精品解析：陕西省商洛市山阳县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024～2025学年度第一学期期末质量监测试题（卷） 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列四个数字图形，是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 若三角形的两条边分别为和．则此三角形的第三边可能是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，，则的长度为（ ） A. 2.5 B. 3 C. 1.5 D. 2 4. 计算：（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在等边中，平分交于点D，点F在上，连接，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在和中，点A，B，D，E在同一条直线上，，．则下列条件不能判定与全等的是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的方程无解，则m的取值为（ ） A. B. C. 6 D. 3 8. 如图所示的图形由一个大正方形、一个小正方形和一个长方形不重合无缝隙得拼接在一起，已知长方形的面积是6，正方形和正方形的面积之和为69，那么长方形的周长是（ ） A. 12 B. 18 C. 16 D. 14 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 电子元件是现代科技的核心组成部分，它们构成了整个电子工业的基础．某种电子元件的面积大约为0.000057平方毫米，将0.000057这个数用科学记数法表示为______． 10. 如果分式的值为0，则的值为___________. 11. 因式分解的结果为______． 12. 如图，与相交于点A，，，，若，则的长度是______． 13. 如图，点P在内，，的垂线相交于点P，E、F分别是上的动点，连接，当的周长最小时，的度数为______． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算： 15. 分解因式：． 16. 解分式方程：． 17. 求十五边形的内角和的度数． 18. 如图，已知是的中线，的周长比的周长多4，且．求的长． 19. 如图，某娱乐休闲景区内有两条小路与相交于点C，咖啡厅和购物商店分别在点A和点C处，景区管理员打算在区域内的点Q处修建游客服务区，要求点Q到的距离与点Q到的距离相等，且．请你帮景区管理员找出点Q．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 20. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，． （1）在图中作出四边形关于轴对称的图形四边形；（点、、、的对应点分别为点、、、） （2）在（1）的条件下直接写出点的坐标． 21. 先化简，再求值：，其中，． 22. 如图，已知，过点A作线段，连接，，． （1）若，求的长； （2）若，求的度数． 23. 如图，在中，，，平分交于点D． （1）求的度数； （2）延长至E，连接，当垂直且平分时，求证：是等腰三角形． 24. 一艘货轮在静水中的航速为，它以该航速沿江逆流航行所用的时间与以该航速沿江顺流航行所用的时间相等，则这艘货轮的逆流速度为多少千米每小时？（列分式方程解答） 注：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度 25. 如图，一块长方形铁皮的长为，宽为．将这块长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为的正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子． （1）求这个盒子底面的面积；（用含a、b的式子表示） （2）当，时，求这个盒子底面的面积． 26. 【问题背景】 已知等边，过点作的垂线交的延长线于点． 【问题探究】 （1）如图，点为内部一点，连接、、，满足，为延长线上一点，且，连接，求证： ①； ②是等边三角形； 【拓展延伸】 （2）如图2，在（1）的条件下，点是中点，连接并延长交于点，连接，若，，，求的长度．（用含、的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第一学期期末质量监测试题（卷） 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列四个数字图形，是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义判断即可． 【详解】2、4、6无对称轴，8有对称轴， 故选D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 2. 若三角形的两条边分别为和．则此三角形的第三边可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，首先设第三边长为，根据三角形的三边关系可得，再解不等式即可求解． 【详解】解：设第三边长为，根据三角形的三边关系可得： ， 解得：． 观察选项，只有选项B符合题意． 故选：B． 3. 如图，在中，，，，则的长度为（ ） A. 2.5 B. 3 C. 1.5 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余，所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 先确定，再根据所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∴， 故选：A． 4. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查积的、幂的乘方，掌握积的、幂的乘方运算法则是解题的关键． 直接积的、幂的乘方运算法则即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 5. 如图，在等边中，平分交于点D，点F在上，连接，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，与角平分线有关的三角形内角和定理，等边对等角等知识，由等边三角形的性质与角平分线的定义可得出，再由等边对等角和三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵是等边三角形，且平分， ∴， ∵， ∴， 故选：C 6. 如图，在和中，点A，B，D，E在同一条直线上，，．则下列条件不能判定与全等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法一次判断即可． 【详解】解：A、∵，，， ∴，故能证明全等，不符合题意； B、∵，，， ∴，故能证明全等，不符合题意； C、∵，，， ∴，故能证明全等，不符合题意； D、当，结合，不能证明全等，故符合题意， 故选：D． 7. 若关于x的方程无解，则m的取值为（ ） A. B. C. 6 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，掌握解分式方程的步骤和分式方程有无解的条件是解决本题的关键．先解分式方程，再根据分式方程无解得关于m的方程即可． 【详解】解：， ， ∵关于x的方程无解， ∴， ∴， 解得：， 故选：A． 8. 如图所示的图形由一个大正方形、一个小正方形和一个长方形不重合无缝隙得拼接在一起，已知长方形的面积是6，正方形和正方形的面积之和为69，那么长方形的周长是（ ） A. 12 B. 18 C. 16 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，完全平方公式的运用，结合图形面积公式与完全平方公式进行展开变形是解题的关键． 设，由题意得，，那么，即可求出，那么周长即可求解． 【详解】解：设， 由题意得，， ∴， ∴（舍负）， ∴长方形的周长是， 故选：B． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 电子元件是现代科技的核心组成部分，它们构成了整个电子工业的基础．某种电子元件的面积大约为0.000057平方毫米，将0.000057这个数用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：0.000057这个数用科学记数法表示为， 故答案为：． 10. 如果分式的值为0，则的值为___________. 【答案】1 【解析】 【分析】分式的值为零时，分子等于零，即，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴． 解得． 此时分母，符合题意． 故答案是：1． 【点睛】本题主要考查了分式的值为零的条件，解题的关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 11. 因式分解的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了公式法分解因式，利用完全平方法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为： 12. 如图，与相交于点A，，，，若，则的长度是______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由得到，再由即可证明，继而． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：6． 13. 如图，点P在内，，的垂线相交于点P，E、F分别是上的动点，连接，当的周长最小时，的度数为______． 【答案】120 【解析】 【分析】作点O关于的对称点，关于的对称点，由轴对称的性质可得点E和点F在线段上时，的周长最小，再利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，作点O关于的对称点，连接，作点O关于的对称点，连接， 则，， 的周长， 即点E和点F在线段上时，的周长最小，如图： ，， ，， ， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的定义和性质，三角形内角和定理等，解题的关键是找出的周长最小时点E和点F的位置． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算： 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查了零指数和负整数指数幂的意义，先根据乘方、零指数和负整数指数幂的意义化简，再算加减即可． 【详解】解： ． 15. 分解因式：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．先提取公因式m，再用平方差公式分解． 【详解】解：． 故答案为：． 16. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【详解】解：， 两边都乘以，得 ， 解得， 检验：当时，， ∴是分式方程的解． 17. 求十五边形的内角和的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和，掌握边形内角和公式为是解题的关键．直接利用多边形内角和公式即可求解． 【详解】解：由题意得，十五边形的内角和的度数为． 18. 如图，已知是的中线，的周长比的周长多4，且．求的长． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了三角形中线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形中线等分线段是解题的关键． 首先根据三角形的中线得到，由的周长比的周长多4得到，化简得，即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长多4， ∴， 即， ∵ ∴． 19. 如图，某娱乐休闲景区内有两条小路与相交于点C，咖啡厅和购物商店分别在点A和点C处，景区管理员打算在区域内的点Q处修建游客服务区，要求点Q到的距离与点Q到的距离相等，且．请你帮景区管理员找出点Q．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：如图，点即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，作角平分线和线段的垂直平分线，涉及角平分线的判定和线段的垂直平分线的判定，正确理解题意是解题的关键． 作出线段的垂直平分线和的平分线，交点即为点． 【详解】略 20. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，． （1）在图中作出四边形关于轴对称的图形四边形；（点、、、的对应点分别为点、、、） （2）在（1）的条件下直接写出点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了作轴对称图形，写出平面直角坐标系中点的坐标，熟练掌握相关知识并准确作图是解题的关键； （1）作、、、的对应点、、、，连线即可； （2）根据（1）中画出的图象，直接写出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：如图所示，四边形即为所求， 【小问2详解】 解：根据坐标系可得． 21. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简和求值，利用平方差公式和完全平方公式、异分母分式进行分式的化简，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式 22. 如图，已知，过点A作线段，连接，，． （1）若，求的长； （2）若，求的度数． 【答案】（1）7 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键． （1）先证明，然后根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质及三角形的内角和定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴． 23. 如图，在中，，，平分交于点D． （1）求的度数； （2）延长至E，连接，当垂直且平分时，求证：是等腰三角形． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和，外角定理，等腰三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据三角形的内角和以及等边对等角得到，再根据角平分线得到，最后通过即可求解； （2）由垂直且平分，得到，则，由三角形的外角定理可得，继而，即可证明． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵垂直且平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 24. 一艘货轮在静水中的航速为，它以该航速沿江逆流航行所用的时间与以该航速沿江顺流航行所用的时间相等，则这艘货轮的逆流速度为多少千米每小时？（列分式方程解答） 注：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度 【答案】30千米/时 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．本题通过建立等式的方法求解水流速度，再进一步确定逆流速度．在处理顺流逆流问题时，正确地建立速度关系式是关键．同时，解题过程中验证解的合理性也是必不可少的步骤，以确保求解过程的正确性和解的合理性． 【详解】解：设水流速度为千米/时，逆流速度为千米/时，顺流速度为千米/时， 根据题意得：， 解答：， 经检验，是原方程的解， 所以逆流速度为千米/时，即30千米/时， 答：这艘货轮的逆流速度为30千米每小时． 25. 如图，一块长方形铁皮的长为，宽为．将这块长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为的正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子． （1）求这个盒子底面的面积；（用含a、b的式子表示） （2）当，时，求这个盒子底面的面积． 【答案】（1） （2）63 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，整式的加减运算，代数式求值，正确化简计算是解题的关键． （1）根据题意可知，这个盒子的长=等于长方形铁皮的长2倍的正方形的边长，这个盒子的宽=等于长方形铁皮的宽2倍的正方形的边长，由此求解即可得到答案； （2）把，代入求值即可 【小问1详解】 解：盒子底面的面积为： 【小问2详解】 解：当，时，盒子底面的面积为：． 26. 【问题背景】 已知等边，过点作的垂线交的延长线于点． 【问题探究】 （1）如图，点为内部一点，连接、、，满足，为延长线上一点，且，连接，求证： ①； ②是等边三角形； 【拓展延伸】 （2）如图2，在（1）的条件下，点是中点，连接并延长交于点，连接，若，，，求的长度．（用含、的式子表示） 【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）①根据等边三角形的性质及三角形的内角和即可得证；②证明，得，，即可得证； （2）延长至，使，连接，证明，得，，证明，得，即可得出结论； 【详解】（1）证明：①∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在四边形中， ， 即； ②∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：如图，延长至，使，连接， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由（1）得：是等边三角形， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的长度为． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，中点的定义等知识，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $