精品解析：山东省潍坊市安丘市2024—2025学年上学期九年级数学期末考试试题

2024-2025学年第一学期期末学业质量监测 九年级数学 2025.1 注意事项： 1、本试题满分150分，考试时间为120分钟； 2、答卷前，请将试卷和答题纸上的项目填涂清楚； 3、请在答题纸相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 第I卷（选择题，44分） 一、选择题（共6小题，每小题4分，共24分．每题四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 方程中的根是（ ） A. B. ， C. D. 2. 小亮掷一枚质地均匀的正方体骰子，则向上一面的点数为3的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，四边形内接于，，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线向右平移4个单位，再向上平移5个单位，所得抛物线的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．若点，，都在格点上，则的值为（ ） A B. C. D. 6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象可以为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分） 7. 一元二次方程的两根为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，以点为圆心，4为半径作圆．下列说法正确是（ ） A. 与x轴相切，切点为 B. 坐标原点在圆外 C. 与y轴相切，切点为 D. 与y轴相交，所得的弦长为 9. 抛物线上部分点的坐标如下表，则下列说法正确的是（ ） x 0 1 y … … A. 抛物线开口向下 B. 对称轴为直线 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 抛物线的顶点坐标为 10. 如图，在正八边形中，连接，，，H，与交于点．则下列说法错误的是（） A. B. C. 点关于的对称点在上 D. 第II卷（非选择题，106分） 三、填空题（共4小题，共16分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分） 11. 计算：_______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为，于B，交于点D，且则点B的坐标为_______． 13. 如图，阴影部分是一个半圆形铁片剪掉一个小半圆后的余料．已知与图中小半圆相切于点E，且，测得的长为4，则余料的面积为_______． 14. 如图，曲线是顶点为B，且与y轴交于点A的抛物线的一部分，曲线是双曲线的一部分，由点C开始不断重复“A-B-C”的过程，形成一组波浪线，点与均在该波浪线上，则_______． 四、解答题（共8小题，共90分．写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）用配方法解一元二次方程：． （2）将二次函数化为顶点式． 16. 某校对九年级学生参与“力学”“热学”“光学”“电学”四个类别的物理实验情况进行了抽样调查，每位同学仅选其中一个类别，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的频数分布表和扇形统计图（图1），请根据图表提供的信息，解答下列问题： 类别 频数（人数） 频率 力学 0.5 热学 8 光学 20 0.25 电学 12 （1）求m值． （2）求表示参与“热学”实验的扇形圆心角的度数． （3）参与“电学”实验的同学在做“灯泡亮了”的实验时，提出如下问题． 如图2，电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光，若随机闭合其中的两个开关，用画树状图或列表的方法求小灯泡发光的概率． 17. 潍坊世纪环球中心为潍坊市区内的最高建筑（图1），某数学兴趣小组开展了测量该建筑高度的实践活动，具体过程如下： 【建立模型】如图2，在该建筑左右两侧的地面上选取C，D两处，分别测量建筑顶端A的仰角，且点B，C，D在同一水平直线上，图上所有点均在同一平面内． 【实地测量】小莹同学用测角仪在点C处测得点A的仰角α为，小亮同学用测角仪在点D处测量点A的仰角β为，测得C，D两点间的距离约为． 【解决问题】已知测角仪的高度为，求潍坊世纪环球中心高的值．（结果精确到1，参考数据： ，，） 18. 如图，在中，经过A，B两点的⊙O与边BC交于点E，圆心O在BC上，过点O作交⊙O于点D，连接AD交BC于点F，且． （1）试判断AC与⊙O位置关系，并说明理由； （2）若，．求图中阴影部分的面积（结果保留）． 19. 已知正方形的面积为16，点是坐标原点，点在轴上，点在轴上，点，在函数的图象上，点坐标为且．过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、．若矩形在正方形外的部分（阴影）面积为S． （1）求B点的坐标和k的值； （2）写出S关于m的函数关系式； （3）当时，求点P的坐标． 20. 经过市场调查发现：某种文具进货价为20元/件，按24元/件销售，每天可售出320件，且单价每涨价1元，每天销售量就减少20件．设售价为x元/件(x≥24)，每天销售量为y件，每天销售利润为w元． （1）分别求出y与x，w与x的函数表达式； （2）当该文具每天的销售利润为1500元时，求这种文具的售价； （3）当该文具的售价定为多少时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 21. 在用描点法画二次函数的图象时，小亮选取了组，的对应值（如下表的图象所示），以表中每个有序实数对作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的各点，并用平滑的曲线从左向右顺次连接各点，便得到了函数的图象． x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 9 4 1 0 1 4 9 （1）请说明：二次函数图象上，两点之间图象不是线段． （2）证明：反比例函数在第一象限内的图象满足随的增大而减小． 22. 如图1，在中， ．点P从点A出发，沿线段向终点C匀速运动；点Q同时从点A出发，沿折线A-B-C向终点C匀速运动，P，Q两点同时到达点C，连接．设点P运动的路程为x，的面积为y．经探究发现在某范围内y 是关于x的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，已知图2中，点D的横坐标为5，点E的坐标为，请根据图1和图2的信息回答问题． （1）写出图象上点D表示的实际意义为： ； （2）分别求出线段的长和点D的坐标； （3）在P，Q运动的过程中，的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出的正切值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期期末学业质量监测 九年级数学 2025.1 注意事项： 1、本试题满分150分，考试时间为120分钟； 2、答卷前，请将试卷和答题纸上的项目填涂清楚； 3、请在答题纸相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 第I卷（选择题，44分） 一、选择题（共6小题，每小题4分，共24分．每题四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 方程中的根是（ ） A. B. ， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法．方程利用因式分解法转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】解：方程， 所以或， 解得：． 故选：D． 2. 小亮掷一枚质地均匀的正方体骰子，则向上一面的点数为3的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了概率公式，注意掌握概率=所求情况数与总情况数之比．由骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，点数为3的倍数的有2个，利用概率公式直接求解即可求得答案． 【详解】解：∵骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，点数为3的倍数的有2个， ∴向上一面的点数为3的倍数的概率为． 故选：B． 3. 如图，四边形内接于，，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系．连接，由圆周角定理得到，由圆心角，弧，弦之间的关系得到，据此求解即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， 故选：C． 4. 将抛物线向右平移4个单位，再向上平移5个单位，所得抛物线的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换．根据二次函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”解答即可． 【详解】解：∵原二次函数可化为， ∴将抛物线向右平移4个单位，再向上平移5个单位，所得抛物线的函数表达式是，即， 故选：B． 5. 如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．若点，，都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，锐角三角函数，正确添加辅助线是解题的关键． 连接，先证明为直角三角形，即可求解． 【详解】解：连接， ，， ， ∴，即为直角三角形， ， 故选：A． 6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查一次函数，二次函数系数及常数项与图象位置之间关系．本题形数结合，一次函数，可判断a、c的符号；根据二次函数的图象位置，可得a，c的符号，比较即可得解． 【详解】解：A、函数中，，，中，，，故本选项不符合题意； B、函数中，，，中，，，故选项不符合题意； C、函数中，，，中，，，故本选项不符合题意； D、函数中，，，中，，，故本选项不符合题意； 故选：B． 二、选择题（共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分） 7. 一元二次方程的两根为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系即可判断． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴，， ∴A错误，B正确； ， ∴C错误； ， ∴D正确． 故选：BD． 8. 在平面直角坐标系中，以点为圆心，4为半径作圆．下列说法正确的是（ ） A. 与x轴相切，切点为 B. 坐标原点在圆外 C. 与y轴相切，切点为 D. 