1.1 等腰三角形和等边三角形 培优专练 2024-2025学年北师大版数学八年级下册

1.1 等腰三角形和等边三角形 培优专练 考试范围：1.1等腰三角形和等边三角形；考试时间：45分钟；总分：100分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一．选择题（共5小题，满分25分，每小题5分） 1．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠ACD的度数为（　　） A．70° B．100° C．110° D．140° 2．请阅读以下关于解答“在△ABC中，AB＝AC，求证：∠ABC＜90°”的过程： 证明：假设∠ABC⩾90°． ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB⩾90°． ∴∠ABC+∠ACB⩾180°． 这与“三角形三个内角的和等于180°”相矛盾． ∴假设不成立． ∴∠ABC＜90°． 这种证明方法是（　　） A．综合法 B．反证法 C．枚举法 D．归纳法 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝（　　） A．100° B．115° C．130° D．145° （1题图） （3题图） （4题图） 4．如图，等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12m．现将钢架立柱缩短成DE，∠BED＝60°．则新钢架减少用钢（　　） A．（24﹣12）m B．（24﹣8）m C．（24﹣6）m D．（24﹣4）m 5．凸五边形ABCDE，AB＝AE，BC＝DE，F是CD的中点．下列条件中，不能推出AF与CD一定垂直的是（　　） A．∠ABC＝∠AED B．∠BAF＝∠EAF C．∠BCF＝∠EDF D．∠ABD＝∠AEC 二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分） 6．用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步　 　． 7．如图，在中，D是上一点，，E，F分别是，的中点，，则的长为　 　 8．如图，在△ABC中，∠DCE＝40°，AE＝AC，BC＝BD，则∠ACB的度数为 　 　． 9．如图，△ABC中，D是AB上一点，CF∥AB，D、E、F三点共线，请添加一个条件 　 　，使得AE＝CE．（只添一种情况即可） （7题图） （8题图） （9题图） （10题图） 10．如图，等边三角形ABC中，BC＝6，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，且与AB，AC相交于点M，N，MN∥BC，则MN＝ 　 　． 三．解答题（共5小题，满分50分，每小题10分） 11．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数． 12．（10分）如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE． （1）求证：BE＝CD； （2）若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数． 13．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D． （1）若∠B＝36°，求∠CAD的度数； （2）若点E在边AC上，EF∥AB交AD的延长线于点F，求证：AE＝EF． 14．（10分）如图，点C在线段AD上，AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DE． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）若∠BAC＝60°，求∠ACE的度数． 15．（10分）如图，过边长为4的等边三角形的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交边AC于点D． （1）求证：D为PQ中点； （2）DE的长为 　 　． 参考答案 一．选择题（共5小题，满分25分，每小题5分） 1．解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∵∠A＝40°， ∴∠B＝∠ACB， ∵∠ACD是△ABC的一个外角， ∴∠ACD＝∠A+∠B＝40°+70°＝110°， 选：C． 2．解：本题第一步：假设命题的结论不成立， 第二步：从这个假设出发，经过推理论证，得出与“三角形三个内角的和等于180°”相矛盾， 第三步：由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确， 这种证明方法是反证法， 选：B． 3．解：在△ABC中，AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠BAC＝130°， ∴∠B＝∠C25°， ∵DA⊥AC， ∴∠DAC＝90°， ∴∠ADC＝90°﹣25°＝65°， ∴∠ADB＝180°﹣∠ADC＝180°﹣65°＝115°， 选：B． 4．解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°，AB＝BC＝AC＝12，BD＝6， ∴CD， ∵∠BED＝60°， ∴DE，BE＝AE， ∴减少用钢为（AB+AC+BC+CD）﹣（AE+BE+AB+DE）＝AC+BC+CD﹣AE﹣BE﹣DE＝24（cm）， 选：D． 5．选项A：连接AC、AD， ∵AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝DE， ∴△ABC≌△AED（SAS）， ∴AC＝AD， ∵F是CD的中点， ∴AF⊥CD，所以选项A不合题意； 选项B：连接BF、EF， ∵AB＝AE，∠BAF＝∠EAF，AF＝AF， ∴△ABF≌△AEF（SAS）， ∴∠AFB＝∠AFE，BF＝EF， ∴△BFC≌△EFD（SSS）， ∴∠BFC＝∠EFD， ∴∠BFC+∠AFB＝∠EFD+∠AFE，即∠AFC＝∠AFD＝90°， ∴AF⊥CD，所以选项B不合题意； 选项C：思路与选项B大致相同，先证△BFC≌△EFD（SAS），再证△ABF≌△AEF（SSS）， ∴∠BFC+∠AFB＝∠EFD+∠AFE，即∠AFC＝∠AFD＝90°， ∴AF⊥CD，所以选项C不合题意； 选项D 的条件无法证出全等，证不出AF⊥CD，所以选项D符合题意． 答案选：D． 二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分） 6．解：用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步是假设这个三角形是等腰三角形． 答案为这个三角形是等腰三角形． 7．答案：4 8．解：∵AC＝AE，BC＝BD， ∴设∠AEC＝∠ACE＝x°，∠BDC＝∠BCD＝y°， ∴∠A＝180°﹣2x°，∠B＝180°﹣2y°， ∵∠ACB+∠A+∠B＝180°，∠BDC+∠AEC+∠DCE＝180°， ∴∠ACB+（180°﹣2x）+（180°﹣2y）＝180°，180°﹣（x+y）＝∠DCE， ∴∠ACB+360°﹣2（x+y）＝180°， ∴∠ACB+2∠DCE＝180°， ∵∠DCE＝40°， ∴∠ACB＝100°， 答案为：100°． 9．解：∵CF∥AB， ∴∠A＝∠ECF，∠ADE＝∠CFE， ∴添加条件DE＝EF，可以使得△ADE≌△CFE（AAS）， 添加条件AD＝CF，可以使得△ADE≌△CFE（ASA）， 答案为：DE＝EF或AD＝CF（答案不唯一）． 10．解：连接AO，延长AO交BC于D， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝AC＝BC＝6， ∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠OBC＝∠OCB＝30°， ∴OB＝OC， ∴点O、A在BC的垂直平分线上， ∴AD⊥BC， ∴∠MAO∠BAC＝30°， ∵MN∥BC， ∴AO⊥MN， ∴∠AOM＝90°， ∴OMAM， ∵BO平分∠ABC， ∴∠MBO＝∠OBD， ∵MN∥BC， ∴∠MOB＝∠OBD， ∴∠MBO＝∠MOB， ∴OM＝BM， ∴BMAM， ∴OM＝MBAB＝2， 同理：ONAC＝2， ∴MN＝OM+ON＝4． 答案为：4． 三．解答题（共5小题，满分50分，每小题10分） 11．证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 在△DBE和△ECF中 ， ∴△DBE≌△ECF（SAS）， ∴DE＝EF， ∴△DEF是等腰三角形； （2）∵△DBE≌△ECF， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠B（180°﹣40°）＝70° ∴∠1+∠2＝110° ∴∠3+∠2＝110° ∴∠DEF＝70° 12．（1）证明：如图，过点A作AF⊥BC于F， 由条件可知BF＝CF， ∵AD＝AE，AF⊥BC， ∴DF＝EF， ∴BF+EF＝CF+DF， 即BE＝CD； （2）解：由条件可知△ADE是等边三角形， ∴∠DAE＝∠ADE＝60°， ∵AD＝BD， ∴∠DAB＝∠DBA， 又∠DAB+∠DBA＝∠ADE＝60°， ∴， ∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝30°+60°＝90°． 13．（1）解：∵AB＝AC，AD⊥BC于点D， ∴∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝90°， ∵∠B＝36°， ∴∠BAD＝90°﹣∠B＝54°， ∴∠CAD＝54°； （2）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC于点D， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵EF∥AB， ∴∠F＝∠BAD， ∴∠F＝∠CAD， ∴AE＝EF． 14．（1）证明：在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（SAS）． （2）解：由（1）得△ABC≌△ADE， ∴AC＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠AEC＝∠ACE， ∵∠AEC+∠ACE＝2∠ACE＝180°﹣∠DAE＝120°， ∴∠ACE＝60°， ∴∠ACE的度数是60°． 15．（1）证明：过点P作PF∥BC，交AC于F，如图所示： ∵△ABC为等边三角形且边长且为4， ∴AC＝4，∠A＝∠B＝60°， ∵PF∥BC， ∴∠APF＝∠B＝60°，∠DPF＝∠Q， ∴△APF为等边三角形， ∴PA＝PF， ∵PA＝CQ， ∴PF＝CQ， 在△DPF和△DQC中， ， ∴△DPF≌△DQC（AAS）， ∴PD＝QD， 即点D为PQ中点； （2）解：由（1）可知：△DPF≌△DQC，△APF为等边三角形， ∴DF＝DC， ∵△APF为等边三角形，PE⊥AC， ∴AE＝FE， ∴DE＝DF+EF＝CD+AEAC＝2． 答案为：2． 学科网（北京）股份有限公司 $$