精品解析： 广东省揭阳市普宁市2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年广东省揭阳市普宁市九年级（上）期末数学试卷 一.选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，只有一个正确选项，请将正确答案写在答题卡的相应位置.） 1. 一个几何体的部分视图如图，则该几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查三视图的识别和判断，解题关键是掌握常见空间几何体的三视图．由空间几何体的三视图可以得到空间几何体的直观图． 【详解】解：由三视图可知，该组合体的上部分为圆台，下部分为圆柱， 故选：D． 2. 解这个方程最简单的方法是（　　） A. 公式法 B. 因式分解法 C. 配方法 D. 直接开平方法 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有4种，即直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 方程的前后两项都含有因式，故可用因式分解法分解因式． 【详解】解：解这个方程最简单的方法是因式分解法． A、正确，但不符合题意； B、正确，也符合题意； C、正确，但不符合题意； D、正确，但不符合题意． 故选：B． 3. 已知，则的值是（　　） A. B. 5 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，灵活运用比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题关键．先利用内项之积等于外项之积得到，然后把代入代数式中进行分式的计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 4. 如图，菱形ABCD的周长为28，对角线AC，BD交于点O，E为AD的中点，则OE的长等于（　　） A. 2 B. 3.5 C. 7 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形的周长可求得AB的长，再利用三角形中位线定理可求得答案0 【详解】∵四边形ABCD为菱形，∴AB28=7，且O为BD的中点． ∵E为AD的中点，∴OE为△ABD的中位线，∴OEAB=3.5． 故选B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，由条件确定出OE为△ABD的中位线是解题的关键． 5. 计算的值等于（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角函数的混合运算，先代入特殊角的三角函数值，然后在乘法，最后算加法即可． 详解】解： ， 故选：C． 6. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，的面积为2，则的面积为（　　） A. 32 B. 18 C. 6 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换，熟练掌握位似的性质、相似三角形的性质是解答本题的关键．由题意得，则与的相似比为，，可得与的面积比为，进而可得答案． 【详解】解：， ， 与的相似比为， 与的面积比为， 的面积为2， 的面积为， 故选：． 7. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟知菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定条件是解题的关键．根据菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，逐项判断即可． 【详解】解：A．有一个角是直角的平行四边形是矩形，则（1）处可填，原说法正确，不符合题意； B．有一组邻边相等的矩形是正方形，则（2）处可填，原说法正确，不符合题意； C．菱形的对边本身相等，（3）处填不能得到四边形是正方形，原说法错误，符合题意； D．有一个角是直角的菱形是矩形，则（4）处可填，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 8. 数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个白球、3个红球、2个黄球和1个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（ ） A. 黑球 B. 红球 C. 黄球 D. 白球 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，由频率估计概率，掌握大量反复试验下频率的稳定值即为概率是解题关键，先求出四种颜色球出现的概率，再根据频率估计出概率，即可求解． 【详解】解：由题意可知，袋子上中有个球，则白球出现的概率为，红球出现的概率为，黄球出现的概率为，黑球出现的概率为， 试验中该颜色的球出现的频率稳定在左右， 该种球的颜色最有可能是黄色， 故选：C． 9. 在△ABC与中，有下列条件：①；②③∠A＝∠；④∠C＝∠.如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△的共有（ ）组. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】③④组合，根据两角对应相等，两三角形相似；②④组合，根据两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似；①②组合，根据三边对应成比例，两三角形相似.故选C 10. 根据图①所示的程序，得到了y与x的函数图象，如图②．若点M是y轴正半轴上任意一点，过点M作平行x轴交图象于点P，Q，连接，则以下结论：①时，；②的面积为定值；③时，y随x的增大而增大；④；⑤存在．其中正确结论是（　　） A. ②④⑤ B. ①②⑤ C. ③④⑤ D. ②③⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与几何综合．根据图①所示的程序得，当时，，当时，，可判断结论①错误；设，，则，，，可判断结论②正确；时，，y随x的增大而减小，可判断结论③错误；根据，可判断结论④正确；设，根据有实数解，可判断结论⑤正确． 【详解】解：根据图①所示的程序得，当时，，当时，， 故①结论错误； 设，， 则，， ∴， 故②结论正确； 时，，y随x的增大而减小， 故③结论错误； ，， ∴， ∴， 故④结论正确； 设， ∴，， ∴， ∴，， 令，得：， 即， 有实数解， ∴存在． 故⑤结论正确； ∴正确结论是②④⑤． 故选A． 二.填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.请将下列各题的正确答案写在答题卡的相应位置.） 11. 如图，同一时刻在阳光照射下，树的影子，小明的影子，已知小明的身高，则树高 ________m． 【答案】5.1 【解析】 【详解】本题主要考查了相似三角形的应用，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 在同一时刻物高和影长对应成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似． 解：设树高是x米，则， 解得：， ∴树高为， 故答案为：5.1． 12. 研究发现，近视镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，小明佩戴的400度近视镜片的焦距为0.25米，经过一段时间的矫正治疗加之注意用眼健康，现在镜片焦距为0.4米，则小明的近视镜度数可以调整为______度． 【答案】250 【解析】 【分析】先求出反比例函数解析式，再把代入计算即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 把，代入得 ， ∴， 当时， ． 故答案为：250． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，求出函数解析式是解答本题的关键． 13. 顶角为的等腰三角形，其底边长与腰长的比为，通常称它为“黄金三角形”，利用“黄金三角形”可以计算 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 过点A作，垂足为D，先利用等腰三角形的三线合一性质可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图：过点A作，垂足为D， ∵，， ∴，， 在中，， ， 故答案为：． 14. 如图，某小区有一块长为15米，宽为10米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．设人行通道的宽度为x米，则所列方程是____________________________________． 【答案】 【解析】 【分析】设人行通道的宽度为x米，利用“平移法”将两块矩形绿地合在一起，则长为，宽为，即可列出方程．审清题意，根据面积正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：若设人行通道的宽度为x米，将两块矩形绿地合在一起长为，宽为，由已知得：． 故答案为： 15. 如图，在中，，以其三边为边在的同侧作三个正方形，点在上，与交于点，与交于点，若，则的值是 ___________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．设，正方形的边长为，证明，先后求得，，，利用三角形面积公式求得，证明，求得，，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，且， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 同理，即， ∴， 同理， ∴， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三.解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分.） 16. 设一元二次方程，在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程． ①，； ②，； ③，； ④，． 【答案】答案不唯一，见解析 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和公式法解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键，先根据这个方程有两个不相等的实数根，得，由此可知b、c的值可在②③中选取，然后求解． 【详解】解：∵使这个方程有两个不相等的实数根， ∴，即， ∴②③均可，①④不满足题意； 选②解方程，则这个方程为：， ， ∴， ∴，； 选③解方程，则这个方程为：， ， ∴， ∴，． 17. 如图，在中，点D是上一点，且，，．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，先证明，再结合公共角可得结论，熟记相似三角形的判定方法是解本题的关键． 【详解】证明：∵，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 18. 如图是某教室里日光灯的四个控制开关（分别记为A、B、C、D），每个开关分别控制一排日光灯（开关序号与日光灯的排数序号不一定一致）．某天上课时，王老师在完全不知道哪个开关对应控制哪排日光灯的情况下先后随机按下两个开关． （1）王老师按下第一个开关恰好能打开第一排日光灯的概率是　 ； （2）王老师按下两个开关恰好能打开第一排与第三排日光灯的概率是多少？请用列表法或画树状图法加以分析． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）用列表法或树状图列举所有可能，再利用概率公式解答即可． 【详解】（1）由题意得：王老师按下第一个开关恰好能打开第一排日光灯的概率为， 故答案为：； （2）画出树状图如下： 所有出现的等可能性结果有12种，其中满足条件的结果有2种，则两个开关恰好能打开第一排与第三排日光灯的概率是． 【点睛】本题考查了求概率，较复杂的可以用列表法或树状图法，关键是求得所有可能的结果数及事件发生的结果数，后者与前者的比便是所求的概率． 四.解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. 要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜面的坡度为，一楼到地下停车场地面的垂直高度米，一楼到地平线的距离米． （1）求斜面的长度？（结果保留整数） （2）如果送货的货车高度为2.8米，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？并说明理由．（参考数据：） 【答案】（1）704米 （2）能进入地下停车场；见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得（米），然后在中，坡比的定义以及勾股定理，即可求得的长； （2）首先过作，垂足为，在中，由坡角的定义即可得的长，继而求得答案． 【小问1详解】 斜坡的坡度为， ， （米）， 在中，（米）， 故（米）， 答：斜面的长度应约为7.04米． 【小问2详解】 过作，垂足为， ， ， ， ， 设米，则米， 在中， ， 解得：， 则， ， 货车能进入地下停车场． 【点睛】此题考查了坡度坡角问题，解题的关键是根据题意构造直角三角形，并能借助于解直角三角形的知识求解． 20. 如图在四边形中，，，过点A作，垂足为E，连接，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点D作的垂线，分别交于点F、G，若，，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明是平行四边形，再证明，然后根据菱形的判定可得结论； （2）先利用菱形的性质得到，，然后根据平行线的性质和勾股定理，结合三角形的等面积法分别求得、、即可求解． 【小问1详解】 证明：∵在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、角平分线的定义、平行线的性质、勾股定理以及三角形的面积等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解答的关键． 21. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，该市市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1800元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低60元．但最低售价不得少于1200元．已知市政府向该公司支付货款22.5万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】（1）该市参加健身运动人数的年均增长率为25% （2）购买的这种健身器材的套数为150套 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为m套，根据市政府向该公司支付货款22.5万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； 【小问2详解】 解：设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得： 整理得：， 解得：， 最低售价不得少于1200元， 解得：， 答：购买的这种健身器材的套数为150套． 五.解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．） 22. 【综合实践】 如图1所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔的启发，小杰组装了如图2所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体A．（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，如图2，即） … b … … 8 a 2 … （1）若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为 N； （2）为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的质量变化时，的长度随之变化．设重物B的质量为，的长度为．则： ①y关于x的函数关系式是 ． ②完成表格： ； ． ③借助表格，在图3的直角坐标系中画出该函数的图象． （3）在（2）的条件下，若点A的坐标为，点B的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点C，使得，请求出点C的坐标． 【答案】（1） （2）①；②4；；③见解析 （3）点C的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据公式进行计算即可； （2）①根据公式即可得到；②根据①求出a、b的值即可；③先描点，再连线，画出函数图像即可； （3）设，连接，，，根据三角形的面积求出a的值． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴重物B所受拉力为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①∵， ∴，即， 故答案为：； ②由①得，， 填表如下： … … … 8 4 2 … 故答案为：4，； ③函数图象如下所示： ； 【小问3详解】 解：点A的坐标为，B的坐标为，C为反比例函数上一点， 设，连接，，， ∴ ， ∵， ∴， 整理得：， 解得，， 经检验，或是原方程的根， ∴时；时，， ∴点C的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，反比例函数的性质和图像，正确理解题意是解题的关键． 23. 如图，在矩形中，点O为对角线中点，点E为边上一点，连接并延长交于点F；四边形与关于所在直线对称，射线分别与线段、射线交于G、H两点． （1）求证：； （2）已知，； ①当点H在线段上时，求的值； ②当为等腰三角形时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）根据矩形性质可得，推出，根据对称的性质可得，推出，即可证明； （2）由点O为中点，可得，设，，则，，证明，得到： ①证明，得到，设，，则，，即可求解； ②分两种情况讨论：当时，过点H作于T，当时，过点H作于R，根据矩形的判定与性质和勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形时矩形， ∴， ∴， 由对称性质得：， ∴， ∴； 小问2详解】 解：∵点O为中点，， ∴， ∵， ∴设，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ①∵， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵， ∴， ∴， 由1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当为等腰三角形时， 由①知，，， ∴， 分以下三种情况讨论： 当时，如图1，过点H作于T， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，即， ∴， ∴， 在中，； 当时，如图2，过点H作于R， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴，即， 解得：，，不合题意，舍去， ∴此种情况不成立； 当，且H在延长线上时，如图3，过H作交延长线于点K， 有得， ， 解得（舍去），， 此时； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，对称的性质，解题的关键是灵活运用相关知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年广东省揭阳市普宁市九年级（上）期末数学试卷 一.选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，只有一个正确选项，请将正确答案写在答题卡的相应位置.） 1. 一个几何体的部分视图如图，则该几何体是（ ） A. B. C. D. 2. 解这个方程最简单的方法是（　　） A. 公式法 B. 因式分解法 C. 配方法 D. 直接开平方法 3. 已知，则的值是（　　） A. B. 5 C. D. 4 4. 如图，菱形ABCD的周长为28，对角线AC，BD交于点O，E为AD的中点，则OE的长等于（　　） A. 2 B. 3.5 C. 7 D. 14 5. 计算的值等于（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，的面积为2，则的面积为（　　） A. 32 B. 18 C. 6 D. 4 7. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 8. 数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个白球、3个红球、2个黄球和1个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（ ） A. 黑球 B. 红球 C. 黄球 D. 白球 9. 在△ABC与中，有下列条件：①；②③∠A＝∠；④∠C＝∠.如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△的共有（ ）组. A 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 根据图①所示的程序，得到了y与x的函数图象，如图②．若点M是y轴正半轴上任意一点，过点M作平行x轴交图象于点P，Q，连接，则以下结论：①时，；②的面积为定值；③时，y随x的增大而增大；④；⑤存在．其中正确结论是（　　） A. ②④⑤ B. ①②⑤ C. ③④⑤ D. ②③⑤ 二.填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.请将下列各题的正确答案写在答题卡的相应位置.） 11. 如图，同一时刻在阳光照射下，树的影子，小明的影子，已知小明的身高，则树高 ________m． 12. 研究发现，近视镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，小明佩戴的400度近视镜片的焦距为0.25米，经过一段时间的矫正治疗加之注意用眼健康，现在镜片焦距为0.4米，则小明的近视镜度数可以调整为______度． 13. 顶角为的等腰三角形，其底边长与腰长的比为，通常称它为“黄金三角形”，利用“黄金三角形”可以计算 ____________________． 14. 如图，某小区有一块长为15米，宽为10米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．设人行通道的宽度为x米，则所列方程是____________________________________． 15. 如图，在中，，以其三边为边在同侧作三个正方形，点在上，与交于点，与交于点，若，则的值是 ___________________． 三.解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分.） 16. 设一元二次方程，在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程． ①，； ②，； ③，； ④，． 17. 如图，在中，点D是上一点，且，，．求证：． 18. 如图是某教室里日光灯的四个控制开关（分别记为A、B、C、D），每个开关分别控制一排日光灯（开关序号与日光灯的排数序号不一定一致）．某天上课时，王老师在完全不知道哪个开关对应控制哪排日光灯的情况下先后随机按下两个开关． （1）王老师按下第一个开关恰好能打开第一排日光灯的概率是　 ； （2）王老师按下两个开关恰好能打开第一排与第三排日光灯的概率是多少？请用列表法或画树状图法加以分析． 四.解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. 要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜面的坡度为，一楼到地下停车场地面的垂直高度米，一楼到地平线的距离米． （1）求斜面的长度？（结果保留整数） （2）如果送货的货车高度为2.8米，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？并说明理由．（参考数据：） 20. 如图在四边形中，，，过点A作，垂足为E，连接，平分． （1）求证：四边形菱形； （2）过点D作的垂线，分别交于点F、G，若，，求菱形的面积． 21. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，该市市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1800元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低60元．但最低售价不得少于1200元．已知市政府向该公司支付货款22.5万元，求购买的这种健身器材的套数． 五.解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．） 22. 【综合实践】 如图1所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔的启发，小杰组装了如图2所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体A．（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，如图2，即） … b … … 8 a 2 … （1）若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为 N； （2）为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的质量变化时，的长度随之变化．设重物B的质量为，的长度为．则： ①y关于x的函数关系式是 ． ②完成表格： ； ． ③借助表格，在图3直角坐标系中画出该函数的图象． （3）在（2）的条件下，若点A的坐标为，点B的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点C，使得，请求出点C的坐标． 23. 如图，在矩形中，点O为对角线中点，点E为边上一点，连接并延长交于点F；四边形与关于所在直线对称，射线分别与线段、射线交于G、H两点． （1）求证：； （2）已知，； ①当点H在线段上时，求的值； ②当为等腰三角形时，求长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$