精品解析：河北省唐山市迁安市2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年第一学期期末学业水平抽样评估 九年级数学试卷 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上． 3．考生务必用黑色碳素笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列是二次函数图象的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件属于随机事件的是（ ） A. 任意写一个偶数，一定能被2整除 B. 写出任意一个正数，它大于负数 C. 投掷一枚均匀的硬币，正面朝上 D. 画一个三角形，它的内角和是 3. 一组数据4，6，6，8，若增加一个数据6，则发生变化的统计量为（　　） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 4. 已知的半径为，点与点的距离是2，则符合要求的图形可以是（ ） A. B. C. D. 5. 已知、是方程的两个根，点在反比例函数的图像上，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 6. 为研究黄帝文化，某数学小组来到黄台山公园，设计用手电筒来测量轩辕阁的高度，如图，点处放一水平的平面镜．光线从点出发经平面镜反射后刚好射到轩辕阁顶端处，已知，，测得米，米，米，那么轩辕阁的高度约为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 如图，二次函数在时函数有最大值2，下面的结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形内接于，，连接，点是半径上任意一点，连接，，则的度数不可能为（ ） A. B. C. D. 9. 已知是的二次函数，下表给出了与的几组数值，观察表格正确的结论是（ ） … 0 1 2 3 … … 0 … A. 当时， B. 抛物线开口向下 C. 抛物线的对称轴是 D. 随的增大而增大 10. 如图，为了美化校园环境，学校计划在草坪中央修建一个直径为米的圆形喷水池，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈抛物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，则要修建的高度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 11. 如图，、、、、、、均在方格纸的格点上，将点与、、、中一点连接，交线段于点，若使点能够把线段分成两部分，则这个点可以是（ ） A. D B. E C. F D. G 12. 在一次数学实践活动课上，嘉淇同学在图形上，按下列步骤进行画图： 第一步：将三角板的直角顶点放在圆上任意一点（与点不重合）处，使三角板直角边经过点，另一直角边与圆交于点，连结，如图； 第二步：如图，转动该三角板使其直角顶点与重合，另一直角边经过点，画出另一直角边所在的直线； 嘉淇得到下面两个结论：①线段是圆的直径； ②直线与圆相切． 下列说法正确的是（ ） A. ①正确②不正确 B. ①不正确②正确 C. ①②都正确 D. ①②都不正确 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，16题第一空2分，第二空1分，共12分）． 13. 在三个数中，随机取一个数作为函数中的值，使该二次函数图像开口向下的概率为_____． 14. 线段，线段，则线段的比例中项是________． 15. 如图，如果与成反比例关系，那么表格中“？”处应填_____． 10 ？ 2 5 16. 如图，正边形的两条对角线、的延长线交于点，若． （1）连接，则与的位置关系是_____； （2）的值是_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 下图是嘉淇同学用配方法推导一元二次方程（且）的求根公式的过程． ………………第一步 ………………第二步 ………………第三步 第四步 （1）嘉淇的解法从第_____步开始出现错误； 事实上，当时，方程的求根公式是_____； （2）用配方法解方程：． 18. 如图1，火力发电厂的大烟囱专业名字叫双曲线冷却塔，从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它上、下底面均为圆形，纵截面是如图2所示的轴对称图形，是一个矩形，若以地面上所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，、分别是两个反比例函数图象的一部分经过测量可知：，， （1）直接写出点的坐标_____； （2）求出这一部分反比例函数的解析式； （3）经过测量冷却塔顶部点距离地面，求上底面圆形的直径多少米． 19. 【发现问题】某学习小组发现：三角形一个角的平分线截第三边形成的两条线段的比等于这个三角形中对应的两边之比． 如图1，在中，平分，则． 【猜想验证】下面是“发现问题”的不完整的证明过程． 证明：如图2，过点作，交的延长线于点，……请按照上面的证明思路，补全证明过程； 【拓展应用】如图3，已知中，，，平分，则_____． 20. （某市体育中考分必考项目和自选项目．其中必考项目是长跑和跳绳；自选项目有足球、篮球和排球．每个考生除必考项目外，任选一项自选项目．考生嘉嘉和琪琪的体育中考各项成绩如下表： 考生 自选项目 长跑 跳绳 嘉嘉 90分 95分 95分 琪琪 95分 92分 93分 （1）嘉嘉同学三项成绩的众数为_____分，琪琪同学三项成绩的中位数为_____分； （2）如果体育中考按自选项目占30%、长跑占50%、跳绳占20%计算中考体育综合成绩，通过计算说明嘉嘉和琪琪体育综合成绩谁的更高； （3）补全树状图，并求出考生嘉嘉和琪琪自选项目不同的概率． 21. 某校为进一步提升学生身体素质，购进一批新篮球架（如图1）．其示意图如图2所示，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筐与支架在同一直线上，，，，． （1）求的度数； （2）某运动员在一次训练时，身体完全展开，此时他的手离地面的最大高度是3米，那么这次他可以摸到篮筐吗？请通过计算说明理由．（参考数据：，，） 22. 扇子作为中国传统文化的一部分，承载了丰富哲学和审美观念（如图1）．现有两把图案完全相同，但大小不同的扇子，两把扇子完全展开后圆心角都是，大扇子的半径，小扇子的半径．两把扇子完全打开后，从重合的位置开始（如图2），让大扇子保持不动，小扇子绕点顺时针旋转． （1）如图3，连结．若与小扇子相切于点． ①求的长； ②求大扇子和小扇子的重合部分面积； （2）小扇子绕点顺时针旋转的过程中，当面积最大时．直接写出点绕过的路程_____． 23. 如图，在等腰三角形中，，，有两动点、分别在边、上运动，点从点出发以每秒1个单位长度的速度向终点运动，点从点出发以每秒2个单位长度的速度向终点运动，两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． 请解答下列问题： （1）_____； （2）当为何值时，以点、、为顶点的三角形与相似； （3）点、在运动过程中，是否存在这样的值，使得外心在它的一边上，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 24. 如图，已知点，，抛物线直线． （1）如果抛物线经过点，_____； （2）如果抛物线的最高点正好落在直线上，求抛物线的解析式及顶点坐标； （3）嘉琪说：无论为何值，函数的最大值都是2．请你判断嘉琪的说法是否正确，并说明理由； （4）当抛物线与线段有公共点时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期末学业水平抽样评估 九年级数学试卷 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上． 3．考生务必用黑色碳素笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列是二次函数图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象，根据二次函数的图象是抛物线解答即可． 【详解】解：A．该图象是反比例函数图象； B．该图象是二次函数图象； C．该图象不是函数图象； D．该图象是一次函数图象； 故选B． 2. 下列事件属于随机事件的是（ ） A. 任意写一个偶数，一定能被2整除 B. 写出任意一个正数，它大于负数 C. 投掷一枚均匀的硬币，正面朝上 D. 画一个三角形，它的内角和是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．必然事件和不可能事件统称为确定事件． 【详解】解：A．任意写一个偶数，一定能被2整除是确定事件； B．写出任意一个正数，它大于负数是确定事件； C．投掷一枚均匀的硬币，正面朝上是随机事件； D．画一个三角形，它的内角和是是确定事件； 故选C． 3. 一组数据4，6，6，8，若增加一个数据6，则发生变化的统计量为（　　） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 【答案】C 【解析】 【详解】依据平均数、中位数、众数、众数的定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、方差、众数求解即可． 解：原数据的4，6，6，8的平均数为＝6，中位数为6，方差为×[（4﹣6）2+（6﹣6）2×2+（8﹣6）2]＝2，，众数为6； 新数据4，6，6，6，8的平均数为＝6，中位数为6，方差为×[（4﹣6）2+（6﹣6）2×3+（8﹣6）2]＝1.6，众数为6； ∴添加一个数据6，方差发生变化， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键． 4. 已知的半径为，点与点的距离是2，则符合要求的图形可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系判断即可． 【详解】解：∵的半径为，点与点的距离是2，， ∴点B在内部， 故选：A． 5. 已知、是方程的两个根，点在反比例函数的图像上，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数（k为常数，）的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即．也考查了一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系得到，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求解． 【详解】解：∵、是方程的两个根， ∴． ∵点在反比例函数的图像上， ∴． 故选B． 6. 为研究黄帝文化，某数学小组来到黄台山公园，设计用手电筒来测量轩辕阁的高度，如图，点处放一水平的平面镜．光线从点出发经平面镜反射后刚好射到轩辕阁顶端处，已知，，测得米，米，米，那么轩辕阁的高度约为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形性质的应用，先证明，再根据相似三角形的对应边成比例即可解答，解题的关键是掌握相似的三角形的判定与性质． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 7. 如图，二次函数在时函数有最大值2，下面的结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与轴的交点问题，由抛物线开口向下，可得，即可判定；根据抛物线与轴有两个不同的交点，可得，即可判定；由对称轴为直线，可判定；根据抛物线经过原点，即可判定，据此即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：、∵抛物线开口向下， ∴， 故该选项正确，不合题意； 、由函数图象可知，抛物线与轴有两个不同的交点， ∴，故该选项正确，不合题意； 、∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故该选项正确，不符合题意； 、∵抛物线经过原点， ∴， ∴ 故该选项错误，符合题意； 故选：D． 8. 如图，四边形内接于，，连接，点是半径上任意一点，连接，，则的度数不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 连接、，根据圆内接四边形的性质求出的度数，根据圆周角定理求出的度数，得到． 【详解】解：连接、， ∵四边形内接于，， ∴， 由圆周角定理得，， ∴，即， ∴不可能为， 故选：D． 9. 已知是的二次函数，下表给出了与的几组数值，观察表格正确的结论是（ ） … 0 1 2 3 … … 0 … A. 当时， B. 抛物线开口向下 C. 抛物线的对称轴是 D. 随的增大而增大 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐项分析即可． 【详解】解：A．∵当和时y的值相等， ∴抛物线的对称轴是直线，∴当时的函数值与时的函数值相等，即，故正确； B．∵随着x的增大y的值先减小再增大，∴抛物线开口向上，故不正确； C．由A知，抛物线的对称轴是直线，故不正确； D．∵随着x的增大y的值先减小再增大，故不正确． 故选A． 10. 如图，为了美化校园环境，学校计划在草坪中央修建一个直径为米的圆形喷水池，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈抛物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，则要修建的高度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数实际应用中的喷泉问题，选图中第一象限的抛物线，由题意得抛物线顶点坐标为，过点，则设抛物线解析式为，然后代入求出抛物线解析式为，然后令即可求解，正确求出二次函数解析式解题的关键． 【详解】解：选图中第一象限的抛物线， 由题意得，抛物线顶点坐标为，过点， 设抛物线解析式为， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴点， ∴， 故选：． 11. 如图，、、、、、、均在方格纸的格点上，将点与、、、中一点连接，交线段于点，若使点能够把线段分成两部分，则这个点可以是（ ） A. D B. E C. F D. G 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质、勾股定理等，通过连接不同的点与点，构造出与线段相关的相似三角形，利用相似三角形对应边成比例来判断哪个点与点的连线能使点把线段分成两部分． 【详解】如图所示，连接，，交于点，设方格纸的边长为． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∴． 同理可证明点与、、中一点连结均不符合条件． 故选：C 12. 在一次数学实践活动课上，嘉淇同学在图形上，按下列步骤进行画图： 第一步：将三角板的直角顶点放在圆上任意一点（与点不重合）处，使三角板直角边经过点，另一直角边与圆交于点，连结，如图； 第二步：如图，转动该三角板使其直角顶点与重合，另一直角边经过点，画出另一直角边所在的直线； 嘉淇得到下面两个结论：①线段是圆的直径； ②直线与圆相切． 下列说法正确的是（ ） A. ①正确②不正确 B. ①不正确②正确 C. ①②都正确 D. ①②都不正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理和切线的判定定理，根据画法找到对应的判定依据即可作答． 【详解】解：①根据圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，可知线段是圆的直径，该项画法正确； ②根据切线判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，可知直线与圆相切，该项画法正确． 两个选项都正确 故选：C． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，16题第一空2分，第二空1分，共12分）． 13. 在三个数中，随机取一个数作为函数中的值，使该二次函数图像开口向下的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式及二次函数的性质，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 二次函数图象开口向下得出，从所列三个数中找到的个数，再根据概率公式求解可得． 【详解】解：∵从三个数中，随机取一个数，共有3种等可能结果，其中使该二次函数图象开口向下的有这2种结果， ∴该二次函数图象开口向上的概率是， 故答案为：． 14. 线段，线段，则线段的比例中项是________． 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查比例的性质，设线段的比例中项是c，则，即可求出c，正确理解比例中项定义是解题的关键． 【详解】解：设线段的比例中项是c，则 ∴ ∴（负值舍去） 故答案为：4． 15. 如图，如果与成反比例关系，那么表格中“？”处应填_____． 10 ？ 2 5 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数（k为常数，）的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即，据此求解即可． 【详解】解：∵与成反比例关系， ∴， ∴． 故答案为：4． 16. 如图，正边形的两条对角线、的延长线交于点，若． （1）连接，则与的位置关系是_____； （2）的值是_____． 【答案】 ①. 平行 ②. 12 【解析】 【分析】本题主要考查了正边形的知识，熟练掌握正边形的性质是解题的关键． （1）连接，假设正边形的外接圆为，根据正多边形的性质可得，根据圆周角定理得出，即可解答；（2）连接，根据，得，则正边形中心角为，即可解决问题． 【详解】解：（1）如图，连接， 假设正边形的外接圆为， 根据正多边形的性质可得， ∴， ， 故答案为：平行； （2）如图，连接， ∵， ， ∴， ∴正边形中心角为， ， 故答案为：12． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 下图是嘉淇同学用配方法推导一元二次方程（且）的求根公式的过程． ………………第一步 ………………第二步 ………………第三步 第四步 （1）嘉淇的解法从第_____步开始出现错误； 事实上，当时，方程的求根公式是_____； （2）用配方法解方程：． 【答案】（1）四， （2） 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程： （1）观察可知，第四步，等号两边同时开平方时出现错误，应为； （2）先移项，再利用完全平方公式进行配方，即可求解． 【小问1详解】 解：嘉淇的解法从第四步开始出现错误； 事实上，当时，方程的求根公式是， 故答案为：四，； 【小问2详解】 解：， ， ． 18. 如图1，火力发电厂的大烟囱专业名字叫双曲线冷却塔，从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它上、下底面均为圆形，纵截面是如图2所示的轴对称图形，是一个矩形，若以地面上所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，、分别是两个反比例函数图象的一部分经过测量可知：，， （1）直接写出点的坐标_____； （2）求出这一部分反比例函数的解析式； （3）经过测量冷却塔顶部点距离地面，求上底面圆形的直径多少米． 【答案】（1） （2） （3）20米 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用、矩形的性质等知识点，利用待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． （1）根据题意确定C的横坐标和纵坐标即可解答； （2）设反比例函数解析式为，将点的坐标为代入求得k即可解答； （3）先确定点的纵坐标为32，进而确定、，最后确定即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可知：，， ∴点的坐标为． 【小问2详解】 解：设反比例函数解析式为， 依题意可知在图象上 ． 【小问3详解】 解：依题意可知：、的函数图象都关于轴对称； 、两点关于轴对称 点的纵坐标为32， 把带入（2）中的解析式可得：， ． 上底面圆形的直径为20米． 19. 【发现问题】某学习小组发现：三角形一个角的平分线截第三边形成的两条线段的比等于这个三角形中对应的两边之比． 如图1，在中，平分，则． 【猜想验证】下面是“发现问题”的不完整的证明过程． 证明：如图2，过点作，交的延长线于点，……请按照上面的证明思路，补全证明过程； 【拓展应用】如图3，已知中，，，平分，则_____． 【答案】【猜想验证】： ，， ， ， 平分， ， ， ， ， ； 【拓展应用】：． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 猜想验证：过点作，交的延长线于点，先证明，根据相似三角形对应线段成比例，可得，由 平分可得，进而得到，由，即可证明； 拓展应用：根据勾股定理可得出线段，由猜想验证可得，进而求得，由，即可得解． 【详解】解：猜想验证： 略 拓展应用：在中，，， ， 平分， ， ， 即， 解得，， ， ， ， 故答案为：． 20. （某市体育中考分必考项目和自选项目．其中必考项目是长跑和跳绳；自选项目有足球、篮球和排球．每个考生除必考项目外，任选一项自选项目．考生嘉嘉和琪琪的体育中考各项成绩如下表： 考生 自选项目 长跑 跳绳 嘉嘉 90分 95分 95分 琪琪 95分 92分 93分 （1）嘉嘉同学三项成绩的众数为_____分，琪琪同学三项成绩的中位数为_____分； （2）如果体育中考按自选项目占30%、长跑占50%、跳绳占20%计算中考体育综合成绩，通过计算说明嘉嘉和琪琪体育综合成绩谁的更高； （3）补全树状图，并求出考生嘉嘉和琪琪自选项目不同的概率． 【答案】（1） （2）嘉嘉的成绩更高一些 （3） 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数、加权平均数以及树状图： （1）根据众数和中位数的定义作答即可； （2）根据加权平均数的定义列式计算即可； （3）先画树状图，再用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：观察表格，嘉嘉同学的成绩出现最多的数是，故众数为 琪琪同学的成绩按顺序排列，居于中间位置的数是，故中位数是 故答案为： 【小问2详解】 嘉嘉的成绩：（分） 琪琪的成绩：（分） 嘉嘉的成绩更高一些 【小问3详解】 共有种等可能的结果，其中，嘉嘉和琪琪自选项目不同的共有种结果 所以， 21. 某校为进一步提升学生身体素质，购进一批新篮球架（如图1）．其示意图如图2所示，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筐与支架在同一直线上，，，，． （1）求的度数； （2）某运动员在一次训练时，身体完全展开，此时他的手离地面的最大高度是3米，那么这次他可以摸到篮筐吗？请通过计算说明理由．（参考数据：，，） 【答案】（1） （2）这次可以摸到篮球框，理由： 如图，延长， 交于点 ，支架平行地面 ， 又， ， 在中，   这次可以摸到篮球框． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用： （1）先利用比例关系得到，再用三角函数得到，根据参考数据即可算得度数； （2）延长， 交于点，根据题意得，解，求得，根据与的比较即可求解． 【小问1详解】 ，． 在中， 【小问2详解】 略 22. 扇子作为中国传统文化的一部分，承载了丰富哲学和审美观念（如图1）．现有两把图案完全相同，但大小不同的扇子，两把扇子完全展开后圆心角都是，大扇子的半径，小扇子的半径．两把扇子完全打开后，从重合的位置开始（如图2），让大扇子保持不动，小扇子绕点顺时针旋转． （1）如图3，连结．若与小扇子相切于点． ①求的长； ②求大扇子和小扇子的重合部分面积； （2）小扇子绕点顺时针旋转的过程中，当面积最大时．直接写出点绕过的路程_____． 【答案】（1）①；② （2）或 【解析】 【分析】①根据圆的切线性质可知所以，即是直角三角形，运用勾股定理得，代入数据计算即可解答； ②在中，根据，得．得重合部分扇形圆心角为，根据扇形面积公式，可算出重合部分面积； （2）因为中长度固定，根据三角形面积公式（为底，为高），以为底时，为高，当时最大，此时面积最大．存在两种情况∶旋转角为，旋转角为，根据弧长公式，算出点绕过路程即可． 【小问1详解】 解：①∵与小扇子相切于点， ∴， 则是直角三角形，且． 在中，，． ，． ②在中，，． ， ∵是锐角， 所以． ∵大扇子和小扇子的圆心角均为， ∴重合部分扇形的圆心角，小扇子半径． ∴． 【小问2详解】 解：在中，长度固定，当时，以为底的高达到最大，此时面积最大． 小扇子绕点顺时针旋转，存在两种情况使得： 第一种情况：从初始重合位置开始，第一次旋转到，旋转角度为． 则点绕过的路程． 第二种情况：继续旋转，第二次旋转到时，旋转角度为 ． 此时点绕过的路程． ∴当面积最大时，点绕过的路程是和 ． 故答案为：和． 【点睛】本题考查了圆的切线性质、勾股定理、三角函数的应用、扇形面积公式以及弧长公式，还涉及到三角形面积与旋转的相关知识，解题关键是熟练掌握圆的切线性质，三角函数弧长公式，会根据图形的旋转情况分类讨论． 23. 如图，在等腰三角形中，，，有两动点、分别在边、上运动，点从点出发以每秒1个单位长度的速度向终点运动，点从点出发以每秒2个单位长度的速度向终点运动，两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． 请解答下列问题： （1）_____； （2）当为何值时，以点、、为顶点的三角形与相似； （3）点、在运动过程中，是否存在这样的值，使得外心在它的一边上，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或秒 （3）存在，或． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形外心的定义，解直角三角形的应用，利用分类讨论的思想解决问题是关键． （1）过点作，由等腰三角形三线合一得到，再求余弦值即可； （2）由题意可知，，，则，再根据相似三角形的判定和性质，分两种情况求解即可； （3）由外心在它的一边上可知是直角三角形，再根据相似三角形的判定和性质，分两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作， 在等腰三角形中，，， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意可知，，，则， ， 以点、、为顶点的三角形与相似有两种情况： ①若，则， ，即， 解得：； ②当，则， ，即， 解得：； 综上可知，当或秒时，以点、、为顶点的三角形与相似； 【小问3详解】 解：如图，作，垂足为， ， ， 在中，，， ， 外心在它的一边上． 是直角三角形． ①当时，则， ，即， 解得：； ②当，则， ，即， 解得： ， 综上可知，存在这样的值，使得外心在它的一边上，的值为或． 24. 如图，已知点，，抛物线直线． （1）如果抛物线经过点，_____； （2）如果抛物线的最高点正好落在直线上，求抛物线的解析式及顶点坐标； （3）嘉琪说：无论为何值，函数的最大值都是2．请你判断嘉琪的说法是否正确，并说明理由； （4）当抛物线与线段有公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3）正确， 理由如下： ∵， ∴无论为何值，函数的最大值都是2， 即嘉琪的说法正确； （4）或 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线解析式，然后求解即可； （2）抛物线的最高点正好落在直线上，即该抛物线的对称轴为，然后求解即可； （3）由，可知无论为何值，函数的最大值都是2，即可获得答案； （4）首先计算当抛物线经过点时的值，然后结合函数图像，即可获得答案． 【小问1详解】 解：将点代入抛物线， 可得， 解得． 故答案为：； 【小问2详解】 ∵抛物线的最高点正好落在直线上， ∴该抛物线的对称轴为， 解得， ∴该抛物线的解析式为， ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 设该抛物线与线段的交点为， 当抛物线经过点时， 由（1）可知，可有， 当抛物线经过点时， 可知， 解得， ∵， 即该抛物线对称轴为， 当该抛物线的对称轴位于点右侧时，如下图， 可有 当该抛物线的对称轴位于点左侧时，如下图， 可有， 综上所述，当或时， 抛物线与线段有公共点． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质、待定系数法求二次函数解析式等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $