精品解析：河南省信阳市第七中学2024-2025学年八年级下学期2月学业水平检测数学试卷

2025年2月八年级数学学业水平检测卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列交通标志中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中度数是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，添加哪个条件可以证明的是（ ） A. B. C. D. 以上都不可以 4. 如图，在中，平分，交于点，于点，若，则的长为（ ） A. 1.5 B. 3 C. 4 D. 6 5. 在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在△中，,以点为圆心，长为半径画弧，交于点,连接;则度数为 （ ） A. 50° B. 40° C. 30° D. 20° 7. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 若实数在数轴上的位置如图所示，则代数式的化简结果为（ ） A. B. C. D. 9. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 10. 如图，的顶点，都在坐标轴上，已知，，，且轴，将绕点顺时针旋转，每次旋转，第次旋转后，点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 使式子有意义，则的取值范围为______． 12. 如图，在中，和的平分线交于O点，过点O作的平行线交于M点，交于N点，则的周长为____________． 13. 若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为______． 14. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为____ 15. 如图，在中，，，点在直线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、、，则线段与线段的数量关系是______，的最小值______． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. （1）计算：． （2）因式分解：； （3）因式分解：． （4）解分式方程：． 17. （1）先化简，再求值：，其中． （2）已知，，求 （3）计算：； （4）计算：． 18. 如图，在中，，，． （1）作图：作边的垂直平分线分别交，于点，．（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，求线段的长． 19. 某商店用1500元人民币购进某种水果销售，过了一周时间，又用3400元人民币购进这种水果，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每千克的价格比第一次购进的价格贵了2元． （1）该商店第一次购进这种水果多少千克？ （2）假设该商店两次购进的这种水果按相同的标价销售，最后剩下的20千克按标价的五折优惠销售．若两次购进的这种水果全部售完，利润不低于900元，则每千克这种水果的标价至少是多少元？ 20. 阅读理解题： 已知a=，将其分母有理化． 小明同学是这样解答的： a==． 请你参考小明的化简方法，解决如下问题： （1）计算：； （2）计算：； （3）若a=，求2a2+8a+1的值． 21. 如图，已知中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为，点从点开始沿方向运动，且速度为，它们同时出发，设运动的时间为． （1）出发后，求的长； （2）当点在边上运动时，出发几秒钟，直角三角形？ （3）当点在边上运动时，直接写出能使成为等腰三角形的值______． 22. （1）如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE，连接CE．易求∠DCE＝ °； （2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，点D为BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE，类比题（1），请你猜想：线段BD、CD、DE之间的关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．CE＝10，BC＝6，求AE的长． 23. 下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一角的平分线的讨论片段．请仔细阅读，并完成相应的任务． 小明：如图1，（1）分别在射线，上截取，（点，不重合）；（2）分别作线段，的垂直平分线，，交点为，垂足分别为点，；（3）作射线，射线即为的平分线．简述理由如下： 由作图，，，，所以，则，即射线是的平分线． 小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2．（1）分别在射线，上截取，（点，不重合）；（2）连接，，交点为；（3）作射线，射线即为的平分线． …… 任务： （1）小明得出的依据是 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤． （2）小军作图得到的射线是的平分线吗？请判断并说明理由； （3）如图3，已知，点，分别在射线，上，且．点，分别为射线，上的动点，且，连接，，交点为，当时，直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年2月八年级数学学业水平检测卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列交通标志中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形可得答案． 【详解】解：A.是轴对称图形，故此选项符合题意； B.不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C. 不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D. 不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的外角性质，先根据题意求出，再根据三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】解：如图， 由题意得：， 则， 故选：D． 3. 如图，已知，添加哪个条件可以证明的是（ ） A. B. C. D. 以上都不可以 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理进行逐项分析即可． 【详解】A. ，，，不符合全等三角形的判定，故该选项错误； B. ，，，不符合全等三角形的判定，故该选项错误； C. ，，，符合全等三角形的判定，故该选项正确； 故选：C． 4. 如图，在中，平分，交于点，于点，若，则的长为（ ） A. 1.5 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 根据角平分线的性质得出，根据求出的长． 【详解】解：∵，平分，于点， ∴， ∵， ∴．   故选：B ． 5. 在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．掌握对称点的坐标规律是解决本题的关键． 根据平面直角坐标系中任意一点，关于y轴的对称点的坐标是即可得解答． 【详解】解：点关于轴的对称点的坐标是． 故选：A． 6. 如图，在△中，,以点为圆心，长为半径画弧，交于点,连接;则的度数为 （ ） A. 50° B. 40° C. 30° D. 20° 【答案】D 【解析】 【分析】由作图过程可知BC=BD，根据等边对等角得到∠BCD=∠BDC=70°，则的度数即可求解． 【详解】∵∠A=50°，可得∠B=40°， ∵BC=BD， ∴∠BCD=∠BDC， ∵∠B+∠BCD+∠BDC=180°， ∴∠BCD=70°， ∴∠ACD=90°-70°=20°， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质等内容，解题的关键是通过题目描述，得到BC=BD． 7. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是乘方的含义，幂的乘方运算的含义，先计算括号内的运算，再利用幂的乘方运算法则可得答案． 【详解】解：， 故选D 8. 若实数在数轴上的位置如图所示，则代数式的化简结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴可知，，，，再根据二次根式的性质及绝对值的性质即可解答． 【详解】解：由数轴可知，，，， ∴ ， 故选． 【点睛】本题考查了数轴上点的位置关系，二次根式的性质，绝对值的性质，掌握二次根式的性质及绝对值的性质是解题的关键． 9. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减乘除运算，熟练其运算法则是解决本题的关键． 根据二次根式的加减法对A，B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断，根据二次根式的除法法则对D进行判断即可得出答案． 【详解】解：A．，所以A选项不符合题意； B．，所以B选项符合题意； C．，所以C选项不符合题意； D．，所以D选项不符合题意． 故选：B． 10. 如图，的顶点，都在坐标轴上，已知，，，且轴，将绕点顺时针旋转，每次旋转，第次旋转后，点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，等腰三角形的性质及点的坐标变化规律，全等三角形的判定与性质，先求出点的坐标，再由旋转可知，每旋转四次，点对应点的坐标循环出现，据此可解决问题，熟知图形的性质及根据所给旋转方式发现每旋转四次，点对应点的坐标循环出现是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， 在中，， ∵，且轴， ∴点的坐标为， ∵， ∴每旋转四次，点对应点的坐标循环出现， ∵， ∴点的坐标与点的坐标相同， 将绕点顺时针旋转，如图所示， 分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和，由旋转可知， ，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， 故选：． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 使式子有意义，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数进行求解即可． 详解】解：要使式子有意义，则，即． 故答案为： 12. 如图，在中，和的平分线交于O点，过点O作的平行线交于M点，交于N点，则的周长为____________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，然后利用等量代换可得的周长，从而进行计算即可解答． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴的周长 ， 故答案为：12． 13. 若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了由分式方程的解求参数的取值范围，解分式方程得，由分式方程的最简公分母不为零得，即可求解． 【详解】解：方程两边同时乘以得， ， 解得：， 解为负数， ， 解得：， ， ， ， 解得：， 的取值范围为且， 故答案为：且． 14. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为____ 【答案】3或 【解析】 【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形． 【详解】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况： ①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示． 连结AC， 在Rt△ABC中，AB=3，BC=4， ∴AC==5， ∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处， ∴∠AB′E=∠B=90°， 当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°， ∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处， ∴EB=EB′，AB=AB′=3， ∴CB′=5-3=2， 设BE=x，则EB′=x，CE=4-x， 在Rt△CEB′中， ∵EB′2+CB′2=CE2， ∴x2+22=（4-x）2，解得， ∴BE=； ②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形， ∴BE=AB=3． 综上所述，BE的长为或3． 故答案为：或3． 【点睛】此题考查了折叠和矩形的性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握折叠和矩形的性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质． 15. 如图，在中，，，点在直线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、、，则线段与线段的数量关系是______，的最小值______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】当点在线段上时，点在延线长上两种情况，过点作直线于，过点作，交于点G，证明，得到，再证明，推出，求出，即可得出线段与线段的数量关系；作点关于的对称点，过点作直线，连接，当点，点，点三点共线时，有最小值为的长，证明，推出，，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，当点在线段上时，过点作直线于，过点作，交于点G， 由旋转性质得：， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在延长线上时，如图， 同理，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 作点关于的对称点，过点作直线，连接， ，， ， 点在与直线成的直线上移动， 点与点关于直线对称， ，， ， 当点，点，点三点共线时，有最小值为的长， ，，， ， ，， ， ， 的最小值为． 故答案为：，． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，最短路径问题，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. （1）计算：． （2）因式分解：； （3）因式分解：． （4）解分式方程：． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，因式分解，解分式方程，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）先根据完全平方公式，单项式乘多项式计算，再合并同类项即可； （2）先提公因式，再运用完全平方公式进行分解； （3）运用平方差公式进行因式分解； （4）先去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后进行检验即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） 方程两边同乘，得 ， 解得， 检验：时，， ∴是该分式方程的解． 17. （1）先化简，再求值：，其中． （2）已知，，求 （3）计算：； （4）计算：． 【答案】（1），；（2）5；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，完全平方公式的变形求值，二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）把括号里通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简，再把化简后的x的值代入计算； （2）利用完全平方公式变形求解即可； （3）先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可； （4）先根据乘法公式计算，再算加减． 【详解】解：（1） ， 当时， 原式； （2）∵，， ∴； （3） ； （4） ． 18. 如图，在中，，，． （1）作图：作边的垂直平分线分别交，于点，．（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，求线段的长． 【答案】（1）见详解 （2）线段长 【解析】 【分析】按照垂直平分线的作图方法作图即可， 设，在中应用勾股定理，即可求出的长度， 本题考查了尺规作图中的垂直平分线的作法，垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是：根据勾股定理列方程求解． 【小问1详解】 解：如图，直线即为所求， 【小问2详解】 连接， 是的垂直平分线， ， ，，， ， 设，则， 在中，，即， 解得：， 故答案为：线段长． ， 19. 某商店用1500元人民币购进某种水果销售，过了一周时间，又用3400元人民币购进这种水果，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每千克的价格比第一次购进的价格贵了2元． （1）该商店第一次购进这种水果多少千克？ （2）假设该商店两次购进的这种水果按相同的标价销售，最后剩下的20千克按标价的五折优惠销售．若两次购进的这种水果全部售完，利润不低于900元，则每千克这种水果的标价至少是多少元？ 【答案】（1）该商店第一次购进这种水果100千克；（2）每千克这种水果的标价至少是20元 【解析】 【分析】（1）设该商店第一次购进水果x千克，则第二次购进水果2x千克，然后根据每千克的价格比第一次购进的价格贵了2元，列出方程求解即可； （2）设每千克水果的标价是y元，然后根据两次购进水果全部售完，利润不低于900元列出不等式，然后求解即可得出答案． 【详解】解：（1）设该商店第一次购进水果x千克，则第二次购进水果2x千克， 由题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解， ∴， 答：该商店第一次购进这种水果100千克； （2）由（1）得该商店第二次购进这种水果的数量为：千克； 设每千克水果的标价是y元，由题意得： ， 解得：， 答：每千克这种水果的标价至少是20元． 【点睛】此题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的等量关系与不等关系是解决问题的关键． 20. 阅读理解题： 已知a=，将其分母有理化． 小明同学是这样解答的： a==． 请你参考小明化简方法，解决如下问题： （1）计算：； （2）计算：； （3）若a=，求2a2+8a+1的值． 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）根据小明的解答过程即可进行计算； （2）结合（1）进行分母有理化，再合并即可得结果； （3）根据平方差公式，可分母有理化，根据整体代入，可得答案． 【小问1详解】 解：=； 【小问2详解】 原式=-1+++…+ =； 【小问3详解】 ∵a===， ∴a+2=， ∴（a+2）2=5， 即a2+4a+4=5， ∴a2+4a=1， ∴2a2+8a+1=2（a2+4a）+1=2×1+1=3． 【点睛】本题考查了分母有理化的应用，正确变形和运用整体思想是解此题的关键． 21. 如图，已知中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为，点从点开始沿方向运动，且速度为，它们同时出发，设运动的时间为． （1）出发后，求的长； （2）当点在边上运动时，出发几秒钟，是直角三角形？ （3）当点在边上运动时，直接写出能使成为等腰三角形的的值______． 【答案】（1） （2）秒或秒 （3）或或 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的综合应用，涉及勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，分类讨论的思想.解题的关键在于用时间表示相应的线段以及是否能利用等腰三角形进行分类讨论. （1）根据题意求出和长度，再根据勾股定理即可求出长度； （2）用分别表示出和长度，由是直角三角形，分或，两种情况讨论即可； （3）用表示出长度，分三种情况讨论即可求出答案. 【小问1详解】 解：当时，，. ， ， 如图，在中， 由勾股定理可得，； 【小问2详解】 解：∵中，，，， ∴， 由题意可知当点在边上运动时，，即， 设出发秒，是直角三角形，则或， ∵， ∴， 当时，如图，则， 此时，， ∵， ∴，即， 整理得：， 解得：； 当时，点与点重合， 此时，， 综上，当点在边上运动时，出发秒或秒时，是直角三角形； 【小问3详解】 解：由（2）知， 当点在上运动时， ∵， ∴， ①当时，过作于点， 则， 在中，，可求得. 中，由勾股定理可得，即， 整理得：， 解得：或（舍去）； ②当时， 则， 解得； ③当时，则， ， ， ， ，即， 解得； 综上，当点在边上运动时，使成为等腰三角形的的值为或或. 22. （1）如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE，连接CE．易求∠DCE＝ °； （2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，点D为BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE，类比题（1），请你猜想：线段BD、CD、DE之间的关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．CE＝10，BC＝6，求AE的长． 【答案】（1）120°；（2），理由见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）利用等式的性质判断出∠BAD=∠CAE，进而得出△ABD≌△ACE，即可得出答案； （2）同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE，进而得出BD=CE，∠BCE=90°，即可得出结论； （3）同（2）的方法，即可得出结论． 【详解】（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AB=AC，AD=AE，∠B=∠ACB=∠BAC=∠DAE=60°， ∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠B=∠ACE=60°， ∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=120°， 故答案为：120； （2）DE2=CD2+BD2；理由如下： 在Rt△ABC中，AB=AC， ∴∠B=∠ACB=45°， ∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAD=∠CAE， ∵AD=AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD=CE，∠ACE=∠B=45°， ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°， 根据勾股定理得，DE2=CD2+CE2=CD2+BD2； （3）∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE， 在△ABD与△ACE中， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABC＝∠ACE＝45°，BD＝CE， ∴∠ABC+∠ACB＝∠ACE+∠ACB＝90°， ∴∠BCE＝∠ECD＝90° ∵BC＝6，CE＝10， ∴BD＝CE＝10， ∴CD＝BD﹣BC=10﹣6＝4， ∴Rt△DCE中，DE＝ ∵△ADE是等腰直角三角形， ∴AE＝ 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△ABD≌△ACE是解本题的关键． 23. 下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一角的平分线的讨论片段．请仔细阅读，并完成相应的任务． 小明：如图1，（1）分别在射线，上截取，（点，不重合）；（2）分别作线段，的垂直平分线，，交点为，垂足分别为点，；（3）作射线，射线即为的平分线．简述理由如下： 由作图，，，，所以，则，即射线是的平分线． 小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2．（1）分别在射线，上截取，（点，不重合）；（2）连接，，交点为；（3）作射线，射线即为的平分线． …… 任务： （1）小明得出依据是 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤． （2）小军作图得到的射线是的平分线吗？请判断并说明理由； （3）如图3，已知，点，分别在射线，上，且．点，分别为射线，上的动点，且，连接，，交点为，当时，直接写出线段的长． 【答案】（1）⑤；（2）小军作图得到的射线是的平分线，理由见解析；（3）OC=2或 【解析】 【分析】（1）根据证明三角形全等的HL定理解答即可； （2）根据作图过程可证明△EOD≌△FOC，则有∠OED=∠OFC，进而证明△CEP≌△DFP，可得PE=PF，易证得△EOP≌△FOP，则有∠EOP=∠FOP，即可得出小军作图得到的射线是的平分线； （3）分两种情况进行讨论，①,②；当，作射线OP，易知OP是∠AOB的平分线即∠POE=30°，根据△EOP≌△FOP和可求得∠OEP=45°，过P作PH⊥OA于H，易求得PH=HE=1，OP=2，PE=，证明△OEP∽△PEC，根据相似三角形的性质求得CE的长，进而由OC=OE﹣CE求解即可；当，连接OP，作PM⊥OA，同理可得，，即，OE=OP，，再利用特殊角的三角函数即可求出MP和MO，即可求得答案． 【详解】解：（1）根据小明作图所阐述的理由，他用的是HL定理证明， 故选：⑤； （2）小军作图得到的射线是的平分线，理由为： 在△EOD和△FOC中， ∴△EOD≌△FOC（SAS）， ∴∠OED=∠OFC， ∵OC=OD，OE=OF， ∴CE=DF， 在△CEP和△DFP中， ， ∴△CEP≌△DFP（AAS）， ∴PE=PF， 在△EOP和△FOP， ， ∴△EOP≌△FOP（SSS）， ∴∠EOP=∠FOP， 即射线是的平分线； （3）①当时， 作射线OP，由（2）可知OP是∠AOB的平分线， ∴∠POE=∠AOB=30°， ∵， ∴ ∵△EOP≌△FOP， ∴∠OPE=∠OPF=（360°﹣∠FPE）=105°， ∴∠OEP=180°﹣∠POE﹣∠OPE=45°， 过P作PH⊥OA于H， 则HP=HE， OP=2HP=2HE， ∴ PE=HE， OH==HP=HE， ∵OE=OH+HE=(+1)HE=+1， ∴HE=1， ∴PE=， ∵∠POE=∠CPE=30°，∠OEP=∠PEC， ∴△OEP∽△PEC， ∴即， 解得：CE=， ∴OC=OE﹣CE=2． ②当时， 连接OP，作PM⊥OA，则, 同理得， ∴ ∵ ∴ ∴， 综上所述，OC的长为2或． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$