精品解析：陕西省咸阳市秦都区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

秦都区2024~2025学年度第一学期期末教学监测 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写学校、姓名、班级、试场、监测号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．答作图题时，先用铅笔作图，再用规定的签字笔描黑． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 一元二次方程的解为（ ） A. ， B. C. D. ， 2. 砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知菱形的对角线和交于点O，且，，则菱形的边长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 若反比例函数的图象分布在第一、三象限，则k的值可以是（ ） A. 3 B. 1 C. 0 D. 7. 如图，在四边形中，，，连接与交于点O，若，，则四边形的面积为（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 60 8. 已知反比例函数，当时，函数的最大值为，则当时，函数有（ ） A. 最大值 B. 最小值 C. 最小值 D. 最大值 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 夜晚小明在路灯下散步，离路灯越近，他的影子越________（填“长”或“短”）． 10. 若关于的一元二次方程有一个根是，则_________． 11. 如图，已知点、分别是的边、上的点，要使得，可添加的一个条件是________．（只写一个） 12. 如图，已知平行四边形的顶点B、C、D分别在y轴和x轴上，点A在反比例函数的图象上，若，则k的值为__________． 13. 如图，在矩形中，，，点是边上一点，连接，以为边向右作等边，连接，则的最小值为________． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程：． 15. 在一个不透明的布袋中装有6个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小红每次摸出一个球记下颜色后放回并搅匀，通过大量重复试验后发现，摸到黑球的频率稳定在，估计布袋中黑球的个数． 16. 如图，在中，，，，，求的长． 17. 如图，在中，，利用尺规作图法在边上求作一点D，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 18. 如图，在中，，点D是的中点，．过点D作且，连接．求证：四边形是正方形． 19. 每年的12月13日是国家公祭日，某校为了加强学生爱国主义教育，在12月上旬开展了以“以国家之名·祭民族之魂”为主题的作文竞赛，以此来激励学生牢记国耻，勿忘国殇，努力学习，振兴中华．通过评比，九年级有2名女生和2名男生的作文被评为优秀作文，适合在班级中范读． （1）若张老师从这4篇优秀作文中随机选取一篇作文给学生范读，则选中男生的作文的概率为　　　　　； （2）若张老师要从这4篇优秀作文中随机选取两篇作文给学生范读，请你用画树状图（或列表）的方法求恰好选中一名男生和一名女生的作文的概率． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）以原点O为位似中心，在y轴右侧画出，使得点A的对应点为；（点B、C的对应点分别为、） （2）在（1）的条件下直接写出点和的坐标及与的相似比． 21. 某运输公司计划运输一批货物，用表示运输的天数，用表示每天运输的吨数，与之间的关系如表所示： /吨 600 300 150 天 1 2 4 细心的小明发现：每天运输的吨数（吨）与运输的天数（天）成反比例． （1）求出每天运输的吨数与运输的天数之间的函数关系式； （2）若运输公司每天运输200吨，求运输的天数． 22. 咸阳二号桥是西北最大的单塔斜拉式大桥，也是咸阳的标志性建筑之一．某“综合与实践”小组开展测量咸阳二号桥中间单塔高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量报告如下： 课题 咸阳二号桥中间单塔的高度 成员 组长：×××组员：×××，×××，××× 测量工具 皮尺，标杆 测量示意图 说明：在天气晴朗的一天，组员阳阳站在水平地面上的点D处，他的影子顶端恰好与单塔的影子顶端E重合．图中所有的点都在同一平面内，点B、D、E在同一水平线上，且，． 测量数据 阳阳的影子的长 阳阳的身高的长 阳阳到单塔的距离 2m 98m 备注 在测量过程中注意安全 请根据以上测量结果及该小组的思路．求咸阳二号桥中间单塔的高度． 23. 某服装店销售一款大衣，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销量，增加盈利，该服装店采取了降价措施．经过一段时间后，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件大衣． （1）若降价7元，则平均每天销售大衣的数量为________件； （2）为尽快减少库存，要使该服装店每天销售这款大衣的利润为1200元，每件大衣应降价多少元？ 24. 如图，在中，，是的斜边上的中线，过点和点分别作和的平行线交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 25. 如图，点在反比例函数图象上，轴于点C；轴于点． （1）求出反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）在反比例函数图象上是否存在点E，使的面积等于5？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 【问题提出】 （1）如图1，在矩形中，，，点是边上一点，连接，作交于点，若，求的长； 【问题解决】 （2）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图2，矩形是某校的一块劳动实践基地，，，边上的点处有一口灌溉水井，和是两条互相垂直的小路，且，现在沿修了一条延伸至边上的小路（点在上，点在上），发现点到灌溉水井的距离．