与y轴相交，所得的弦长为 【答案】AB 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质，点与圆的位置关系，垂径定理．根据点，求得点到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，到原点的距离为，于是得到结论． 【详解】解：∵点的坐标，如图， ∴点到x轴的距离为，到y轴的距离为， 到原点的距离为， ∵以点为圆心，4个单位长度为半径作圆， ∴原点O在外，与x轴相切，切点为， 与y轴相交，两个交点为C、D， ∵，，， ∴， ∴， ∴所得的弦长为， 故选项A，B符合题意，选项C、D不符合题意， 故选：AB． 9. 抛物线上部分点的坐标如下表，则下列说法正确的是（ ） x 0 1 y … … A. 抛物线开口向下 B. 对称轴为直线 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 抛物线的顶点坐标为 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征．根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决． 【详解】解：由表格中点，，可知对称轴是直线，故B正确，符合题意； 根据对称轴是直线，当时，y随x的增大而减小，可知抛物线开口向下，故A正确，符合题意； 所以，当时，y随x的增大而增大，故C错误，不符合题意； 根据对称轴是直线可知顶点为故D正确，符合题意； 故选：ABD． 10. 如图，在正八边形中，连接，，，H，与交于点．则下列说法错误的是（） A. B. C. 点关于的对称点在上 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正八边形的性质得到，得到，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，求得，得到点与点关于点对称，根据圆周角定理得到，都是的直径，求得，根据勾股定理得到，故可判断；在上截取，连接，则、，求得，得到，得到，于是得到，故可判断B；作于点，则，过作于并延长交，设，由，得到，求得，根据相似三角形的性质得到，推出点关于的对称点在上，故可判断C；根据矩形的面积公式得到,，于是得到，故可判断D． 【详解】解：解：正八边形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 点与点关于点对称， 为正八边形的中心，即正八边形的外接圆的圆心， 都是的直径， ， ， ， 故A正确，不符合题意； 在上截取，连接，则， ， ， ， ， ， ， ， 故B错误，符合题意； 作于点，则，过作于并延长交于， ， ， ， ， ， ， ， ， 点关于的对称点在上， 故C正确，不符合题意； ，则， ， 四边形是矩形， ， ， 故D正确，不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查正多边形的性质，正多边形的内角、中心角，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，多边形的面积和梯形的面积等知识点,解题的关键是掌握正多边形的性质． 第II卷（非选择题，106分） 三、填空题（共4小题，共16分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分） 11. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值进行计算即可，熟练掌握特殊角的三角函数值，是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为，于B，交于点D，且则点B的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质及相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意得出，进而得出，再结合得出，进一步得出，最后利用相似三角形的性质即可解决问题． 详解】解：， ， ， 又， ， ， ， ， ∵点的坐标为，点的坐标为， ， ， ∴点的坐标为． 故答案为：． 13. 如图，阴影部分是一个半圆形铁片剪掉一个小半圆后的余料．已知与图中小半圆相切于点E，且，测得的长为4，则余料的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．设小半圆的圆心为P点，连接，过O点作于H点，连接，如图，根据切线的性质得到，根据垂径定理得到，再证明四边形为矩形得到，所以余料的面积，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：设小半圆的圆心为P点，连接，过O点作于H点，连接，如图， ∵与图中小半圆相切于点E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴余料的面积=大半圆的面积-小半圆的面积 ． 故答案为：． 14. 如图，曲线是顶点为B，且与y轴交于点A的抛物线的一部分，曲线是双曲线的一部分，由点C开始不断重复“A-B-C”的过程，形成一组波浪线，点与均在该波浪线上，则_______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质．依据题意可得，A，C之间的水平距离为6，点Q与点P的水平距离为1，A，B之间的水平距离为2，双曲线解析式为，依据点、点B离x轴的距离相同，都为6，即点P的纵坐标，点离x轴的距离相同，都为4，即点Q的纵坐标，即可得到的值． 【详解】解：由图可得，A，C之间的水平距离为6， ， 由抛物线可得，顶点，即A，B之间的水平距离为2， ∴点、点B离轴的距离相同，都为6，即点P的纵坐标， 由抛物线解析式可得，即点C纵坐标为2， ∴， ∴， ∴双曲线解析式为， ，故点Q与点P的水平距离为1， ∵点、之间的水平距离为1， ∴点的横坐标， ∴在中，令，则， ∴点与点Q的纵坐标， ∴， 故答案为：24． 四、解答题（共8小题，共90分．写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）用配方法解一元二次方程：． （2）将二次函数化为顶点式． 【答案】（1），；（2）． 【解析】 【分析】本题考查了配方法解方程及化二次函数一般式为顶点式． （1）移项后两边同时加上一次项系数一半的平方即可配方，然后用直接开平方法解方程即可； （2）加上一次项系数一半的平方，再减去加上一次项系数一半的平方，即可得解． 【详解】解：（1）整理得，， 两边同时加上1，， 配方得：， ∴， ∴，； （2）． 16. 某校对九年级学生参与“力学”“热学”“光学”“电学”四个类别的物理实验情况进行了抽样调查，每位同学仅选其中一个类别，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的频数分布表和扇形统计图（图1），请根据图表提供的信息，解答下列问题： 类别 频数（人数） 频率 力学 0.5 热学 8 光学 20 0.25 电学 12 （1）求m的值． （2）求表示参与“热学”实验的扇形圆心角的度数． （3）参与“电学”实验的同学在做“灯泡亮了”的实验时，提出如下问题． 如图2，电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光，若随机闭合其中的两个开关，用画树状图或列表的方法求小灯泡发光的概率． 【答案】（1）40 （2）36° （3） 【解析】 【分析】（1）根据光学人数和频率即可得出总人数，再用总人数乘以0.5即可求出m的值； （2）用360°乘以参与“热学”实验的人数所占的百分比即可得出答案； （3）依据题意先画树状图得出所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率． 【小问1详解】 ∵20÷0.25=80（人）， ∴m=80×0.5=40； 故答案为：40； 【小问2详解】 参与“热学”实验的扇形圆心角的度数是：360°×=36°； 【小问3详解】 画树状图如图： 共有12种等可能的情况数，能使小灯泡发光的有6种情况， 则使小灯泡发光的概率是． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 17. 潍坊世纪环球中心为潍坊市区内的最高建筑（图1），某数学兴趣小组开展了测量该建筑高度的实践活动，具体过程如下： 【建立模型】如图2，在该建筑左右两侧的地面上选取C，D两处，分别测量建筑顶端A的仰角，且点B，C，D在同一水平直线上，图上所有点均在同一平面内． 【实地测量】小莹同学用测角仪在点C处测得点A的仰角α为，小亮同学用测角仪在点D处测量点A的仰角β为，测得C，D两点间的距离约为． 【解决问题】已知测角仪的高度为，求潍坊世纪环球中心高的值．（结果精确到1，参考数据： ，，） 【答案】潍坊世纪环球中心高的值约为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．连接交于点M，根据题意可得：，，，然后设，则，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：连接交于点M， 由题意得：，，， 设，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴潍坊世纪环球中心高的值约为． 18. 如图，在中，经过A，B两点的⊙O与边BC交于点E，圆心O在BC上，过点O作交⊙O于点D，连接AD交BC于点F，且． （1）试判断AC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若，．求图中阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】（1）与相切，理由见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）先等腰三角形的性质可得，，再根据角的和差、等量代换可得，然后根据圆的切线的判定即可得出结论； （2）过点作于点，设，先在中，利用勾股定理求出的值，再利用直角三角形的性质可得，然后利用扇形的面积减去的面积即可得． 【详解】（1）与相切，理由如下： ， ， ， ， 又， ， ， ， ，即， ， 是的半径， 是的切线， 即与相切； （2）如图，过点作于点， 设， ， ， 在中，，即， 解得， ， ， ， ， 在中，， 则阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、扇形的面积公式等知识点，熟练掌握圆的相关性质是解题关键． 19. 已知正方形的面积为16，点是坐标原点，点在轴上，点在轴上，点，在函数的图象上，点坐标为且．过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、．若矩形在正方形外的部分（阴影）面积为S． （1）求B点的坐标和k的值； （2）写出S关于m的函数关系式； （3）当时，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2）； （3）点的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合等知识点． （1）先根据正方形的面积公式可得，从而可得点的坐标，再利用待定系数法即可得的值； （2）先将点代入反比例函数解析式可得，利用矩形的面积公式即可得； （3）根据（2）的结果，求出时，的值，由此即可得出答案． 【小问1详解】 解：正方形的面积为16， ， ， 将点代入得：； 【小问2详解】 解：由（1）得：反比例函数的解析式为， 将点代入得：， 如图， 则，， ， ； ∴关于的函数关系式为； 【小问3详解】 解：由题意得，， 解得， ∵， 则， 即此时点的坐标为． 20. 经过市场调查发现：某种文具进货价为20元/件，按24元/件销售，每天可售出320件，且单价每涨价1元，每天销售量就减少20件．设售价为x元/件(x≥24)，每天销售量为y件，每天销售利润为w元． （1）分别求出y与x，w与x的函数表达式； （2）当该文具每天的销售利润为1500元时，求这种文具的售价； （3）当该文具的售价定为多少时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）y与x的函数解析式是，w与x的函数解析式； （2）该文具的售价25元/千克或35元/千克； （3）当售价应定为30元/千克时，可获得最大利润，最大利润是2000元． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是利用二次函数的顶点式求函数的最值． （1）根据题意销售量（售价-24）可以写出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式，进而得出w与x的函数解析式； （2）根据代入，解一元二次方程，即可解答本题； （3）根据（1）中的函数解析式，化为顶点式即可解答本题． 【小问1详解】 解：由题意可得，， ， ∴y与x的函数解析式是，w与x的函数解析式； 【小问2详解】 解：∵每天销售利润为1500元， ∴， 解得，， 答：该文具的售价25元/千克或35元/千克； 【小问3详解】 解：∵， ， ∴当时，w取得最大值，此时， 答：当售价应定为30元/千克时，可获得最大利润，最大利润是2000元． 21. 在用描点法画二次函数的图象时，小亮选取了组，的对应值（如下表的图象所示），以表中每个有序实数对作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的各点，并用平滑的曲线从左向右顺次连接各点，便得到了函数的图象． x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 9 4 1 0 1 4 9 （1）请说明：二次函数图象上，两点之间的图象不是线段． （2）证明：反比例函数在第一象限内的图象满足随的增大而减小． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，二次函数图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解决本题的关键． （1）取二次函数图象上A(2，4)，B(3，9)两点之间的一个点的坐标，代入线段的解析式判断即可； （2）设点，，都是反比例函数图象上，且，所以，即随的增大而减小． 【小问1详解】 解：把代入， 得，， 点，在二次函数图象上， 设直线的解析式为， 由题意可知 解得， 直线的解析式为， 当时，， 线段上的点不在二次函数图象上， 二次函数图象上A(2，4)，B(3，9)两点之间的图象不是线段； 【小问2详解】 解：设点，，都是反比例函数在第一象限内的图象上的点，且， ， ， 即反比例函数在第一象限内的图象满足随的增大而减小． 22. 如图1，在中， ．点P从点A出发，沿线段向终点C匀速运动；点Q同时从点A出发，沿折线A-B-C向终点C匀速运动，P，Q两点同时到达点C，连接．设点P运动的路程为x，的面积为y．经探究发现在某范围内y 是关于x的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，已知图2中，点D的横坐标为5，点E的坐标为，请根据图1和图2的信息回答问题． （1）写出图象上点D表示的实际意义为： ； （2）分别求出线段的长和点D的坐标； （3）在P，Q运动的过程中，的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出的正切值． 【答案】（1）点Q恰好运动到点B处； （2），点D坐标为； （3）的大小不发生变化，． 【解析】 【分析】（1）观察图象即可发现当Q点在B点时y最大； （2）由P与Q同时到达C点，故其所走时间相等，那么两者的路程比=速度比，从而可得，所以，在中，由勾股定理有，据此可得，，当时，，故点D坐标为； （3）当时，作于点M，如图1，证明，可得，即，进而，，，再根据定义可求；当时，如图2，根据定义可求，综上，可得结论． 【小问1详解】 解：观察图象可知，当时，y最大，即的面积最大， 即当Q点在B点时y最大， 故答案为：点Q恰好运动到点B处； 【小问2详解】 解：当时，Q点走的路程为； 当时，Q点走的路程为． ∵P与Q同时到达C点，故其所走时间相等，那么两者的路程比=速度比， ∴， ∴， 在中，由勾股定理有，将代入， 解得， 由勾股定理可得， 则当时，， 故点D坐标为； 【小问3详解】 解：在P，Q运动的过程中，的大小不发生变化，理由如下： 如图1所示，当时，作于点M， ，， 则， ∵，设， ∵， ∴， ∴，即， ∴，，， ∴； 如图2所示，当时， ， ∴的大小不发生变化，． 【点睛】本题是一道以二次函数的综合问题，考查了二次函数性质，直角三角形的判定和性质，相似三角形的性质，结合题意读懂函数图象并结合分类讨论的数学思想分析是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$