未知数的部分配成完全平方式，利用完全平方公式分解因式，然后再两边同时开平方求出方程的解． 【详解】解：， 移项得：， 方程两边同时加得：， 分解因式得：， 故选：C． 4. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，以原点O为位似中心，在y轴的左侧将放大为原来的2倍得到，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标系与位似图形，熟练掌握位似变换的坐标特征是解题关键．先求出点的坐标为，再根据位似变换的坐标特征求解即可得． 【详解】解：由题意画出图形如下： ∵在平面直角坐标系中，的顶点， ∴点的坐标为， ∵以原点为位似中心，在轴的左侧将放大为原来的2倍得到， ∴点的坐标为，即， 故选：A． 5. 一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计口袋中白球的个数是（ ） A. 8 B. 10 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率，概率公式．由摸到红球的频率稳定在0.2附近，可得摸到红球的概率为0.2，设口袋中有x个白球，根据概率公式列方程即可． 【详解】解：设口袋中有x个白球， 则， 解得， 故选C． 6. 如图，在中，为的直径，B，D为上的点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理及其推论，平角的性质等知识点，熟练掌握圆周角定理及其推论并能正确添加辅助线是解决此题的关键．如图所示，连接，根据圆周角定理得，根据圆周角定理的推论得，最后利用平角的性质即可得解． 【详解】解：如图所示，连接， ， ， ， ， 故选：A． 7. 如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在反比例函数的图象上，D为y轴上一点，连接，若的面积为3，则k的值是（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键掌握切线的定义：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，以及反比例函数图象上点的坐标特征． 设，则，则，根据三角形的面积公式得出，列出方程求解即可． 【详解】解：设， ∵与轴相切于点， ∴轴， ∴，则点到的距离为， ∵为的直径， 解得：， 故选：D． 8. 定义：如果一条直线把分割成一个三角形和一个四边形，并且分割后得到的三角形与四边形的面积相等，那么我们把这条直线叫作的“完美分割线”．已知的一条“完美分割线”分别交边AB，AC于点M，N，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质， 由可得，再证出，根据相似三角形的性质得到， 由此即可求解． 【详解】解：由题意，得． ． ，， ． ． ， 故选C． 9. 二次函数的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据图象与二次函数的系数之间的关系，抛物线的对称轴，特殊点和最值，逐一进行判断即可． 【详解】解：图象开口向上， ． 对称轴为直线， ，，选项B正确； 当时，， 当时，． ． ，选项A正确； 当时，， 当时，． ，选项C错误； 当时，函数取最小值， ，即，选项D正确， 故选C． 10. 如图，平面直角坐标系中有一个“飞镖”，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，点C在第四象限，，．将此飞镖绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是旋转的旋转，坐标规律的探究，勾股定理的应用，如图，过作轴于，求解，旋转1次后，再结合每旋转4次为一个循环可得答案． 【详解】解：如图，过作轴于， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 由旋转的性质可得：， 由，可知每旋转4次为一个循环， ， 故第2025次旋转结束时点B的位置与第1次旋转结束时点B（即）的位置相同， 故选A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 将抛物线向右平移2个单位长度后得到的新抛物线的顶点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，的图象与性质，坐标与图形变化—平移等知识点，熟练掌握“左减右加，上加下减”的平移规律是解题的关键． 先得到二次函数的顶点坐标，然后按照“左减右加，上加下减”的平移规律求出其向右平移2个单位长度后的顶点坐标，于是得解． 【详解】解：， 其顶点坐标为， 向右平移2个单位长度后的顶点坐标为，即， 故答案为：． 12. 已知一元二次方程的两根，有如下的关系：，．根据以上信息请写出一个两根互为倒数的一元二次方程：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系（韦达定理），熟知一元二次方程根与系数的关系是解题关键．根据题意和韦达定理内容，可得，同时满足， 由此可写出满足题意的一元二次方程． 【详解】解：两根互为倒数，则，即，．故需二次项系数等于常数项，同时保证判别式即可（答案不唯一）．例如：当，时，一元二次方程为． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 若点和点都在反比例函数的图象上，且，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据题意判断出该反比例函数的增减性，进而即可求解． 【详解】解：，， 当时，随的增大而减小． ， 解得， 故答案为：． 14. 如图，E为菱形的对角线上一点，以E为圆心的圆弧恰好经过点A，B，C．若，，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，扇形面积的计算．连接，设与相交于点，根据求解即可． 【详解】解：连接，设与相交于点，如图所示． 在菱形中，， ． ． 恰好经过点，， ． ．则 ． ． ． ． 15. 如图，E为正方形边上一点，连接，将绕点A顺时针旋转得到线段，连接．若，则线段长度的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】如图，连接，在上截取，连接，证明，可得．当时，的值最小．过点M作于点N，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接，在上截取，连接， ∵正方形，， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ． 当时，值最小． 过点M作于点N， ∴， ． 故线段长度的最小值为． 故答案为： 【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 设关于x的一元二次方程．现有如下两组条件：①，；②，．请从这两组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程． 【答案】选条件①，， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式；先计算根的判别式，根据条件判断只有①满足，再解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：∵方程有两个不相等实数根， ，即． ∴条件①满足，条件②不满足，故选条件①． 此时方程为． 整理，得． 则． 解得，． 17. 某学校开展研学活动，小沈将四个研学地点（中国文字博物馆、林州红旗渠、焦作云台山、焦裕禄纪念园）制成编号分别为A，B，C，D的四张卡片（除正面上的字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小沈从中随机抽取一张卡片是“中国文字博物馆”的概率是多少？ （2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“林州红旗渠”和“焦作云台山”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查树状图法求概率，理解题意，熟练运用相关知识是解题的关键； （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：小沈从中随机抽取一张卡片是“中国文字博物馆”的概率是． 【小问2详解】 画树状图如下： 由图可知共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是B和C的结果有2种， ∴抽到的两张卡片恰好是“林州红旗渠”和“焦作云台山”的概率为，即． 18. 手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”、“画心”、“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形形状），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”．下图中手卷长1000cm，宽40cm，引首和拖尾完全相同，其宽度都为100cm．若隔水的宽度为xcm，画心的面积为15200cm2，求x的值． 【答案】10 【解析】 【分析】隔水的宽度为xcm，分别表示出画心的长和宽，根据面积列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得（1000﹣4x﹣200）（40﹣2x）＝15200． 解这个方程，得：x1＝210（不合题意，舍去），x2＝10． 所以x的值为10． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列出方程求解． 19. 如图1是光的反射规律示意图，是入射光线，是反射光线，法线垂直于平面镜L，反射角等于入射角．如图2，水平桌面上从左至右分别竖直放置了挡板、挡板、平面镜，挡板上有一个孔隙（可以看作点B），从点A发出的光线经平面镜反射后恰好经过孔隙B射出，并落在挡板上的点P处．已知，．求点P离桌面的高度． 【答案】72cm 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用．延长交于点N，证明，得到，求出的长，利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：延长交于点N，则． 由题意，得：，，，， ∴，． ∵， ∴， ∴， 由题意，得：， ． ，即， 解得：． ． 点离桌面高度为． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）请结合图象直接写出不等式的解集． （3）连接并延长，交反比例函数图象于点，连接，求的面积． 【答案】（1），； （2）或； （3）． 【解析】 【分析】首先把代入，求出的值，可得反比例函数的解析式，再把代入，求出的值，从而得到点的坐标，再把点、的坐标代入一次函数的解析式，得到关于、的二元一次方程，解方程求出、的值，即可得到一次函数的解析式； 根据图象中一次函数与反比例函数的图象得到不等式的解集； 根据反比例函数图象的性质和点的坐标，可得点的坐标，过点作轴的平行线，交于点，把代入一次函数的解析式求出点的坐标，根据求出的面积． 【小问1详解】 解：把代入， 得到：， 解得：， 反比例函数的表达式为； 把代入， 得到：， 解得：， 点的坐标为， 把，代入， 得到：， 解得：， 一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由图象可知：在第三象限内当时，， 在第一象限内当时，， 综上所述，不等式的解集为：或； 【小问3详解】 解：如下图所示，过点作轴的平行线，交于点， 反比例函数的图象关于原点对称，点的坐标为， 点的坐标为， 当时，， 点的坐标为， ， ． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合、用待定系数法求一次函数的解析式、用待定系数法求反比例函数的解析式、利用函数图象求不等式的解集，解决本题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象与性质确定不等式的解集和点的坐标． 21. 我们已经学习了垂径定理、圆周角定理等，实际上，与圆相关的定理还有很多，比如切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．切割线定理揭示了从圆外一点引圆的切线和割线时，切线与割线之间的关系． 下面我们尝试证明切割线定理． 已知：如图1，是外一点，与相切于点，交于点，（即是的割线），连接，． 求证：． 证明：如图2，连接并延长，交于点，连接． 与相切于点，.， 是的直径， …… （1）根据上面的证明思路，补全剩余的证明过程． （2）图2中，若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）的长为． 【解析】 【分析】（1）先根据切线的性质得到，再根据圆周角得到，进而得到，加上为公共角，则可判断，然后根据相似三角形的性质得到，从而得到； （2）设，则，利用，可得，结合，进而得出，作于点，在中，由勾股定理得，推出，据此计算即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 又， ， ， ； 【小问2详解】 解：设，则， 由（1）知， ， 解得或（舍去）， ， ， ， ， 作于点， 在中，由勾股定理得， ， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：的长为． 22. 实心球是中考体育项目之一，在掷实心球时，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．已知小军在一次掷实心球训练中，第一次投掷时出手点距地面，实心球运动至最高点时距地面，距出手点的水平距离为．设实心球掷出后距地面的竖直高度为，实心球距出手点的水平距离为．如图，以水平方向为x轴，出手点所在竖直方向为y轴建立平面直角坐标系． （1）求第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的函数表达式． （2）若实心球投掷成绩（即出手点与着陆点的水平距离）达到为满分，请判断小军第一次投掷实心球能否得满分． 【答案】（1） （2）小军第一次投掷实心球不能得满分 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用以及待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）设抛物线的表达式为，将代入解得a即可； （2）令，解得x，与比较即可； 【小问1详解】 解：由题意，可知抛物线最高点的坐标为， 设抛物线的表达式为， 将代入，得， 解得． ∴第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：令， 解得（负值已舍去）， ∴实心球出手点与着陆点的水平距离为． ∵，即， ∴， ∴小军第一次投掷实心球不能得满分． 23. 如图1，将矩形绕点A逆时针旋转得到矩形，点B，C，D的对应点分别为E，F，G，延长交于点P． （1）在旋转过程中，试探究线段与的数量关系，并说明理由． （2）如图2，当点F在的延长线上时，连接，延长交于点Q，证明：Q为的中点． （3）在（2）的条件下，若矩形长与宽之比为，请直接写出的值． 【答案】（1），理由见解析 （2）证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）由旋转性质证明，即得； （2）法一：延长交于点H，根据，，得，得，可得，即得；法二：过点C作，交延长线于点K，由．，得，得，可得，即得； （3）连接，设矩形长为，宽为，可得．分当时，得．可得；当时，得，可得，即可计算的值为或． 【小问1详解】 解：．理由如下： 连接，如解图1所示． 由旋转的性质，知，． 又， ． ． 【小问2详解】 证法一：如解图2，延长交于点H． 由（1），知， ． ． ， ． ． ． ， ． 又， ． ． 即Q为的中点． 证法二：如解图3，过点C作， 交延长线于点K． 则， 由（1），知， ． ． ． 又， ． ， 即为的中点． 【小问3详解】 或． 连接，如解图4， 设矩形的长为，宽为， 由勾股定理，可得． 由旋转，得． 当时，，， ． ． 由（2），得为中点， ． ． 当时，，， ． ． ． ． 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了矩形旋转．熟练掌握矩形性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，分类讨论，添加辅助线，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $