精品解析：湖北省武汉市汉阳区第三寄宿中学2024-2025学年下学期二月月考九年级数学试题

武汉市汉阳区第三寄宿中学九年级下学期二月考 数学试题 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1. 2的相反数是（ ） A. B. 2 C. D. 2. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 地海拔高度是4600米，地的海拔高度是米，则地比地高（ ） A. 4600米 B. 100米 C. 4500米 D. 4700米 4. 根式的值是（ ） A. B. 2 C. D. 16 5. 已知是关于一元二次方程的一个根，则此方程的另一个根是（ ） A. B. C. D. 6. 长城总长约为6700010米，用科学记数法表示约为（保留两个有效数字）（ ） A 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 如图，点为线段与线段的垂直平分线的交点，，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是米，测得斜坡的倾斜角是，则斜坡上相邻两树间的坡面距离约是（ ）（保留一位小数，） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 掷一枚骰子，向上的一面数字是2的倍数或3的倍数的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则BC的长为（ ） A. B. 6 C. D. 11 《长江日报》12月26日报道，2008年武汉市建设“两型（环境友好型，资源节约型）”社会共投资48亿元，由四项建设工程组成，即：园林建设投资占；水环境建设投资占；环卫基础建设投资占；城市建设投资占，近几年每年总投资见折线图根据以上信息，下列判断： （1）2008年总投资的增长率与2006年持平； （2）2008年园林投资亿；（3）若2009年、2010年总投资的增长率都与2007年相同，预计2010年共投资亿元．其中正确结论的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 12. 的外接的半径为，高为，的平分线交于切交的延长线于．结论：①；②；③；④，其中正确（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③ D. ①②④ 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 一组数据2，3，5，6，8，x（其中x最大）的平均数与中位数相等，则x为_____． 14. 如图，依次连接一个边长为1的正方形各边的中点，得到第二个正方形，再依次连接第二个正方形各边的中点，得到第三个正方形，按此方法继续下去，则第个正方形的面积是__． 15. 直线y=mx+n和抛物线y=ax2+bx+c在同一坐标系中的位置如图所示，那么不等式mx+n＜ax2+bx+c＜0的解集是_____． 16. 如图，点都在函数（且）的图象上，点都在轴上，使得都是等边三角形，且点的坐标为，则__________． 三、解答下列各题（共9小题，共72分） 17. 解方程： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，，测得，则河宽与有何数量关系？请说明理由． 20. 桌面上放有4张卡片，正面分别标有数字1，2，3，4，这些卡片除数字外完全相同．把这些卡片反面朝上洗匀后放在桌面上，甲从中任意抽出一张，记下卡片上的数字后仍放反面朝上放回洗匀，乙从中任意抽出一张，记下卡片上的数字，然后将这两数相加． （1）请用列表或画树状图的方法求两数和为5的概率； （2）若甲与乙按上述方式做游戏，当两数之和为5时，甲胜；反之则乙胜；若甲胜一次得12分，那么乙胜一次得多少分，才能使这个游戏对双方公平？ 21. 如图，抛物线向右平移1个单位得到抛物线，回答下列问题： （1）抛物线的顶点坐标__________； （2）阴影部分的面积__________； （3）若再将抛物线绕原点旋转得到抛物线，求抛物线解析式． 22. 如图，点是四边形外接圆的圆心，点在上，点在的延长线上，且，于点，交于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的值． 23. 某超市销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱45元．市场调查发现：若每箱以60元销售，平均每天可销售40箱，价格每降低1元，平均每天多销售20箱，但销售价不能低于48元，设每箱售价元（为正整数） （1）写出平均每天销售利润（元）与（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围； （2）设某天的利润为1400元，此利润是否为一天的最大利润，最大利润是多少？ （3）请分析回答售价在什么范围商家获得的日利润不低于1040元． 24. 已知，以为边在外作等腰，其中． （1）如图1，以为边也在外作等腰，其中，连接与，交于点．若，则______； （2）如图2，若，是等边三角形，，，求的长； （3）如图3，若为锐角，作于，当时，试判断与的数量关系，并证明你的结论． 25. 已知抛物线与轴交于，两点，（在的左侧），与轴交于，若，且． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为，点在抛物线的对称轴上，且，求点的坐标； （3）在抛物线上是否存在一点，过作轴于，以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出所有符合条件的点坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武汉市汉阳区第三寄宿中学九年级下学期二月考 数学试题 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1. 2的相反数是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，掌握相反数的定义是解题关键． 根据相反数的定义，一个数的相反数是与之相加得零的数，求解即可． 【详解】解：根据相反数的定义，一个数的相反数是与之相加得零的数， ∵， ∴2的相反数是， 故选：A． 2. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得： 故选：A． 3. 地的海拔高度是4600米，地的海拔高度是米，则地比地高（ ） A. 4600米 B. 100米 C. 4500米 D. 4700米 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了有理数减法的实际应用以及正负数的实际应用，用A地的高度减去B地的高度，列减法算式计算即可． 【详解】解：米， 则地比地高4700米， 故选：D． 4. 根式的值是（ ） A. B. 2 C. D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求算术平方根，先求出平方，再求算术平方根即可． 【详解】解：， 故选：B． 5. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则此方程的另一个根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将代入一元二次方程，求出a的值，再解一元二次方程即可。 【详解】∵是关于的一元二次方程的一个根 ∴，解得 ∴一元二次方程为，解方程得 故正确答案选A 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是求出a的值确定一元二次方程。 6. 长城总长约为6700010米，用科学记数法表示约为（保留两个有效数字）（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了利用科学记数法表示绝对值大于1的数．一般形式为，其中，指数由原整数位数减1；保留几位有效数字，从左边起第一个不为零的数字数够需要的数字，把下一位四舍五入．据此求解即可． 【详解】解：将6700010米用科学记数法表示米， 保留两个有效数字为米， 故选：B 7. 如图，点为线段与线段的垂直平分线的交点，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据垂直平分线的性质得出，根据等腰三角形性质得出，，根据三角形内角和定理得出，，根据 ，求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点为线段与线段的垂直平分线的交点， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质，得出． 8. 如图，在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是米，测得斜坡的倾斜角是，则斜坡上相邻两树间的坡面距离约是（ ）（保留一位小数，） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知∠ABC=90°，利用30°角的余弦即可求出AB的长． 【详解】∵ ∴ ∵AC=3米， ∴米， ∵ ∴AB=1.5×1.732≈2.6米. 故选:A. 【点睛】考查解直角三角形的应用-坡角问题，熟练掌握余弦的定义是解题的关键. 9. 掷一枚骰子，向上的一面数字是2的倍数或3的倍数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查概率．熟练掌握概率公式是解题的关键．利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：抛掷一枚质地均匀的骰子一次，朝上一面的点数共有种等可能的结果，其中点数是2的倍数或3的倍数的有，共种结果， ∴． 故选A． 10. 如图，已知△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则BC的长为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：过点O作OF⊥BC于F， ∴BF=CF=BC， ∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠C=∠ABC==30°， ∵∠C与∠D是对的圆周角， ∴∠D=∠C=30°， ∵BD为⊙O的直径， ∴∠BAD=90°， ∴∠ABD=60°， ∴∠OBC=∠ABD-∠ABC=30°， ∵AD=6， ∴BD=， ∴OB=BD=， ∴BF=OBcos30°=， ∴BC=6． 故选B． 考点：1.圆周角定理；2.垂径定理. 11. 《长江日报》12月26日报道，2008年武汉市建设“两型（环境友好型，资源节约型）”社会共投资48亿元，由四项建设工程组成，即：园林建设投资占；水环境建设投资占；环卫基础建设投资占；城市建设投资占，近几年每年总投资见折线图根据以上信息，下列判断： （1）2008年总投资的增长率与2006年持平； （2）2008年园林投资亿；（3）若2009年、2010年总投资的增长率都与2007年相同，预计2010年共投资亿元．其中正确结论的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查折线统计图的运用，折线统计图表示的是事物的变化情况．解决本题需要从统计图获取信息，由此关键是明确图表中数据的来源及所表示的意义，依据所示的实际意义获取正确的信息． 【详解】解：（1）2008年总投资的增长率是，与2006年总投资的增长率不持平，错误； （2）2008年园林建设亿，正确； （3）若2009年，2010年总投资增长率都与2007年相同，预计2010年共投资亿元，正确； 所以正确的是（2）（3）共2个． 故选：C． 12. 的外接的半径为，高为，的平分线交于切交的延长线于．结论：①；②；③；④，其中正确（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】①连接并延长交于点，连接，则，，证明，利用相似比证明结论；②连接，由为的切线可知，由垂径定理可知，故结论成立；③连接，证明，利用相似比证明结论；④过M点分别作，，由角平分线的性质得，而，在和中，分别表示，，再求比即可． 【详解】解：①如图1，连接并延长交于点，连接， 为直径，，又， ， ，而， ，①正确； ②如图，连接， 为的切线，为切点， ， 又∵是的平分线， ∴， ∴是的中点， ， ∴，②正确； ③如图2，连接，， ∵，， ，，而， ∴， ∴， ，即，③正确； ④如图2，过点分别作，，垂足为，， ∵是的平分线， ， 又， 在中，， 在中，， ∴，④正确． 综上，①②③④都是正确的， 故选：A． 【点睛】本题考查了切线性质，平行线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，锐角三角函数的定义．关键是通过作辅助线，将问题转化到直角三角形中求解． 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 一组数据2，3，5，6，8，x（其中x最大）的平均数与中位数相等，则x为_____． 【答案】9 【解析】 【分析】首先求得中位数，根据平均数的定义，即可列方程求解． 【详解】解：中位数是：（5+6）＝5.5． 根据题意得：（2+3+5+6+8+x）＝55， 解得：x＝9． 故答案是：9． 【点睛】本题主要考查了中位数有关的训练，准确计算是解题的关键． 14. 如图，依次连接一个边长为1的正方形各边的中点，得到第二个正方形，再依次连接第二个正方形各边的中点，得到第三个正方形，按此方法继续下去，则第个正方形的面积是__． 【答案】 【解析】 【分析】观察可得，后一个正方形的对角线是前一个正方形的边长，根据正方形的面积等于边长的平方，也可以利用对角线乘积的一半求解，所以后一个正方形的面积等于前一个正方形的面积的一半，依此类推即可求解． 【详解】解：第1个正方形的边长是1，所以面积是1， 第2个正方形的对角线是第一个正方形的边长，是1，所以面积是， 第3个正方形的对角线是第2个正方形的边长，所以面积是， 依此类推，后一个正方形的面积是前一个正方形的面积的一半， ∴第个正方形的面积是． 15. 直线y=mx+n和抛物线y=ax2+bx+c在同一坐标系中的位置如图所示，那么不等式mx+n＜ax2+bx+c＜0的解集是_____． 【答案】1＜x＜2． 【解析】 【详解】从图上可知，mx+n＜ax2+bx+c，则有x＞1或x＜﹣； 从图上可知，ax2+bx+c＜0，则有﹣1＜x＜2； 所以，不等式mx+n＜ax2+bx+c＜0的解集是1＜x＜2． 【点睛】此题将图形与不等式相结合，考查了同学们对不等式组的解集的理解和读图能力，有一定的难度，读图时要仔细． 16. 如图，点都在函数（且）图象上，点都在轴上，使得都是等边三角形，且点的坐标为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质以及等边三角形的性质．根据等边三角形的性质得出，，，的长，再利用反比例函数的性质得出即可． 【详解】解：作，轴，，，垂足分别为，，，，假设， ∵、都是等边三角形，且点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 三、解答下列各题（共9小题，共72分） 17. 解方程： 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程．方程两边同时加4，然后利用完全平方公式即可得出，然后开平方即可得出答案． 【详解】解：配方得，即， 开方得， 则，． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，1． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图，，测得，则河宽与有何数量关系？请说明理由． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答本题的关键． 先根据，得出，再由相似三角形的对应边成比例即可得出与的数量关系． 【详解】解：，， ， ， ， ， 即． 20. 桌面上放有4张卡片，正面分别标有数字1，2，3，4，这些卡片除数字外完全相同．把这些卡片反面朝上洗匀后放在桌面上，甲从中任意抽出一张，记下卡片上的数字后仍放反面朝上放回洗匀，乙从中任意抽出一张，记下卡片上的数字，然后将这两数相加． （1）请用列表或画树状图的方法求两数和为5的概率； （2）若甲与乙按上述方式做游戏，当两数之和为5时，甲胜；反之则乙胜；若甲胜一次得12分，那么乙胜一次得多少分，才能使这个游戏对双方公平？ 【答案】（1）详见解析；（2）4分. 【解析】 【分析】（1）根据题意用列表法求出答案； （2）算出甲乙获胜的概率，从而求出乙胜一次的得分. 【详解】（1）列表如下： 由列表可得：P（数字之和为5）＝， （2）因为P（甲胜）＝，P（乙胜）＝，∴甲胜一次得12分，要使这个游戏对双方公平，乙胜一次得分应为：12÷3＝4分. 【点睛】本题考查概率问题中的公平性问题，解决本题的关键是计算出各种情况的概率，然后比较即可. 21. 如图，抛物线向右平移1个单位得到抛物线，回答下列问题： （1）抛物线的顶点坐标__________； （2）阴影部分的面积__________； （3）若再将抛物线绕原点旋转得到抛物线，求抛物线的解析式． 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的移动规律左加右减可直接得出抛物线的解析式，再根据的解析式求出顶点坐标即可； （2）根据平移的性质知，阴影部分的面积等于底高，列式计算即可； （3）先求出二次函数旋转后的开口方向和顶点坐标，从而得出抛物线的解析式． 【小问1详解】 解：解：∵抛物线向右平移1个单位得到的抛物线， ∴抛物线的解析式是，顶点坐标为． 故答案为：； 【小问2详解】 把阴影部分进行平移，可得到阴影部分的面积即为图中两个方格的面积； 故答案为：2； 【小问3详解】 由题意可得：抛物线的顶点与抛物线的顶点关于原成中心对称． 所以抛物线的顶点坐标为，于是可设抛物线的解析式为：． 由对称性或者抛物线开口大小不变方向改变得， 所以． 【点睛】此题考查了二次函数的图像与几何变化，用到的知识点是二次函数的图像和性质、顶点坐标，关键是掌握二次函数的移动规律和几何变换． 22. 如图，点是四边形外接圆的圆心，点在上，点在的延长线上，且，于点，交于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，证即可；可根据圆周角定理、直角三角形及等腰三角形的性质进行证明； （2）可通过解直角三角形求得的长，证明，求得的长，即可得到的直径；过E作的直径，根据圆周角定理，即可将转化到中，先利用勾股定理求得的长，据此求解即可． 【小问1详解】 证明：连接； ∵是的直径， ∴，即； 又∵，且， ∴， 即，而是的半径， 故是的切线； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 设，则， 由勾股定理得：； ∵， ∴， ∴，，； ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过E作直径，连接，则； 在中，，， 由勾股定理得：； ∴； ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质以及解直角三角形等相关知识，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 23. 某超市销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱45元．市场调查发现：若每箱以60元销售，平均每天可销售40箱，价格每降低1元，平均每天多销售20箱，但销售价不能低于48元，设每箱售价元（为正整数） （1）写出平均每天销售利润（元）与（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围； （2）设某天的利润为1400元，此利润是否为一天的最大利润，最大利润是多少？ （3）请分析回答售价在什么范围商家获得的日利润不低于1040元． 【答案】（1）（，且x为整数）； （2）当或54时，一天的最大利润为1440元，1400元不是一天的最大利润； （3）当时，商家获得的日利润不低于1040元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的运用．关键是根据题意列出函数关系式，运用二次函数的性质解决问题． （1）根据利润（每箱售价每箱进价）×销售量，列出函数关系式； （2）用配方法将（1）的函数式变形，利用二次函数的性质求最大利润，并判断； （3）将代入（1）中的函数关系式求x的值，根据二次函数的开口方向求售价的范围． 【小问1详解】 解： （，且x为整数）； 【小问2详解】 解：， ∵，且x为整数， ∴当或54时，一天的最大利润为1440元，1400元不是一天的最大利润； 【小问3详解】 解：当时，， 解得：，， 函数的图象开口向下，与直线的交点为和， 由图象知：当时，商家获得的日利润不低于1040元． 24. 已知，以为边在外作等腰，其中． （1）如图1，以为边也在外作等腰，其中，连接与，交于点．若，则______； （2）如图2，若，是等边三角形，，，求的长； （3）如图3，若为锐角，作于，当时，试判断与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1） （2） （3），见解析 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识， （1）证，得出，再根据三角形外角性质求出； （2）将绕点顺时针旋转得，连接，得到，推出，在中，根据勾股定理求出，即可求出； （3）过点作于，使，连接，，由推出，过点作于，则四边形为矩形，证明，进而证得，由此推出 【小问1详解】 解：， , 又，， ∴ ， ； 【小问2详解】 将绕点顺时针旋转得，连接 由（1）知， ，， 是等边三角形 ， ， 在中， ； 【小问3详解】 证明：过点作于，使，连接， 则 ， 过点作于，则四边形为矩形 ， ， 是垂直平分线， 在和中 ， ∴ ， 即 ，为锐角， ， ， 25. 已知抛物线与轴交于，两点，（在的左侧），与轴交于，若，且． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为，点在抛物线的对称轴上，且，求点的坐标； （3）在抛物线上是否存在一点，过作轴于，以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出所有符合条件的点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在符合条件的点，且坐标为：，，，， 【解析】 【分析】（1）根据，可得，将，的坐标代入抛物线解析式中，即可求得待定系数的值，从而确定抛物线的解析式． （2）根据小得到的抛物线的解析式，可求得点的坐标，分点在轴上方和在轴下方两种情况，根据相似三角形和轴点的坐标特征即可得点的坐标． （3）根据，的坐标，可知进而由相似三角形可得或者，可设出点的横坐标根据抛物线的解析式表示出它的纵坐标，然后表示出，的长，从而得出点的坐标． 【小问1详解】 解：∵且 ∴ ∴将代入抛物线及解析式中， ∴可得： ，解得； ∴ 故答案为：． 【小问2详解】 如图： 解：∵， ∴ ∴ ∴ ∵函数解析式为： ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 当点在轴上方时 ∵ ∴ ∴= ∴= ∴ ∵ ∴ 当点在轴下方时 ∵ ∴点和点关于轴对称 ∴点的坐标为 故答案为：或者． 【小问3详解】 解：∵ ∴ ∵ 若以，，为顶点的三角形与相似 ∴或者 ∴或者 设则 如图： ∵当时 ∴ 若 ∴ 解得 若 ∴ 解得 ∵且 ∴上述四个结果都不符合题意 如图： ∵当时， ∴ 若 ∴ 解得(舍去) 若 ∴ 解得(舍去)(舍去) ∴， 如图 ∵当时， ∴ 若 ∴ 解得（舍去）， 若 ∴ 解得：(舍去)， 故）或者 综上所述符合，存在符合条件的M点，且坐标），， 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数解析式的确定以及相似三角形的判定和性质，要注意的是第二和第三小问需要分类讨论，一定要考虑全面，以免漏解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $