精品解析：湖南省岳阳市岳阳县2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

2024年下学期期末质量监测试题 九年级数学 时量：120分钟 总分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的值等于（ ） A. B. C. 3 D. 2. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 3. 已知反比例函数的图象在第一、三象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程根的情况为（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能判定 5. 如图所示，△ABC中DE∥BC，若AD∶DB＝1∶2，则下列结论中正确的是( ) A. B. C. D. 6. 已知抛物线解析式为，下列说法正确的是（ ） A. 开口方向向上 B. 对称轴为直线 C. 与轴交点为 D. 顶点为 7. 如图，在中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　） A. c＝bsinB B. b＝csinB C. a＝btanB D. b＝ctanB 8. 古希腊著名的科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．小明同学用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数表达式正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. 48（1﹣x）2=36 B. 48（1+x）2=36 C. 36（1﹣x）2=48 D. 36（1+x）2=48 10. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 已知：，则______． 12. 如果反比例函数的图像经过点，那么______． 13. 若反比例函数的图象上有两点，，则______（填“”或“”或“”）． 14. 已知关于的方程有一个根是，则的值为______． 15. 如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为，且三角板的一边长为，则投影三角板的对应边长为______． 16. 若a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_________． 17. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为______． 18. 定义： 若x， y满足 ，且（t为常数），则称点为“和谐点”．若是“和谐点”，则____ 三、解答题：（共66分） 19. 解方程：． 20. 如图，．求证：． 21. 为促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的体育活动．为了解学生引体向上的训练成果，调查了七年级部分学生，根据成绩，分成了四组，制成了不完整的统计图．分组：，，，． （1）组的人数为______： （2）七年级400人中，估计引体向上每分钟不低于10个的有多少人？ （3）从众数、中位数、平均数中任选一个，说明其意义． 22. 已知二次函数的解析式为，根据下列条件解答问题． （1）若该二次函数的图像经过点，求的值； （2）若该二次函数的图像与轴有交点，求的取值范围． 23. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设，矩形的面积为． （1）写出与的函数关系式（不需写出的取值范围）； （2）若花园的面积为，求的值； （3）若在处有一棵树与墙的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值． 24. 某数学小组要测量学校路灯的顶部到地面的距离，他们借助皮尺、测角仅进行测量，测量结果如下： 测量项目 测量数据 从A处测得路灯顶部P的仰角 从D处测得路灯顶部P的仰角 测角仪到地面的距离 两次测量时测角仪之间的水平距离 计算路灯顶部到地面的距离约为多少米?（结果精确到0.1米．参考数据；） 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标； （3）将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值． 26. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值． 【深入探究】 （2）在纸片绕点旋转到如图2所示，当时．求的面积． 【拓展延伸】 （3）如图3，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下学期期末质量监测试题 九年级数学 时量：120分钟 总分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的值等于（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键在于熟练掌握各特殊角的三角函数值． 结合特殊角的三角函数值，进行求解即可． 【详解】解：∵， ， 故选：B． 2. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 用因式分解法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 故选：C． 3. 已知反比例函数的图象在第一、三象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质及应用，解题的关键是掌握反比例函数图象在第一，三象限，则，属于基础题，根据反比例函数的性质：图象在第一，三象限，则，即可列出含的不等式，得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一，三象限， ， ， 故选：B． 4. 一元二次方程根的情况为（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能判定 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得，根据一元二次方程根的判别式的意义，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程中，， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的意义，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键． 5. 如图所示，△ABC中DE∥BC，若AD∶DB＝1∶2，则下列结论中正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形性质：相似三角形对应边的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 【详解】因为△ABC中DE∥BC，若AD∶DB＝1∶2， 所以，△ADE∽△ABC, 所以， , , 故选D 【点睛】本题考核知识点：相似三角形性质.解题关键点：熟记相似三角形性质. 6. 已知抛物线解析式为，下列说法正确的是（ ） A. 开口方向向上 B. 对称轴为直线 C. 与轴交点为 D. 顶点为 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数系数与图像的关系，理解并掌握二次函数中系数与图像开口，对称轴，与轴交点的特点，顶点坐标的计算方法是解题的关键． 根据二次函数解析式中系数与图形的关系即可求解． 【详解】解：A选项，抛物线中，，图像开口向下，故 A 选项错误，不符合题意； B 选项，抛物线的对称轴是直线，故 B 选项错误，不符合题意； C 选项，令，函数值，则抛物线与轴的交点是，故 C 选项错误，不符合题意； D 选项，根据顶点式得，抛物线的顶点为，故 D 选项正确，符合题意； 故选：D． 7. 如图，在中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　） A. c＝bsinB B. b＝csinB C. a＝btanB D. b＝ctanB 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的定义进行判断，即可解决问题． 【详解】∵中，，、、所对的边分别为a、b、c ∴，即，则A选项不成立，B选项成立 ，即，则C、D选项均不成立 故选：B． 【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟记定义是解题关键． 8. 古希腊著名的科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．小明同学用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数表达式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据所给公式列式，整理即可得答案． 【详解】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂， ∴，整理得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，弄清题意，正确分析各量间的关系是解题的关键． 9. 某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. 48（1﹣x）2=36 B. 48（1+x）2=36 C. 36（1﹣x）2=48 D. 36（1+x）2=48 【答案】D 【解析】 【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设教育经费的年平均增长率为x，然后根据已知条件可得出方程． 【详解】∵某超市一月份的营业额为36万元，每月的平均增长率为x， ∴二月份的营业额为36（1+x），三月份的营业额为36（1+x）×（1+x）=36（1+x）2. ∴根据三月份的营业额为48万元，可列方程为36（1+x）2=48. 故选D. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律. 10. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作轴于C，过B作轴于D，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 已知：，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，设，代入代数式进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， 故答案为：． 12. 如果反比例函数的图像经过点，那么______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，根据反比例函数图像上的点的坐标满足函数解析式求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过点， ∴， 故答案为：6． 13. 若反比例函数的图象上有两点，，则______（填“”或“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的图像和性质，根据可得出反比例函数的图象上在第二，第四象限内，且每个象限内y随x的增大而增大，进而可得出答案． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象上在第二，第四象限内，且每个象限内y随x的增大而增大． ∵ ∴， 故答案为：． 14. 已知关于的方程有一个根是，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的根的含义，掌握“一元二次方程的根使方程的左右两边相等”是解本题的关键． 把代入原方程，可得，从而可得答案． 【详解】解：∵关于的方程有一个根是， ， ， 故答案为：． 15. 如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为，且三角板的一边长为，则投影三角板的对应边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解． 【详解】解：设投影三角尺的对应边长为x， ∵三角板与投影三角板相似， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 16. 若a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到，由此即可得到答案． 【详解】解：∵a、b是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 17. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正弦函数的计算，如图，连接，得，从而得到，利用勾股定理计算即可． 【详解】如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴ ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 18. 定义： 若x， y满足 ，且（t为常数），则称点为“和谐点”．若是“和谐点”，则____ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质等知识， 读懂题意，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据“和谐点”的定义得到，，整理得到，解得，（不合题意，舍去），即可得到答案 【详解】若是“和谐点”，则， 则，， ∴， 即，解得，（不合题意，舍去）， ∴， 故答案为：． 三、解答题：（共66分） 19. 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ， ， 解得：． 20. 如图，．求证：． 【答案】 证明：， ， ， 又， ． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理即可证明． 【详解】略 21. 为促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的体育活动．为了解学生引体向上的训练成果，调查了七年级部分学生，根据成绩，分成了四组，制成了不完整的统计图．分组：，，，． （1）组的人数为______： （2）七年级400人中，估计引体向上每分钟不低于10个的有多少人？ （3）从众数、中位数、平均数中任选一个，说明其意义． 【答案】（1）12 （2）180 （3） 从A，B，C，D组人数来看，最中间的两个数据是第20，21个，中位数落在B组， 说明B组靠后的成绩处于中等水平； 由于统计图中没有具体体现学生引体向上的训练成绩，只给出训练成绩的范围，无法计算出训练成绩的众数和平均数． 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）先根据C组人数除以所占百分比求出总人数，再减去B，C，D组人数即可得A的人数； （2）求出C，D组人数在样本中所占百分比，再乘以400即可得答案； （3）根据众数、中位数、平均数的意义进行解答即可． 【小问1详解】 解：（人）， A组人数为：（人）， 故答案为：12； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计引体向上每分钟不低于10个的有180人； 【小问3详解】 略 22. 已知二次函数的解析式为，根据下列条件解答问题． （1）若该二次函数的图像经过点，求的值； （2）若该二次函数的图像与轴有交点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数图像上点的坐标特征． （1）把已知点的坐标代入中可求出的值； （2）根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【小问1详解】 解：把代入得， 解得：， 即的值为 ； 【小问2详解】 解：∵该二次函数的图像与轴有交点， ， 解得：， 即的取值范围为． 23. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设，矩形的面积为． （1）写出与的函数关系式（不需写出的取值范围）； （2）若花园的面积为，求的值； （3）若在处有一棵树与墙的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值． 【答案】（1） （2）的值为 12 或 16 （3）花园面积的最大值为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据长方形的面积公式进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：，然后进行计算即可解答； （3）根据题意可得：，从而可得：，然后利用二次函数的最值进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得：； 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得：， 解得：， ∴的值为 12 或 16 ； 【小问3详解】 解：由题意得：，解得：， ∵， 此时， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，， ∴花园面积的最大值为． 24. 某数学小组要测量学校路灯的顶部到地面的距离，他们借助皮尺、测角仅进行测量，测量结果如下： 测量项目 测量数据 从A处测得路灯顶部P的仰角 从D处测得路灯顶部P的仰角 测角仪到地面的距离 两次测量时测角仪之间的水平距离 计算路灯顶部到地面的距离约为多少米?（结果精确到0.1米．参考数据；） 【答案】3.5米 【解析】 【分析】延长DA，交PE于点F，则DF⊥PE，先得到四边形ABCD、CDFE是矩形，然后由解直角三角形求出AF的长度，再求出PF的长度，即可求出答案． 【详解】解：如图：延长DA，交PE于点F，则DF⊥PE， ∵， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB⊥BC， ∴四边形ABCD是矩形， 同理：四边形CDFE是矩形； ∴，， 在直角△PDF中，有， 在直角△PAF中，有， ∴， 即， ∴， 解得：； ∴； ∴（米）； ∴路灯顶部到地面的距离约为3.5米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解直角三角形，矩形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出辅助线，正确的求出PF的长度． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标； （3）将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值． 【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 （2）点的坐标为 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，轴对称-最短路径问题，勾股定理，正确地求出函数的解析式是解题的关键． （1）根据已知条件列方程求得，得到反比例函数的表达式为，求得，解方程组即可得到结论； （2）如图，作点A关于y轴的对称点E，连接交y轴于P，则此时，的周长最小，根据轴对称的性质得到，得到直线的解析式为，当时，，于是得到点P的坐标为； （3）将直线向下平移a个单位长度后得直线的解析式为，得到，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：一次函数与反比例函数的图象交于点，， ， ， 反比例函数的表达式为， 把代入得， ， ， ， 把，代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于， 此时，的周长最小， 点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点， 直线的解析式为， ，， ， ， 解得或． 26. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值． 【深入探究】 （2）在纸片绕点旋转到如图2所示，当时．求的面积． 【拓展延伸】 （3）如图3，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长． 【答案】（1）；（2） 12 ；（3） 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到； （2）如图 2 ，过点作于点，根据等腰三角形的性质得到，根据矩形的性质得到，求得，根据三角形的面积公式得到； （3）连接，延长交于点，连接交于点，延长交于点，根据（1）得，由是中线，得到，根据全等三角形的性质得到，根据矩形的性质得到，根据勾股定理得到，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理得到；求得，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）∵． 在和中， ， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， 即， ， ， ； （2）如图2，过点作于点， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， 故； （3）连接，延长交于点，连接交于点，延长交于点，根据（1）得， ， ∵是中线， ， ， ， ，即， ， ， 在和中， ， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形矩形， ∴， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， ， 设，则， 在和中， ， ， ， 由直角三角形中，由勾股定理得：， ， 解得：； ， ， ， ， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理的判定和应用，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $