精品解析：四川省达州市通川区2024～2025学年九年级上学期期末数学试题

2024年秋季期末教学质量检测九年级数学试题 （考试时间：共120分钟；满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 如图所示的机器零件的左视图为（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数：①，②，③，④，y是x的反比例函数的个数有 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 大自然巧夺天工，一片小心树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP >PB），如果AP的长度为8cm，那么AB的长度是（ ） A. -4 B. 12- C. 12+ D. +4 5. 下列命题为假命题的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C. 有一个内角是直角的平行四边形是正方形 D. 有一组邻边相等的矩形是正方形 6. 如图．在平面直角坐标系中，△AOB的面积为，BA垂直x轴于点A，OB与双曲线y＝相交于点C，且BC∶OC＝1∶2，则k的值为（ ） A. ﹣3 B. ﹣ C. 3 D. 7. 在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（ 　 ） A. B. C. D. 8. 国庆期间电影《志愿军：雄兵出击》上映的第一天票房约为2亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数的图象在第一象限的一支曲线上有一点A（a，c），点B（b，c＋1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程ax2＋bx＋c = 0的两根x1，x2判断正确的是（ ） A. x1＋x2 >1，x1·x2 > 0 B. x1＋x2 < 0，x1·x2 > 0 C. 0 < x1＋x2 < 1，x1·x2 > 0 D. x1＋x2与x1·x2 的符号都不确定 10. 如图，在矩形ABCD中，，的平分线交边BC于点E，于点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O，给出下列命题：，，其中正确命题的序号　　 A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 若，则的值是______． 12. 在反比例函数的图象上有三个点，，，则，，的大小关系为________．（用“<”连接） 13. 设函数与的图象的交点坐标为，则的值为__________. 14. 如图所示，已知点，在内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在边上，作出的等边三角形分别是第1个，第2个，第3个…，则第1个等边三角形的边长为______；第2024个等边三角形的边长为_____． 15. 如图，平行四边形的顶点C在x轴的正半轴上，O为坐标原点，以为斜边构造等腰，反比例函数的图象经过点A，交于点E，连接，若，轴，，则m的值为________． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分，解答题应写出必要的步骤、文字说明或证明过程） 16. （1）计算：（﹣）-2﹣（3.14﹣π）0﹣2tan60°+|1﹣2|． （2）解方程：x（x﹣2）+2﹣x＝0． 17. 已知 （1）化简A； （2）若点P（a，b）在反比例函数y＝﹣的图象上，求A的值． 18. 某校九年级三班助农兴趣小组针对本班级同学，就新区草莓节的关注程度进行了调查统计，将调查结果分为不关注，关注，比较关注，非常关注四类（分别用，，，表示），并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图： 根据图表信息，解答下列问题： （1）九年级三班一共____人，其中类所对应的圆心角为_____； （2）九年级一共有名学生，根据上述调查结果，估计九年级学生选择类的有多少人； （3）为了能够更好的宣传新区草莓节，现从非常关注草莓节的甲乙丙丁四名学生中任选两人撰写宣传稿，请用树状图或列表法求恰好选到甲和乙的概率． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，， （1）以原点O为位似中心， 在y轴的右侧画出将放大为原来的2倍得到的，请写出点A的对应点的坐标； （2）画出将向左平移2个单位， 再向上平移1个单位后得到的，写出点B的对应点的坐标； （3）请在图中标出与的位似中心M， 并写出点M的坐标． 20. 如图，在中，平分的垂直平分线分别交于点E，F，G，连接． （1）求证：四边形是菱形： （2）若，求的长． 21. 如图，为了测量山坡的护坡石坝坝顶C与坝脚B之间的距离，把一根长为6米的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿长1米处距离地面的高度为0.6米，又测得石坝与地面的倾斜角为．求石坝坝顶C与坝脚B之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 22. 某商场以每件20元的价格购进种商品，经市场调查发现该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）该商场规定这种商品每件售价不得高于40元，商场要想获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？ 23. 阅读理解： 材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”. 材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx +c= 0(a≠0)的两根分别为，，则有，． 问题解决： （1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ； （2）若，是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根，是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解．求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”； （3）若A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值． 24. 如图1，直线经过点，交反比例函数的图象于点，点为第二象限内反比例函数图象上的一个动点． （1）求反比例函数表达式； （2）过点作轴交直线于点，连接，若的面积是面积的2倍，请求出点坐标． （3）在反比例函数图象上是否存在点，使，若存在，请求出点横坐标，若不存在，请说明理由． 25. 如图，在矩形中，，对角线相交于点O，点P为边上一动点． （1）如图1，当时，求的长； （2）如图2，连接交对角线于点E，作线段的中垂线分别交线段于点N，G，F，M，当时，求； （3）如图3，连接，若以为折痕，将折叠，点A的对应点为点E，线段与相交于点F，当为直角三角形，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季期末教学质量检测九年级数学试题 （考试时间：共120分钟；满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 如图所示的机器零件的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解题的关键． 根据简单几何体三视图的画法，画出它的左视图即可得到答案． 【详解】解：这个几何体的左视图为： 故选：B ． 2. 下列函数：①，②，③，④，y是x的反比例函数的个数有 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数解析式的一般式y＝（k≠0），也可转化为y=kx-1（k≠0）的形式可知． 【详解】①和②是正比例函数；③是反比例函数；④是y是x+1的反比例函数，故此选项错误． 所以y是x的反比例函数的个数有1个． 故选B． 【点睛】考查了反比例函数的定义和方程式的变形，反比例函数解析式的一般形式y＝（k≠0），也可转化为y=kx-1（k≠0）的形式，特别注意不要忽略k≠0这个条件． 3. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可． 【详解】解：， 移项得， 配方得，即， 故选：D． 4. 大自然巧夺天工，一片小心树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP >PB），如果AP的长度为8cm，那么AB的长度是（ ） A. -4 B. 12- C. 12+ D. +4 【答案】D 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义得到AP=AB，然后把AP=8代入后可求出AB的长． 【详解】∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB）， ∴AP=AB， ∴AB=（cm）， 故选：D． 【点睛】本题考查了黄金分割以及分母有理化．把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=AB．并且线段AB的黄金分割点有两个． 5. 下列命题为假命题的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C. 有一个内角是直角的平行四边形是正方形 D. 有一组邻边相等的矩形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形、菱形、正方形判定方法，一一判断即可． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，本选项不符合题意． B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是真命题，本选项不符合题意． C、有一个内角是直角的平行四边形可能是长方形，是假命题，应该是矩形，推不出正方形，本选项符合题意． D、有一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题，本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，矩形、菱形、正方形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的判定方法，属于中考常考题型． 6. 如图．在平面直角坐标系中，△AOB的面积为，BA垂直x轴于点A，OB与双曲线y＝相交于点C，且BC∶OC＝1∶2，则k的值为（ ） A. ﹣3 B. ﹣ C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】过C作CD⊥x轴于D，可得△DOC∽△AOB，根据相似三角形的性质求出S△DOC，由反比例函数系数k的几何意义即可求得k． 【详解】解：过C作CD⊥x轴于D， ∵＝， ∴＝， ∵BA⊥x轴， ∴CD∥AB， ∴△DOC∽△AOB， ∴＝（）2＝（）2＝， ∵S△AOB＝， ∴S△DOC＝S△AOB＝×＝， ∵双曲线y＝在第二象限， ∴k＝﹣2×＝﹣3， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的性质和判定，根据相似三角形的性质和判定求出S△DOC是解决问题的关键． 7. 在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（ 　 ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据k的取值范围，分别讨论和时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案． 【详解】解：①当时，一次函数经过一、三、四象限，反比例函数的（k≠0）的图象经过一、三象限，故B选项的图象符合要求， ②当时，一次函数经过一、二、四象限，反比例函数的（k≠0）的图象经过二、四象限，没有符合条件的选项． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的性质． 一次函数： ①当，时，一次函数经过一、二、三象限； ②当，时，一次函数经过一、三、四象限； ③当，时，一次函数经过一、二、四象限； ④当，时，一次函数经过二、三、四象限； 反比例函数的（k≠0）， ①当时，反比例函数的（k≠0）的图象经过一、三象限； ②当时，反比例函数的（k≠0）的图象经过二、四象限． 8. 国庆期间电影《志愿军：雄兵出击》上映的第一天票房约为2亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设平均每天票房的增长率为x，根据等量关系列出方程即可求解，理清题意，根据等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设平均每天票房的增长率为x，根据题意得： ， 故选：D． 9. 已知函数的图象在第一象限的一支曲线上有一点A（a，c），点B（b，c＋1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程ax2＋bx＋c = 0的两根x1，x2判断正确的是（ ） A. x1＋x2 >1，x1·x2 > 0 B. x1＋x2 < 0，x1·x2 > 0 C. 0 < x1＋x2 < 1，x1·x2 > 0 D. x1＋x2与x1·x2 的符号都不确定 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】∵，且点A（a，c）在第一象限的一支曲线上，点B（b，c＋1）在第二象限的一支曲线上， ∴，且 ∴. 又∵x1，x2是关于一元二次方程ax2＋bx＋c = 0的两根， ∴ ∴. 故选C． 考点：1.反比例函数的性质；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.一元二次方程根与系数的关系；4.分类思想的应用. 10. 如图，在矩形ABCD中，，的平分线交边BC于点E，于点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O，给出下列命题：，，其中正确命题的序号　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】（1）在矩形ABCD中，AD=BC=AB=CD，∠ADC=∠BCD=90°． ∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE=45°． ∵AH⊥DE，∴△ADH是等腰直角三角形，∴AD=AH，∴AH=AB=CD． ∵△DEC是等腰直角三角形，∴DE=CD，∴AD=DE，∴∠AED=67.5°，∴∠AEB=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠AEH=∠AEB，所以（1）结论正确； （2）设DH=1，则AH=DH=1，AD=DE=，∴HE=DE﹣DH=﹣1，∴2HE=2（﹣1）=4﹣2≠1，所以（2）结论不正确； （3）∵∠AEH=67.5°，∴∠EAH=22.5°． ∵DH=CD，∠EDC=45°，∴∠DHC=67.5°，∴∠OHA=180°﹣90°﹣67.5°=22.5°，∴∠OAH=∠OHA=22.5°，∴OA=OH，∴∠AEH=∠OHE=67.5°，∴OH=OE=OA，∴OH=AE，所以（3）正确； （4）∵AH=DH，CD=CE．在△AFH与△CHE中，，∴△AFH≌△CHE，∴AF=EH．在Rt△ABE与Rt△AHE中，，∴△ABE≌△AHE，∴BE=EH，∴BC﹣BF=（BE+CE）﹣（AB﹣AF）=（CD+EH）﹣（CD﹣EH）=2EH，所以（4）不正确． 故选D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点． 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 若，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知可得x=y，然后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：∵2x=y， ∴x=y， ∴===， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 12. 在反比例函数的图象上有三个点，，，则，，的大小关系为________．（用“<”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 根据反比例函数的性质得到反比例函数图象分布在第一、三象限，然后利用得到，． 【详解】解：∵ ， 反比例函数图象在第一、三象限， ∴在每一象限内，随的增大而减小 ， ，， ， 故答案为：． 13. 设函数与的图象的交点坐标为，则的值为__________. 【答案】− 【解析】 【分析】把交点坐标代入2个函数后，得到2个方程，求得a，b的解，整理求得的值即可． 【详解】∵函数与y=x−1的图象的交点坐标为(a，b)， ∴b=，b=a−1， ∴=a−1， a−a−2=0， (a−2)(a+1)=0， 解得a=2或a=−1， ∴b=1或b=−2， ∴的值为−. 故答案为：−. 【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于把交点坐标代入2个函数后，得到2个方程 14. 如图所示，已知点，在内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在边上，作出的等边三角形分别是第1个，第2个，第3个…，则第1个等边三角形的边长为______；第2024个等边三角形的边长为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意，运用解直角三角形的计算可得，则，如图所示，过点作轴于点D，设，则，可证明，得到，得到第一个三角形的边长为，再证，可得第二个三角形的边长为，由此推理，即可求解． 【详解】解：∵点，， ∴， ∴， ∴，则， 如图所示，过点作轴于点D，设，则， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵第一个等边三角形的边长为，第二个等边三角形的边长， ∴第三个等边三角形的边长为， ∴第n个等边三角形的边长为， 当时，第2024个等边三角形的边长为 故答案为：；． 【点睛】本题考查了规律型：点的坐标，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形的运用，图形规律问题，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，找出图形规律是解题的关键． 15. 如图，平行四边形的顶点C在x轴的正半轴上，O为坐标原点，以为斜边构造等腰，反比例函数的图象经过点A，交于点E，连接，若，轴，，则m的值为________． 【答案】27 【解析】 【分析】过点A作于H，过点D作于F，作于G，过点E作于T，由，得，设，即得，再证明四边形是矩形，由是以为斜边的等腰直角三角形，可证明，从而可得，，再证明四边形是矩形，可得，进而可得，解方程即可得答案． 【详解】解：过点A作于H，过点D作于F，作于G，过点E作于T，如图： ∵， ，即， 设， ∵反比例函数的图象经过点A， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵轴，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：27． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上的点与系数的关系，等腰直角三角形性质，全等三角形判定和性质，正方形、矩形的判定和性质，平行四边形性质等知识点熟练掌握和灵活运用相关性质定理、判定定理，合理添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分，解答题应写出必要的步骤、文字说明或证明过程） 16. （1）计算：（﹣）-2﹣（3.14﹣π）0﹣2tan60°+|1﹣2|． （2）解方程：x（x﹣2）+2﹣x＝0． 【答案】（1）2；（2）x1＝2，x2＝1． 【解析】 【分析】（1）根据负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值的意义分别化简，再合并计算即可； （2）将原方程先变形为x（x−2）−（x−2）＝0，然后利用因式分解法即可解此方程． 【详解】解：（1）（﹣）-2﹣（3.14﹣π）0﹣2tan60°+|1﹣2| ＝4−1−2×−（1−2） ＝4−1−2−1＋2 ＝2； （2）x（x﹣2）+2﹣x＝0， 原方程可化为：x（x−2）−（x−2）＝0， 提公因式，得：（x−2）（x−1）＝0， 则x−2＝0或x−1＝0， 解得x1＝2，x2＝1． 【点睛】本题考查了实数的混合运算和解一元二次方程，掌握实数运算的相关运算法则及利用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 17. 已知 （1）化简A； （2）若点P（a，b）在反比例函数y＝﹣的图象上，求A的值． 【答案】（1）ab；（2）A＝﹣2 【解析】 【分析】（1）先把分子、分母因式分解，再约分，然后同分母分式相加，分母不变，分子相加，最后把除法转化乘法，约分即可； （2）把P点代入解析式，求得ab＝﹣2，即可求得A＝﹣2． 【详解】解：（1） ＝ab， （2）∵点P（a，b）在反比例函数的图象上， ∴ab＝﹣2， ∴A＝﹣2． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，分式的运算，把分式化简是解题的关键． 18. 某校九年级三班助农兴趣小组针对本班级同学，就新区草莓节的关注程度进行了调查统计，将调查结果分为不关注，关注，比较关注，非常关注四类（分别用，，，表示），并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图： 根据图表信息，解答下列问题： （1）九年级三班一共____人，其中类所对应的圆心角为_____； （2）九年级一共有名学生，根据上述调查结果，估计九年级学生选择类的有多少人； （3）为了能够更好的宣传新区草莓节，现从非常关注草莓节的甲乙丙丁四名学生中任选两人撰写宣传稿，请用树状图或列表法求恰好选到甲和乙的概率． 【答案】（1），； （2）九年级学生选择类的有人； （3）恰好选中甲、乙两位同学的概率为． 【解析】 【分析】（）根据类别的人数与占比求解调查的人数即可，根据类的人数，进而可求得扇形统计图中类别所对的圆心角； （）根据题意求得类所占的百分比，即可解答； （）用树状图列出所有情况，选择符合条件的即可； 本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解题的关键． 【小问1详解】 解：本次共调查九年级三班一共有学生数为：（人）， 其中类所对应的圆心角为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：九年级学生选择类所占百分比为：， ∴九年级学生选择类的有（人）， 答：九年级学生选择类的有人； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两位同学的结果有种， ∴恰好选中甲、乙两位同学的概率为． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，， （1）以原点O为位似中心， 在y轴的右侧画出将放大为原来的2倍得到的，请写出点A的对应点的坐标； （2）画出将向左平移2个单位， 再向上平移1个单位后得到的，写出点B的对应点的坐标； （3）请在图中标出与的位似中心M， 并写出点M的坐标． 【答案】 （1）如图所示：△OA1B1即为所求，A1（4，2）； （2）如图所示：△O2A2B2即为所求，B2（-1，-1）； （3）位似中心M如图所示，M（﹣4，2）． 【解析】 【分析】（1）利用位似图形的性质得出对应点位置，即可求得A1（4，2）； （2）利用平移变换规律得出对应点位置，即可求得B2（-1，-1）； （3）连接B1B2，OO2，A1A2并延长，它们交于一点，则可判定是位似图形，交点即为位似中心，即可求得M（﹣4，2）． 【详解】略 【点睛】此题主要考查了位似变换以及平移变换，根据图形变换的性质得出对应点坐标是解题关键． 20. 如图，在中，平分的垂直平分线分别交于点E，F，G，连接． （1）求证：四边形是菱形： （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明: 在中，平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）由角平分线的性质和垂直平分线的性质可证，可得，由菱形的判定可证结论； （2）过点D作，由菱形的性质可得，由直角三角形的性质可得，，进而得到即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， 过点 D作 ， ∵四边形是菱形， ∴ ， ∴， 又∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定，平行四边形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练运用菱形的判定和性质是本题的关键． 21. 如图，为了测量山坡的护坡石坝坝顶C与坝脚B之间的距离，把一根长为6米的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿长1米处距离地面的高度为0.6米，又测得石坝与地面的倾斜角为．求石坝坝顶C与坝脚B之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】石坝坝顶C与坝脚B之间的距离为米． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，过点C作交延长线于点F．在中，，在中，，可求出，再解，即可求出 【详解】解：过点C作交延长线于点F． 在中，， 在中，， ， 在中，， ， 答：石坝坝顶C与坝脚B之间的距离为米． 22. 某商场以每件20元的价格购进种商品，经市场调查发现该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）该商场规定这种商品每件售价不得高于40元，商场要想获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、一元二次方程的实际应用，注意计算的准确性是解题关键． （1）设与之间的函数关系式为：，将点，代入即可求解； （2）根据题意得到，然后解方程求解即可． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为：， 将点，代入得：， 解得：， ∴与之间的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得，， 解得：，， ∵商场规定这种商品每件售价不得高于元， ∴， ∴商品要想获得元的利润，每件商品的售价应定为元． 23. 阅读理解： 材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”. 材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx +c= 0(a≠0)的两根分别为，，则有，． 问题解决： （1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ； （2）若，是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根，是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解．求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”； （3）若A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值． 【答案】（1），2，3（答案不唯一）；（2）见解析；（3）m=﹣4或﹣2或2． 【解析】 【分析】（1）根据“和谐三数组”的定义可以先写出后2个数，取倒数求和后即可写出第一个数，进而可得答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求出，然后再求出，只要满足=即可； （3）先求出三点的纵坐标y1，y2，y3，然后由“和谐三数组”可得y1，y2，y3之间的关系，进而可得关于m的方程，解方程即得结果． 【详解】解：（1）∵， ∴，2，3是“和谐三数组”； 故答案为：，2，3（答案不唯一）； （2）证明：∵，是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根， ∴，， ∴， ∵是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解， ∴，∴， ∴=， ∴x1 ，x2，x3可以构成“和谐三数组”； （3）∵A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数的图象上， ∴，，， ∵三点的纵坐标y1，y2，y3恰好构成“和谐三数组”， ∴或或， 即或或， 解得：m=﹣4或﹣2或2． 【点睛】本题是新定义试题，主要考查了一元二次方程根与系数的关系、反比例函数图象上点的坐标特征和对新知“和谐三数组”的理解与运用，正确理解题意、熟练掌握一元二次方程根与系数的关系与反比例函数的图象与性质是解题的关键． 24. 如图1，直线经过点，交反比例函数的图象于点，点为第二象限内反比例函数图象上的一个动点． （1）求反比例函数表达式； （2）过点作轴交直线于点，连接，若的面积是面积的2倍，请求出点坐标． （3）在反比例函数图象上是否存在点，使，若存在，请求出点横坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）点坐标为或 （3）存在，的横坐标为 【解析】 【分析】（1）本题将点代入求得的值，得到直线的解析式，将代入直线的解析式，算出的值，得到的坐标，将的坐标代入反比例函数中求解，即可解题． （2）本题根据点为第二象限内反比例函数图象上的一个动点，过点作轴交直线于点，分以下两种情况讨论，①当点在下方时，②当点在上方时，根据以上两种情况，结合“若的面积是面积的2倍”分析得到点纵坐标，将点纵坐标代入反比例函数解析式求解，即可解题． （3）本课过点作垂直交延长线于点过点作轴，，，利用等腰直角三角形性质证明，根据全等三角形性质得到点坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，联立直线的解析式和反比例函数解析式求解，即可解题． 【小问1详解】 解：过点， ， ， ， 点在上， ，即， ， ； 【小问2详解】 解：①当点在下方时， ， ， 作轴，轴， ， ， ， ， 把代入中， ； ②当点在上方时， ， ， 为中点， ，， ， 把代入中， ； 综上所述：点坐标为或． 【小问3详解】 解：过点作垂直交延长线于点过点作轴，，， ，， 三角形为等腰直角三角形， 在和中， ， 所以，， ， 设直线的解析式为， 过，， ，解得， 直线的解析式为， ， 整理得，解得，（不合题意，舍去）， ， 的横坐标为． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的几何综合、用待定系数法求函数解析式、坐标与图形、等腰三角形性质、全等三角形的性质和判定、熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题． 25. 如图，在矩形中，，对角线相交于点O，点P为边上一动点． （1）如图1，当时，求的长； （2）如图2，连接交对角线于点E，作线段的中垂线分别交线段于点N，G，F，M，当时，求； （3）如图3，连接，若以为折痕，将折叠，点A的对应点为点E，线段与相交于点F，当为直角三角形，求的长． 【答案】（1） （2） （3）或1 【解析】 【分析】（1）由勾股定理求出，根据锐角三角函数的定义求出DE和PE的长，求出，进一步求得，利用勾股定理即可得解； （2）利用勾股定理求出，证明，推出，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题； （3）分两种情况讨论，当时，过点O作于H，由平行线分线段成比例可得，由折叠的性质可得，可求，可得；当时，由勾股定理和矩形的性质可得，通过证明，可得，可求的长，通过证明，可得，可求． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 如图3.1，当时，过点O作于H， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将折叠，点A的对应点为点E，线段与相交于点F， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 当时，如图3.2， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵将折叠，点A的对应点为点E，线段与相交于点F， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或1 【点睛】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，翻折变换，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，利用分类讨论思想解决问题是解答本题的关键 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $