1.1 等腰三角形同步练习2024-2025学年北师大版数学八年级下册

1.1等腰三角形 一．选择题（共5小题） 1．（2024秋•巢湖市期末）如图，AD，BE分别为△ABC的高线和角平分线，AF⊥BE于点F．若AC＝BC，∠C＝40°，则∠EAF的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 2．（2024秋•海曙区期末）已知一个等腰三角形的两条边长分别是2和4，则这个等腰三角形的周长是（　　） A．8 B．10 C．4或8 D．6或10 3．（2024秋•锦江区校级期末）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE＝48°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（　　） A．22° B．23° C．24° D．25° 4．（2024秋•高邮市期末）如图，已知AD平分△ABC中的∠BAC，过点D作AD⊥BD，点E是边AC的中点，连接若DC＝AC＝4，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 5．（2024秋•仓山区期末）如图，A，B，C，D，E五点都在小正方形网格的格点上，则下列各组点能构成等腰三角形的是（　　） A．A，B，C B．B，C，D C．A，D，E D．A，C，E 二．填空题（共5小题） 6．（2024秋•海曙区期末）如图△ABP，∠B＝45°，∠APB＝120°，延长BP至C，连接AC． （1）若PC＝PA，则∠C＝　 　； （2）若PC＝2PB，则∠C＝　 　． 7．（2024秋•江都区期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，腰AB的长为6，则△ABC的周长为 　 　． 8．（2024秋•丽水期末）如图，△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，∠BAD＝24°，AD＝AE，∠EDC＝　 　度． 9．（2024秋•鼓楼区校级期末）如图，已知点M是等边三角形ABC的边AB上的一点，若∠AMC＝103°，则在以线段AM，BM，CM为边围成的三角形中，最小内角的度数为 　 　°． 10．（2024秋•合川区期末）如图，在等边三角形ABC中，D为BC边的中点，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥DE交AC于点F，若BE＝2，则AF的长为　 　． 三．解答题（共5小题） 11．（2024秋•巢湖市期末）如图，△ABC中，∠A＝36°，D在边AC上，AD＝BD＝BC，求∠DBC的度数． 12．（2024秋•长沙期末）已知：如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且AB＝AC，AP＝AQ．求证：BP＝CQ． 13．（2024秋•大足区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数． 14．（2024秋•钢城区期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝6，∠A＝40°，ED垂直平分AB，点D为垂足，交AC于点E，连接BE． （1）求△EBC的周长； （2）求∠EBC的度数． 15．（2024秋•平潭县期末）如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M． （1）求∠E的度数． （2）求证：M是BE的中点． 1.1等腰三角形 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 答案 B B C B A 一．选择题（共5小题） 1．（2024秋•巢湖市期末）如图，AD，BE分别为△ABC的高线和角平分线，AF⊥BE于点F．若AC＝BC，∠C＝40°，则∠EAF的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【考点】等腰三角形的判定与性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠BAC（180°﹣∠C）（180°﹣40°）＝70°，根据角平分线的定义得到∠ABE∠ABC＝35°，根据三角形的内角和定理即可得到结论． 【解答】解：∵AC＝BC，∠C＝40°， ∴∠ABC＝∠BAC（180°﹣∠C）（180°﹣40°）＝70°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE∠ABC＝35°， ∴∠AEB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABE＝75°， ∵AF⊥BE， ∴∠AFE＝90°， ∴∠EAF＝90°﹣∠AEF＝15°， 故选：B． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 2．（2024秋•海曙区期末）已知一个等腰三角形的两条边长分别是2和4，则这个等腰三角形的周长是（　　） A．8 B．10 C．4或8 D．6或10 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】B 【分析】分2是腰长与底边长两种情况讨论求解． 【解答】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4， ∵2+2＝4， ∴不能组成三角形， ②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4， 能组成三角形， 周长＝2+4+4＝10， 综上所述，它的周长是10． 故选：B． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判定． 3．（2024秋•锦江区校级期末）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE＝48°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（　　） A．22° B．23° C．24° D．25° 【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】C 【分析】由平行线的性质推出∠DFE＝∠BAE＝48°，由等腰三角形的性质得到∠C＝∠E，由三角形的外角性质求出∠E∠DFE＝24°． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠DFE＝∠BAE＝48°， ∵CF＝EF， ∴∠C＝∠E， ∵∠C+∠E＝∠DFE， ∴∠E∠DFE＝24°． 故选：C． 【点评】本题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，关键是由平行线的性质推出∠DFE＝∠BAE，由等腰三角形的性质得到∠C＝∠E． 4．（2024秋•高邮市期末）如图，已知AD平分△ABC中的∠BAC，过点D作AD⊥BD，点E是边AC的中点，连接若DC＝AC＝4，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【考点】等腰三角形的判定与性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力． 【答案】B 【分析】延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O，根据垂直定义得到∠ADB＝∠ADH＝90°，求得∠ABD＝∠H，得到AB＝AH，根据等腰三角形的性质得到BD＝DH，推出∠CDH＝∠H，求得CD＝CH＝AC，推出当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为4×4＝8． 【解答】解：延长BD交AC于点H，设AD交BE于点O， ∵AD⊥BH， ∴∠ADB＝∠ADH＝90°， ∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠H+∠HAD＝90°， ∵∠BAD＝∠HAD， ∴∠ABD＝∠H， ∴AB＝AH， ∵AD⊥BH， ∴BD＝DH， ∵DC＝CA， ∴∠CDA＝∠CAD， ∵∠CAD+∠H＝90°，∠CDA+∠CDH＝90°， ∴∠CDH＝∠H， ∴CD＝CH＝AC， ∵AE＝EC， ∴S△ABES△ABH，S△CDHS△ABH， ∵S△OBD﹣S△AOE＝S△ADB﹣S△ABE＝S△ADH﹣S△CDH＝S△ACD， ∵AC＝CD＝4， ∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为4×4＝8． ∴图中两个阴影部分面积之差的最大值为8， 故选：B． 【点评】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键． 5．（2024秋•仓山区期末）如图，A，B，C，D，E五点都在小正方形网格的格点上，则下列各组点能构成等腰三角形的是（　　） A．A，B，C B．B，C，D C．A，D，E D．A，C，E 【考点】等腰三角形的判定． 【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的判定解决问题． 【解答】解：如图，△ABC是等腰三角形． 故选：A． 【点评】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是掌握等腰三角形的判定． 二．填空题（共5小题） 6．（2024秋•海曙区期末）如图△ABP，∠B＝45°，∠APB＝120°，延长BP至C，连接AC． （1）若PC＝PA，则∠C＝　60°　； （2）若PC＝2PB，则∠C＝　75°　． 【考点】等腰三角形的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先根据平角的定义求出∠APC＝60°，再根据等边对等角和三角形内角和定理求解即可； （2）如图所示，过点C作CE⊥AP于E，连接BE，求出∠PCE＝30°得到PC＝2PE，可以推出PB＝PE，则∠PBE＝∠PEB＝30°，证明∠EBC＝∠ECB，得到CE＝BE，证明∠ABE＝∠BAE＝15°，得到BE＝AE，即可推出AE＝CE，则∠ACE＝∠CAE＝45°，从而得到∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝75°． 【解答】解：（1）∵∠APB＝120°， ∴∠APC＝180°﹣∠APB＝60°， ∵PC＝PA， ∴， 故答案为：60°； （2）如图所示，过点C作CE⊥AP于E，连接BE， ∵∠APB＝120°， ∴∠APC＝180°﹣∠APB＝60°， ∴∠PCE＝180°﹣∠PEC﹣∠EPC＝30°， ∴PC＝2PE， ∵PC＝2PB， ∴PB＝PE， ∴， ∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBP＝15°，∠EBC＝∠ECB， ∴CE＝BE，∠BAE＝∠BEP﹣∠ABE＝15°， ∴∠ABE＝∠BAE＝15°， ∴BE＝AE， ∴AE＝CE， ∴∠ACE＝∠CAE＝45°， ∴∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝75°， 故答案为：75°． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 7．（2024秋•江都区期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，腰AB的长为6，则△ABC的周长为 　15　． 【考点】等腰三角形的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】15． 【分析】分两种情况：当等腰三角形的底边长BC是腰长AB的2倍时，当等腰三角形的腰长AB是底边长BC的2倍时，然后分别进行计算即可解答． 【解答】解：分两种情况： 当等腰三角形的底边长BC是腰长AB的2倍时， ∵腰长AB＝AC＝6， ∵底边BC的长为12， ∵6+6＝12， ∴不能组成三角形； 当等腰三角形的腰长AB是底边长BC的2倍时， ∵腰长AB＝AC＝6， ∴底边BC的长为3， ∴△ABC的周长为：6+6+3＝15， 综上所述：△ABC的周长为15， 故答案为：15． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，分两种情况讨论是解题的关键． 8．（2024秋•丽水期末）如图，△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，∠BAD＝24°，AD＝AE，∠EDC＝　12　度． 【考点】等腰三角形的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】12． 【分析】根据题意可判断出AD为角平分线，所以∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE． 【解答】解：在△ABC中，D为BC中点，AB＝AC，∠BAD＝24°，BD＝DC， ∴AD为角平分线，AD⊥BC； 又∵AD＝AE，∠DAE＝24°， ∴∠ADE＝78° 又∵AD⊥BC， ∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣78°＝12°． 故答案为：12． 【点评】本题考查了等腰三角形的中线、高和垂线三线合一的性质，以及角的度量运算．得到AD⊥BC是正确解答本题的关键． 9．（2024秋•鼓楼区校级期末）如图，已知点M是等边三角形ABC的边AB上的一点，若∠AMC＝103°，则在以线段AM，BM，CM为边围成的三角形中，最小内角的度数为 　17　°． 【考点】等边三角形的判定与性质． 【专题】三角形；推理能力． 【答案】17． 【分析】将△CBM绕点C顺时针60°旋转得到△CAQ，可得以AM，BM，CM线段为边的三角形，即△AMQ，最小的锐角为∠AQM，根据邻补角以及旋转的性质得出∠CQA＝∠CMB＝77°，进而即可求解． 【解答】解：如图所示，将△CBM绕点C顺时针60°旋转得到△CAQ， ∴CM＝CQ，∠MCQ＝60°，BM＝AQ，∠AQC＝∠BMC， ∴△CMQ为等边三角形， ∴MQ＝CM， ∴以AM，BM，CM线段为边的三角形，即△AMQ，最小的锐角为∠AQM， ∵∠AMC＝103°， ∴∠CMB＝180°﹣103°＝77°， ∴∠CQA＝∠CMB＝77°， ∴∠PQC＝77°﹣60°＝17°． 故答案为：17． 【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理． 10．（2024秋•合川区期末）如图，在等边三角形ABC中，D为BC边的中点，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥DE交AC于点F，若BE＝2，则AF的长为　4　． 【考点】等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形． 【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力． 【答案】4． 【分析】证得△BDE为含30度角的直角三角形，△CDF为等边三角形，△ADF为等腰三角形，进而得到AF＝DF＝CD＝BD＝2EB，即可得解． 【解答】解：在等边三角形ABC中，D为BC边的中点， ∴∠B＝∠C＝60°，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠CAD＝30°，BD＝CD， ∵DE⊥AB交AB于点E， ∴∠EDB＝30°， ∴BD＝2BE， ∵∠ADE＝∠ADB﹣∠BDE＝60°， ∵DF⊥DE交AC于点F， ∴∠ADF＝∠EDF﹣∠ADE＝30°， ∴∠CDF＝∠ADC﹣∠ADF＝60°，∠ADF＝∠DAF， ∴DF＝AF，∠DFC＝180°﹣∠FDC﹣∠FCD＝60°， ∴△CDF为等边三角形， ∴AF＝DF＝CD＝BD＝2EB， ∵BE＝2， ∴AF＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握含30度角的直角三角形的性质． 三．解答题（共5小题） 11．（2024秋•巢湖市期末）如图，△ABC中，∠A＝36°，D在边AC上，AD＝BD＝BC，求∠DBC的度数． 【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】36°． 【分析】根据等腰三角形的性质、三角形外角性质及三角形内角和定理求解即可． 【解答】解：∵BD＝AD， ∴∠A＝∠ABD＝36°， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°， ∵BD＝BC， ∴∠BDC＝∠BCD＝72°， ∴∠DBC＝180°﹣72°﹣72°＝36°． 【点评】此题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角性质，熟练运用有关定理是解答本题的关键． 12．（2024秋•长沙期末）已知：如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且AB＝AC，AP＝AQ．求证：BP＝CQ． 【考点】等腰三角形的性质． 【专题】证明题． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得BO＝CO，PO＝QO，根据等式的性质，可得答案． 【解答】证明：过点A作AO⊥BC于O． ∵AB＝AC，AO⊥BC ∴BO＝CO ∵AP＝AQ，AO⊥BC ∴PO＝QO ∴BO﹣PO＝CO﹣QO ∴BP＝CQ． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，利用线段垂直平分线的性质是解题关键． 13．（2024秋•大足区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数． 【考点】等腰三角形的判定与性质． 【专题】计算题；证明题． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，BE＝CF，BD＝CE．利用边角边定理证明△DBE≌△ECF，然后即可求证△DEF是等腰三角形． （2）根据∠A＝40°可求出∠ABC＝∠ACB＝70°根据△DBE≌△ECF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数． 【解答】证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 在△DBE和△ECF中 ， ∴△DBE≌△ECF（SAS）， ∴DE＝EF， ∴△DEF是等腰三角形； （2）∵△DBE≌△ECF， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠B（180°﹣40°）＝70° ∴∠1+∠2＝110° ∴∠3+∠2＝110° ∴∠DEF＝70° 【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题主要应用了三角形内角和定理和平角是180°，因此有一定的难度，属于中档题． 14．（2024秋•钢城区期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝6，∠A＝40°，ED垂直平分AB，点D为垂足，交AC于点E，连接BE． （1）求△EBC的周长； （2）求∠EBC的度数． 【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】（1）16；（2）30°． 【分析】（1）由于 ED 垂直平分AB，所以AE＝BE，三角形EBC的周长等于BE+EC+BC．由于AE ＝ BE，周长也可以表示为 AE+EC+BC，即 AC+BC．已知AC＝10，BC＝ 6，所以周长为 10+6＝16． （2）根据线段的垂直平分线的性质写出答案即可． 【解答】解：（1）∵ED 垂直平分AB， ∴AE＝BE， ∴△EBC的周长＝BE+EC+BC ＝ AE+EC+BC ＝ AC+BC ＝ 10+6 ＝ 16； （2）∵ED 垂直平分 AB， ∴AE＝BE， ∴∠A＝∠ABE＝40°， ∴AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣40°）÷2＝70°； ∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝70°﹣40°＝30°； 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，解题时注意：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 15．（2024秋•平潭县期末）如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M． （1）求∠E的度数． （2）求证：M是BE的中点． 【考点】等边三角形的性质；含30度角的直角三角形． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由等边△ABC的性质可得：∠ACB＝∠ABC＝60°，然后根据等边对等角可得：∠E＝∠CDE，最后根据外角的性质可求∠E的度数； （2）连接BD，由等边三角形的三线合一的性质可得：∠DBC∠ABC60°＝30°，结合（1）的结论可得：∠DBC＝∠E，然后根据等角对等边，可得：DB＝DE，最后根据等腰三角形的三线合一的性质可得：M是BE的中点． 【解答】（1）解：∵三角形ABC是等边△ABC， ∴∠ACB＝∠ABC＝60°， 又∵CE＝CD， ∴∠E＝∠CDE， 又∵∠ACB＝∠E+∠CDE， ∴∠E∠ACB＝30°； （2）证明：连接BD， ∵等边△ABC中，D是AC的中点， ∴∠DBC∠ABC60°＝30° 由（1）知∠E＝30° ∴∠DBC＝∠E＝30° ∴DB＝DE 又∵DM⊥BC ∴M是BE的中点． 【点评】此题考查了等边三角形的有关性质，重点考查了等边三角形的三线合一的性质． 学科网（北京）股份有限公司 $$