求灌溉水井到点的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秦都区2024~2025学年度第一学期期末教学监测 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写学校、姓名、班级、试场、监测号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．答作图题时，先用铅笔作图，再用规定的签字笔描黑． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 一元二次方程的解为（ ） A. ， B. C. D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，利用直接开平方法解方程即可，掌握解一元二次方程的解法是解题的关键． 【详解】解： ∴，， 故选：A． 2. 砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：它的俯视图是， 故选：C． 3. 已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的对应角相等得到即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 4. 如图，已知菱形的对角线和交于点O，且，，则菱形的边长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟知菱形的性质是解题的关键． 根据菱形对角线互相垂直平分得到，由此利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵在菱形中，对角线相交于点O，，， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴菱形的边长为5， 故选：B． 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式、一次不等式的解法及一元二次方程的定义．熟练掌握相关知识是解答本题的关键．由于关于的一元二次方程有实数根，计算根的判别式，得关于的不等式，求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， 则且． 解得且． 故选：D． 6. 若反比例函数的图象分布在第一、三象限，则k的值可以是（ ） A. 3 B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质：当时，图象在一、三象限，当时，图象在二、四象限，由此列不等式即可求解． 【详解】解：反比例函数的图象分布在第一、三象限， ， 解得， 又∵， ∴只有选项A符合题意； 故选：A． 7. 如图，在四边形中，，，连接与交于点O，若，，则四边形的面积为（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，得到四边形是矩形是解题的关键． 先证明四边形是矩形，得到，再运用勾股定理即可求解，继而得到矩形的面积． 【详解】解：∵在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴矩形的面积为， 故选：C． 8. 已知反比例函数，当时，函数的最大值为，则当时，函数有（ ） A. 最大值 B. 最小值 C. 最小值 D. 最大值 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据反比例函数中，可知反比例函数的图象在第一、三象限，并且在每个象限内随的增大而减小，又因为当时，有最大值，最大值为，可以求出，得到反比例函数的解析式为，从而可知当时，有最大值，最大值为，当时，有最小值，最小值为． 【详解】解：反比例函数中， 反比例函数的图象在第一、三象限，并且在每个象限内随的增大而减小， 在第一象限， 当时，有最大值，最大值为， ， 解得：， 反比例函数的解析式为， 在第三象限， 当时，有最大值，最大值为， 当时，有最小值，最小值为， 当时，函数有最小值．   故选：B ． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 夜晚小明在路灯下散步，离路灯越近，他的影子越________（填“长”或“短”）． 【答案】短 【解析】 【分析】此题主要考查了中心投影的定义，用到的知识点为：影长是点光源与物高的连线形成的在地面的阴影部分的长度．连接路灯和旗杆的顶端并延长交平面于一点，这点到旗杆的底端的距离是就是旗杆的影长，画出相应图形，比较即可． 【详解】解： 由图易得，那么离路灯越近，它的影子越短， 故答案为：短． 10. 若关于的一元二次方程有一个根是，则_________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出n的值即可得到答案． 【详解】解：将代入方程，得， 解得， 故答案为：2． 11. 如图，已知点、分别是的边、上的点，要使得，可添加的一个条件是________．（只写一个） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，由于和有一个公共角，所以利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似或有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件． 【详解】解：∵， ∴当时，． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 如图，已知平行四边形的顶点B、C、D分别在y轴和x轴上，点A在反比例函数的图象上，若，则k的值为__________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，两直线平行同旁内角互补，求反比例函数解析式，线段的和与差，解一元一次方程等知识点，熟练掌握反比例函数与几何综合是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，进而可得，将其代入即可求出的值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵平行四边形的顶点、、分别在轴和轴上， ∴，， ∴， 把代入，得： ， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，在矩形中，，，点是边上一点，连接，以为边向右作等边，连接，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】以为边向右作等边，连接，利用可证得，于是可得，则点在射线上运动，过B作于，由垂线段最短可知，此时最小，最小值为的长，延长交延长线于F，可得，然后通过解直角三角形即可求出的长． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，，， 如图，以为边向右作等边，连接， 则，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴点N在射线上运动， 如图，过B作于，由垂线段最短可知，此时最小，最小值为的长， 延长交延长线于F， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，同位角相等两直线平行，解直角三角形的相关计算等知识点，得出点的运动路线是解题的关键． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】先计算判别式的值，然后根据求根公式解方程． 【详解】解： ， ， ∴，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣公式法．解题的关键是掌握一元二次方程的求根公式． 15. 在一个不透明的布袋中装有6个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小红每次摸出一个球记下颜色后放回并搅匀，通过大量重复试验后发现，摸到黑球的频率稳定在，估计布袋中黑球的个数． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率；在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解． 【详解】解：设袋中黑球的个数为， 由题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解， ∴估计布袋中黑球的个数为． 16. 如图，在中，，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，代入数值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴. 17. 如图，在中，，利用尺规作图法在边上求作一点D，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 如图所示，点D即为所求． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，相似三角形的判定定理，掌握作角平分线的方法是解题的关键． 【详解】解：作的平分线交于点D，则点D即为所求． 理由：∵平分 ∴ ∵， ∴， 又∵ ∴ 18. 如图，在中，，点D是的中点，．过点D作且，连接．求证：四边形是正方形． 【答案】 证明：∵点D是的中点， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴，则， ∴四边形是矩形． ∵， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定，先证明，，即可得到结论． 【详解】略 19. 每年的12月13日是国家公祭日，某校为了加强学生爱国主义教育，在12月上旬开展了以“以国家之名·祭民族之魂”为主题的作文竞赛，以此来激励学生牢记国耻，勿忘国殇，努力学习，振兴中华．通过评比，九年级有2名女生和2名男生的作文被评为优秀作文，适合在班级中范读． （1）若张老师从这4篇优秀作文中随机选取一篇作文给学生范读，则选中男生的作文的概率为　　　　　； （2）若张老师要从这4篇优秀作文中随机选取两篇作文给学生范读，请你用画树状图（或列表）的方法求恰好选中一名男生和一名女生的作文的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率的定义直接进行计算即可； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好选中一名男生和一名女生的作文的结果有8种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：一共有4名学生，其中女有2名，所以从中随机选中女生的文章的概率为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好选中一名男生和一名女生的作文的结果有8种， ∴恰好选中一名男生和一名女生的作文的概率为． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）以原点O为位似中心，在y轴右侧画出，使得点A的对应点为；（点B、C的对应点分别为、） （2）在（1）的条件下直接写出点和的坐标及与的相似比． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求． （2）点的坐标为，点的坐标为，与的相似比为． 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而画出图形， （2）根据图形得出和的坐标，根据对应点的横（或纵）坐标的绝对值的比即可求出相似比． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图知：点的坐标为，点的坐标为， 与的相似比为． 21. 某运输公司计划运输一批货物，用表示运输的天数，用表示每天运输的吨数，与之间的关系如表所示： /吨 600 300 150 天 1 2 4 细心的小明发现：每天运输的吨数（吨）与运输的天数（天）成反比例． （1）求出每天运输的吨数与运输的天数之间的函数关系式； （2）若运输公司每天运输200吨，求运输的天数． 【答案】（1） （2）3天 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用． （1）根据“每天运输的吨数运数的天数货物总量”写出t与a的关系； （2）将代入t与a的关系，求出对应t的值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 即每天运输的吨数与运输的天数之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得， 即若运输公司每天运输200吨，运输天数为3天． 22. 咸阳二号桥是西北最大的单塔斜拉式大桥，也是咸阳的标志性建筑之一．某“综合与实践”小组开展测量咸阳二号桥中间单塔高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量报告如下： 课题 咸阳二号桥中间单塔的高度 成员 组长：×××组员：×××，×××，××× 测量工具 皮尺，标杆 测量示意图 说明：在天气晴朗的一天，组员阳阳站在水平地面上的点D处，他的影子顶端恰好与单塔的影子顶端E重合．图中所有的点都在同一平面内，点B、D、E在同一水平线上，且，． 测量数据 阳阳的影子的长 阳阳的身高的长 阳阳到单塔的距离 2m 98m 备注 在测量过程中注意安全 请根据以上测量结果及该小组的思路．求咸阳二号桥中间单塔的高度． 【答案】咸阳二号桥中间单塔的高度为 【解析】 【分析】根据垂直定义可得：，然后证明A字模型，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得， 答：咸阳二号桥中间单塔的高度为． 23. 某服装店销售一款大衣，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销量，增加盈利，该服装店采取了降价措施．经过一段时间后，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件大衣． （1）若降价7元，则平均每天销售大衣的数量为________件； （2）为尽快减少库存，要使该服装店每天销售这款大衣的利润为1200元，每件大衣应降价多少元？ 【答案】（1）34 （2）每件大衣应降价20元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数四则运算的实际应用，熟练掌握是解答本题的关键． （1）根据在每天销售20件的基础上销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件进行求解即可； （2）设每件商品应降价元，则每天的销售量为件，再根据总利润单件利润销售量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，若降价7元，则平均每天销售数量为（件）， 故答案为：34； 【小问2详解】 解：设每件大衣应降价元， 由题意得，， 整理，得， 解得，， 要尽快减少库存， ， 答：每件大衣应降价20元． 24. 如图，在中，，是的斜边上的中线，过点和点分别作和的平行线交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵是的斜边上的中线， ∴， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半，菱形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的知识的综合，掌握菱形的判定和性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半等知识，数形结合分析是解题的关键． （1）根据题意得到，四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，结合菱形的判定方法即可求解； （2）过点作于点，得到是等腰直角三角形，运用勾股定理得到，根据四边形是菱形，直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，则，再根据即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作于点， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，则（负值舍去）， ∵四边形是菱形， ∴，则， ∴． 25. 如图，点在反比例函数图象上，轴于点C；轴于点． （1）求出反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）在反比例函数图象上是否存在点E，使的面积等于5？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）存在， 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，求一次函数和反比例函数解析式，割补法求面积等知识．正确求出反比例函数解析式是解题关键． （1）由题意可求出，设反比例函数的表达式为，将代入，即可求出k的值，即得出反比例函数的表达式和点B的坐标； （2）设，则根据，结合三角形面积公式和梯形面积公式，可列出关于 t的方程，求出t的值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，． ∵， ∴， ∴． 设反比例函数的表达式为，把代入可得 ∴反比例函数的表达式为， 把代入中，， ∴； 【小问2详解】 解：设， ∵，， ∴，，，， ∴，，． ∵，且， ∴， 解得：， ∴． 26. 【问题提出】 （1）如图1，在矩形中，，，点是边上一点，连接，作交于点，若，求的长； 【问题解决】 （2）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图2，矩形是某校的一块劳动实践基地，，，边上的点处有一口灌溉水井，和是两条互相垂直的小路，且，现在沿修了一条延伸至边上的小路（点在上，点在上），发现点到灌溉水井的距离．求灌溉水井到点的距离． 【答案】（1）； 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，相似三角形的实际应用，解一元二次方程，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． （1）证明得到，再代入和计算即可； （2）过作于，先得到，得到，，再根据得到，最后根据得到列方程计算即可． 【详解】（1）解：∵矩形中， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，； （2）解：过作于，则， ∵矩形中， ∴， ∵和是两条互相垂直的小路， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设，则， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得， ∴， ∴灌溉水井到点的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $