精品解析：河南省郑州市高新区区2024-2025学年九年级下学期第一次质量检测数学试题

2024-2025学年九年级第一次质量检测数学试卷 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 若收入100元记作元，则支出60元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 如图是一个正方体的展开图，在原正方体中，与“学”字所在面相对的面上的字是（ ） A. 想 B. 思 C. 方 D. 法 3. 《孙子算经》中记载：“量之所起，起于粟．六粟为一圭，十圭为一撮，十撮为一抄，十抄为一勺，十勺为一合……”可知：6粟圭，10圭撮，10撮抄，10抄勺，10勺合，则8合为（ ） A. 粟 B. 粟 C. 粟 D. 粟 4. 若，运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（ ） A. y－x B. y＋x C. 2x D. 5. 实数m对应的点在数轴上的位置如图所示，则不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 下列关于x的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形 中，，交于点G，点H为 的中点，连接，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 如图， 是内接正八边形的一条边，经过点B的直线l为的一条切线，则（ ）． A. 20° B. 22.5° C. 25° D. 30° 9. 若一次函数的图象不经过第四象限，则二次函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 小宁利用如图（1）所示的电路（电源电压不变，为定值电阻）进行了如下实验：在开关S闭合的情况下，改变电阻箱的阻值，读取电流表示数．根据实验数据，小宁绘制了如图（2）所示的电流表示数随变化的曲线． 信息框 1．欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比． 2．电流表的电阻忽略不计． 下列说法正确的是（ ） A. 电流随电阻的增大而增大 B. 电流与电阻成反比例函数关系 C. 电阻两端的电压随的增大而减小 D. 当电阻为时，电路中的电流最小 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 为了解河南省中学生每天的平均睡眠时间，最适合采用的调查方式是______（填“全面调查”或“抽样调查”） 12. 如图，图书馆在学校北偏东方向，电影院在学校南偏西方向，博物馆、学校、电影院三者连成的折线是一个直角，则图中∠1的度数为_____． 13. 酚酞是一种常用的酸碱指示剂．通常情况下酚酞遇酸溶液不变色，遇碱溶液变红色．实验室有四瓶没有标签的无色溶液，分别是溶液、溶液、稀盐酸、稀硫酸．小刚随机选了两瓶溶液并各滴入一滴酚酞试剂，则这两瓶溶液只有一瓶变红色的概率为_____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，，四边形是平行四边形，且反比例函数的图象经过点A，交 边于点D，则点D的坐标为_____． 15. 在矩形 中，边，边，点E在 上，且，点F为 的中点，当是以 为腰的等腰三角形时， 的长度为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）化简： （2）解方程组： 17. 某农场选育大豆种子，为了解种子的产量及产量的稳定性，在农场建了16块试验田，分别用8块试验田种植甲、乙两种大豆，得到其亩产量数据如下统计图表． 乙种大豆亩产量统计表 亩产量/kg 频数 1 a b （1）填空： ， ． （2）根据统计表，若该农场选择种植乙种大豆，则其亩产量W（单位：）落在 范围内的可能性最大（填选项）． A． B． C． （3）从大豆产量的稳定性的角度来看，你认为该农场应选择种植哪种大豆？简述理由． 18. 如图，在菱形 中，对角线相交于点O． （1）尺规作图：在菱形 的边上方找一点E，使得（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，求证：． 19. 如图（1）所示的心形图案，它由正方形的两条边和两个半圆组成．如图（2），将心形图案放置在平面直角坐标系中，分别为两个半圆的直径，正方形的顶点O在原点处，点A，C分别在y轴，x轴上，直线交两个半圆于点D，E． （1）若，求k的值； （2）若，求阴影部分的面积． 20. 二七纪念塔是郑州市标志性建筑，全国重点文物保护单位，全国爱国主义教育示范基地．学完了三角函数知识后，某校“综合与实践”小组的同学决定利用所学知识测量二七纪念塔的高度，他们设计了下表中的两种测量方案．小组经实地考察放弃了方案一，采用了方案二．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果填入表格，测量数据如下表： 课题 测量二七纪念塔的高度 成员 组长：×××，组员：×××，×××，××× 工具 测倾器，皮尺等 设计方案 方案一测量示意图 说明： 表示二七纪念塔，在马路对面一建筑物 的D处测A点的仰角，点B，C在同一水平线上．需要测量的数据有 的高度， 的长度，的度数． 方案二测量示意图 说明： 表示二七纪念塔，测倾器，在广场上D点处测得A点的仰角为α，F点处测得A点的仰角为β，点B，D，F在同一水平线上．需要测量的数据有α，β的度数，的长度． 实施方案 方案二的测量数据 α的平均值 β的平均值 长度的平均值 （1）“综合与实践”小组为什么放弃方案一？你认为原因可能是什么？（写出一条即可） （2）请你根据他们的测量数据计算二七纪念塔 的高度（结果保留整数．参考数据：，）． 21. 如图（1）是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中（两水槽底面积一样，圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上），两水槽在下侧位置连通（由连通阀门控制水流，连通阀门处的水量忽略不计）．现将连通阀门打开，甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度()与注水时间 ()之间的关系如图（2）所示．根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）乙槽中圆柱形铁块的高度为 ，点的实际意义为 ； （2）求线段所在直线的表达式； （3）设乙槽的底面积为，圆柱形铁块的底面积为，求的值． 22. 图（1）是一个拱形直拉桥，跨度为，将其简化为图（2）所示的图形，拱形最高点为A，李想同学通过测量得知，拱形上点到桥面的距离且．李想同学发现可以借助圆的模型或抛物线模型估算点到桥面的距离；请你任选一种模型来解决下列问题． （1）求点到桥面的距离； （2）在距离桥端的位置恰好有一根直拉钢索（直拉钢索垂直于桥面），请求出这根直拉钢索的长（结果均保留根号）． 23. 下面是人教版八上的一道复习题： 如图（1），牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径． 王老师带领学生们研讨了此题，并就“解决实际应用中的路线最短问题”进行了如下探究． 【阶段一】王老师进行了如下作图：如图（2），作点A关于的对称点，作点B关于直线l的对称点，连接，分别交，直线L于点P，Q，连接，则最短路径为折线．请同学们研讨：王老师判定折线是最短路径运用的基本事实为① ，最短路径的长是线段② 的长． 【阶段二】王老师又提出问题：如图（3），P是内一点，在上分别找点A，B，使的周长最小． 解决方法：分别作点P关于的对称点，连接，分别交 于点A，交 于点B，连接，则此时的周长最小，最小值为的长．若，，则周长的最小值为③ ． 【阶段三】如图（4），在一个机器人比赛项目上，机器人从的边 上的一点D出发，沿直线匀速到达 上，然后到 上，最后回到点D（机器人的速度为）．请你完成以下任务． （1）【阶段一】中的①处应填 ，②处应填 ． （2）在图（3）上按【阶段二】的“解决方法”画出；③处应填 ． （3）若，请计算出机器人完成比赛所用的最短时间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年九年级第一次质量检测数学试卷 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 若收入100元记作元，则支出60元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正数、负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：由于正数、负数表示一对具有相反意义的量， 如果收入100元，记作元，那么支出60元，记作元． 故选：D． 2. 如图是一个正方体的展开图，在原正方体中，与“学”字所在面相对的面上的字是（ ） A. 想 B. 思 C. 方 D. 法 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方体的展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， 与“学”字所在面相对的面上的汉字是“思”． 故选：B． 3. 《孙子算经》中记载：“量之所起，起于粟．六粟为一圭，十圭为一撮，十撮为一抄，十抄为一勺，十勺为一合……”可知：6粟圭，10圭撮，10撮抄，10抄勺，10勺合，则8合为（ ） A. 粟 B. 粟 C. 粟 D. 粟 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：由题意可得：8合为． 故选B． 4. 若，运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（ ） A. y－x B. y＋x C. 2x D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据分式除法法则计算，再根据结果为整式，得出□中的式子可能是，即可得出答案． 【详解】解： ＝ =， ∵运算结果为整式， ∴□中的式子是含量有x因式的式子， ∴□中的式子可能是2x， 故选：C． 【点睛】本题考查分式乘除运算，熟练掌握分式乘除运算法则是解题的关键． 5. 实数m对应的点在数轴上的位置如图所示，则不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴、解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先根据数轴的性质可得，再分别求出两个不等式的解集，然后找出它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：由数轴可得， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 故选：C． 6. 下列关于x的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、，方程有两个实数根，但不一定有两个不相等的实数根，该选项不符合题意； B、，方程有两个实数根，但不一定有两个不相等的实数根，该选项不符合题意； C、，不能判断一定大于零，即不一定有两个不相等的实数根，该选项不符合题意； D、，方程一定有两个不相等的实数根，该选项符合题意； 故选：D． 7. 如图，在正方形 中，，交于点G，点H为 的中点，连接，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等知识点，熟练掌握相关知识进行求解是解题的关键． 根据正方形的性质可得，进而运用勾股定理得到，再证明得到，然后说明，最后根据直角三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵四边形 为正方形，， ∴， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵点H为 的中点， ∴． 故选D． 8. 如图， 是内接正八边形的一条边，经过点B的直线l为的一条切线，则（ ）． A. 20° B. 22.5° C. 25° D. 30° 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的性质、圆的切线的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握圆的切线的性质是解题的关键． 如图：连接，则，根据正多边形的性质可得，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，由切线的性质可得，然后根据求解即可． 【详解】解：如图：连接，则， ∵ 是内接正八边形的一条边， ∴， ∵， ∴， ∵过点B的直线l为的一条切线， ∴， ∴． 故选B． 9. 若一次函数的图象不经过第四象限，则二次函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数、二次函数图象的性质，掌握一次函数、二次函数图象与解析式系数的关系是解题的关键． 由一次函数图象不经过第四象限可知，然后根据二次函数的对称轴、开口方向以及一定经过原点即可解答． 【详解】解：∵若一次函数的图象不经过第四象限， ∴， ∴， ∴抛物线的对称轴在y轴左侧， 由可得，抛物线开口向上且过原点， ∴抛物线的图象只能是C． 故选C． 10. 小宁利用如图（1）所示的电路（电源电压不变，为定值电阻）进行了如下实验：在开关S闭合的情况下，改变电阻箱的阻值，读取电流表示数．根据实验数据，小宁绘制了如图（2）所示的电流表示数随变化的曲线． 信息框 1．欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比． 2．电流表的电阻忽略不计． 下列说法正确的是（ ） A. 电流随电阻的增大而增大 B. 电流与电阻成反比例函数关系 C. 电阻两端的电压随的增大而减小 D. 当电阻为时，电路中的电流最小 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，根据图象和已知条件利用反比例函数的关系解答即可． 【详解】解：A. 电流随电阻的增大而减小，故该选项不正确，不符合题意； B. 电流与总电阻成反比例函数关系，故该选项不正确，不符合题意； C. 电阻两端的电压随的增大而减小，故该选项正确，符合题意； D. 当电阻为时，电路中的电流最大，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 为了解河南省中学生每天的平均睡眠时间，最适合采用的调查方式是______（填“全面调查”或“抽样调查”） 【答案】抽样调查 【解析】 【分析】根据全面调查和抽样调查的定义和应用场景即可求解． 【详解】解： 全面调查是为特定目的对所有的考查对象进行调查；抽样调查是为特定目的对部分考查对象进行调查 结合题意考查对象为部分 故答案是：抽样调查． 【点睛】本题考查全面调查和抽样调查的定义，属于基础题型，难度不大．解题关键便是掌握其定义．此外最常见的全面调查实例：人口普查． 12. 如图，图书馆在学校北偏东方向，电影院在学校南偏西方向，博物馆、学校、电影院三者连成的折线是一个直角，则图中∠1的度数为_____． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查了方向角．根据题意可得，，，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：，，， ∴， ∴． 故答案为： 13. 酚酞是一种常用的酸碱指示剂．通常情况下酚酞遇酸溶液不变色，遇碱溶液变红色．实验室有四瓶没有标签的无色溶液，分别是溶液、溶液、稀盐酸、稀硫酸．小刚随机选了两瓶溶液并各滴入一滴酚酞试剂，则这两瓶溶液只有一瓶变红色的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了列表法求概率，解题的关键是掌握列表法求解概率的方法．将溶液、溶液、稀盐酸、稀硫酸分别记作，列表得出所有可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：将溶液、溶液、稀盐酸、稀硫酸分别记作，列表如下： 由表可知，共有种等可能结果，其中滴入一滴酚酞试剂后只有一瓶呈现红色的有种结果， 所以滴入一滴酚酞试剂后只有一瓶呈现红色的概率为； 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，，四边形是平行四边形，且反比例函数的图象经过点A，交边于点D，则点D的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，解直角三角形，过点作轴，过点作轴，设，利用三角函数求出点坐标，平行四边形的性质，求出点坐标，根据都在反比例函数图象上，列出方程进行求解即可． 【详解】解：过点作轴，过点作轴，设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴轴，， ∴，即：， ∵反比例函数的图象经过点A，交边于点D， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； 故答案为：． 15. 在矩形 中，边，边，点E在上，且，点F为 的中点，当是以 为腰的等腰三角形时， 的长度为_______． 【答案】8或18 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、相似三角形的性质、等腰三角形的性质和判定和勾股定理，解题的关键是分类讨论思想的应用和矩形的性质理解． 分两种情况：若，若，解答即可． 【详解】解：在矩形 中，， 若，过点F作于点H，则， ∴， ∴， ∴， ∵点F为 的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 若，如图， ∵点F为 的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，当是以 为腰的等腰三角形时， 的长度为8或18． 故答案为：8或18 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）化简： （2）解方程组： 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、解二元一次方程组等知识点，掌握相关计算方法成为解题的关键． （1）先运用完全平方公式、单项式乘多项式计算，然后合并同类项即可； （2）先化简不等式组，然后运用加减消元法求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）方程组可化简为：， 得：，解得：， 将代入②可得：， 所以不等式组的解集为：． 17. 某农场选育大豆种子，为了解种子的产量及产量的稳定性，在农场建了16块试验田，分别用8块试验田种植甲、乙两种大豆，得到其亩产量数据如下统计图表． 乙种大豆亩产量统计表 亩产量/kg 频数 1 a b （1）填空： ， ． （2）根据统计表，若该农场选择种植乙种大豆，则其亩产量W（单位：）落在 范围内的可能性最大（填选项）． A． B． C． （3）从大豆产量的稳定性的角度来看，你认为该农场应选择种植哪种大豆？简述理由． 【答案】（1）3，4 （2）C （3）选择种植乙种大豆． 【解析】 【分析】本题主要考查频数分布表、折线统计图、方差等知识点，理解题意、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． （1）根据折线统计图确定、的频数即可解答； （2）根据落在哪个组的频数最多判断即可； （3）从离散程度判断即可． 【小问1详解】 解：根据折线统计图可知：的频数为3，的频数为4， 所以． 故答案为：3，4． 【小问2详解】 解：∵的频数最大， ∴落在范围内的可能性最大． 故选C． 【小问3详解】 解：甲波动明显，乙比较稳定，则大豆产量的稳定性的角度来看，选择种植乙种大豆． 18. 如图，在菱形 中，对角线相交于点O． （1）尺规作图：在菱形 的边上方找一点E，使得（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，求证：． 【答案】（1）如图∶ 点E即为所求． （2）证明： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定于性质、菱形的性质、平行线的判定与性质等知识点 ，灵活运用相关知识成为解题的关键． （）作，再在射线上截取，连接 ，因为四边形 为菱形，所以，，因为可得得到，又，故可得，即点E即为所求； （2）根据全等三角形的性质可得，再结合可得四边形是平行四边形，最后根据平行四边形的性质即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图（1）所示的心形图案，它由正方形的两条边和两个半圆组成．如图（2），将心形图案放置在平面直角坐标系中，分别为两个半圆的直径，正方形的顶点O在原点处，点A，C分别在y轴，x轴上，直线交两个半圆于点D，E． （1）若，求k的值； （2）若，求阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、扇形的面积公式等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）如图：连接，则，再根据正方形的性质证明可得，即，然后说明即可解答； （2）由（1）可知，则，即，然后根据勾股定理、三角形的面积公式、圆的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图：连接，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴．， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点D作轴于F，则，即， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）可知， ∴．， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．阴影部分的面积． 20. 二七纪念塔是郑州市标志性建筑，全国重点文物保护单位，全国爱国主义教育示范基地．学完了三角函数知识后，某校“综合与实践”小组的同学决定利用所学知识测量二七纪念塔的高度，他们设计了下表中的两种测量方案．小组经实地考察放弃了方案一，采用了方案二．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果填入表格，测量数据如下表： 课题 测量二七纪念塔的高度 成员 组长：×××，组员：×××，×××，××× 工具 测倾器，皮尺等 设计方案 方案一测量示意图 说明： 表示二七纪念塔，在马路对面一建筑物的D处测A点的仰角，点B，C在同一水平线上．需要测量的数据有的高度，的长度，的度数． 方案二测量示意图 说明： 表示二七纪念塔，测倾器，在广场上D点处测得A点的仰角为α，F点处测得A点的仰角为β，点B，D，F在同一水平线上．需要测量的数据有α，β的度数，的长度． 实施方案 方案二的测量数据 α的平均值 β的平均值 长度的平均值 （1）“综合与实践”小组为什么放弃方案一？你认为原因可能是什么？（写出一条即可） （2）请你根据他们的测量数据计算二七纪念塔 的高度（结果保留整数．参考数据：，）． 【答案】（1）因为方案一中二七纪念塔底部不可直接到达，无法测量的长度，所以放弃方案一． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握俯仰角的定义以及锐角三角函数的定义成为解题的关键． （1）直接根据题意写出原因即可； （2）如图：设与 相交于点G，则，，然后解直角三角形可得、，再根据列方程求得，最后求得 即可． 【小问1详解】 解：因为方案一中二七纪念塔底部不可直接到达，无法测量的长度，所以放弃方案一． 【小问2详解】 解：如图：设与 相交于点G，则，， 在中，， 在中，， ∵， ∴，即，解得：， ∴． 答：二七纪念塔 的高度为． 21. 如图（1）是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中（两水槽底面积一样，圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上），两水槽在下侧位置连通（由连通阀门控制水流，连通阀门处的水量忽略不计）．现将连通阀门打开，甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度()与注水时间()之间的关系如图（2）所示．根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）乙槽中圆柱形铁块的高度为 ，点的实际意义为 ； （2）求线段所在直线的表达式； （3）设乙槽的底面积为，圆柱形铁块的底面积为，求的值． 【答案】（1），当时，两水槽中水的高度相同 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要能读懂题意和示意图并能求出，坐标是关键． （1）根据函数图象分析可得，到，乙槽中水面上升的高度等于甲槽中水面下降的高度，即可求解； （2）根据题意得出，进而待定系数法求解析式，即可求解； （3）根据原有的水的体积等于甲乙两个水槽的水的体积的和，列出关系式，即可求解． 【小问1详解】 根据函数图象可得段的速度不一致， 到甲槽中的水匀速注入乙槽，， ∴当时，乙槽中水面上升的高度等于乙槽中圆柱形铁块的高度： 从到，乙槽中水面上升的高度等于甲槽中水面下降的高度， ∴点的实际意义为当时，两水槽中水的高度相同； 故答案为：，当时，两水槽中水的高度相同． 【小问2详解】 ∵从到，乙槽中水面上升的高度等于甲槽中水面下降的高度 ∴， ∴， 设线段所在直线的函数表达式为， 将，的坐标分别代入， ∴ ∴线段所在直线的函数表达式为 【小问3详解】 解：依题意， ∴ 22. 图（1）是一个拱形直拉桥，跨度为，将其简化为图（2）所示的图形，拱形最高点为A，李想同学通过测量得知，拱形上点到桥面的距离且．李想同学发现可以借助圆的模型或抛物线模型估算点到桥面的距离；请你任选一种模型来解决下列问题． （1）求点到桥面的距离； （2）在距离桥端的位置恰好有一根直拉钢索（直拉钢索垂直于桥面），请求出这根直拉钢索的长（结果均保留根号）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用， 建立合适的平面直角坐标系是解题的关键． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，根据题意得到，设抛物线的解析式为求得抛物线的解析式为当时，求得 得出结论； （2）把代入函数解析式得到得出结论． 【小问1详解】 解：建立如图所示的平面直角坐标系， ， 设抛物线的解析式为 解得 ∴抛物线的解析式为， 当时， ∴点到桥面的距离为 ． 【小问2详解】 解：当时， ． 答：这根直拉钢索的长为． 23. 下面是人教版八上的一道复习题： 如图（1），牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径． 王老师带领学生们研讨了此题，并就“解决实际应用中的路线最短问题”进行了如下探究． 【阶段一】王老师进行了如下作图：如图（2），作点A关于的对称点，作点B关于直线l的对称点，连接，分别交，直线L于点P，Q，连接，则最短路径为折线．请同学们研讨：王老师判定折线是最短路径运用的基本事实为① ，最短路径的长是线段② 的长． 【阶段二】王老师又提出问题：如图（3），P是内一点，在上分别找点A，B，使的周长最小． 解决方法：分别作点P关于的对称点，连接，分别交 于点A，交 于点B，连接，则此时的周长最小，最小值为的长．若，，则周长的最小值为③ ． 【阶段三】如图（4），在一个机器人比赛项目上，机器人从的边上的一点D出发，沿直线匀速到达 上，然后到 上，最后回到点D（机器人的速度为）．请你完成以下任务． （1）【阶段一】中的①处应填 ，②处应填 ． （2）在图（3）上按【阶段二】的“解决方法”画出；③处应填 ． （3）若，请计算出机器人完成比赛所用的最短时间． 【答案】（1）两点之间，线段最短； （2） 根据题意画出，如下图： （3） 【解析】 【分析】本题主要考查两点之间线段最短 ，轴对称的性质，解直角三角形； （1）根据两点之间，线段最短来解答即可； （2）根据题意画出，连接，根据轴对称的性质，可得，求得．过点O作于点 Q，得到，即可求出； （3）分别作点D关于的对称点，连接，分别交 于点E，交 于点F，则的长为的周长，得到的周长为，求出当的值最小时， 的周长最小，而当时， 的值最小，再计算出结果即可． 【小问1详解】 解：王老师判定折线是最短路径运用的基本事实为：两点之间，线段最短； 最短路径的长是线段的长； 故答案为：两点之间，线段最短；； 【小问2详解】 解：连接，如下图： 根据轴对称的性质，可得，． 又∵， ∴， ∴． 过点O作于点 Q， 则， ∴， 故周长的最小值为． 【小问3详解】 解：分别作点D关于的对称点，连接，分别交 于点E，交 于点F，则的长为的周长． 如下图： ∵，， ∴， ∴， 此时的周长最小值为， ∴当的值最小时， 的周长最小． 而当时， 的值最小， 如下图， 则 ， ∴周长的最小值为， ∴机器人完成比赛的最短时间为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $