1 第2课时 等腰三角形的特殊性质和等边三角形的性质-【名校课堂】2024-2025学年八年级下册数学同步课时训练（北师大版 2012）

第2课时 等腰三角形的特殊性质和等边三角形的性质 A基础题- 知识点1 等腰三角形中相等的线段 1.如图,在△ABC中,AB=AC,ABC和 之ACB的平分线BD,CE相交于点O,则下 B 第5题图 第6题图 列结论不一定正确的是 ( _~_ 6.(教材习题变式)如图,在等边三角形ABC A.BD-CE B.AE-AD 中,BD,CE是两条中线,则1的度数为 C.OC-DC D. ABD- ACE 7.(教材习题变式)如图,△ABC是等边三角形; D.E在直线BC上,DB=EC.求证:D E. 第1题图 第2题图 2.如图,在△ABC中,CA=CB,AD|BC,BE AC.AB-5,AD-4,则AE-. 3.如图,在△ABC中,AB=AC,中线BD和CE 相交于点O.求证:CE一BD 8.如图,等边三角形ABC的边长为1.求; (1)高AD的长. (2)等边三角形ABC的面积 知识点2 等边三角形的性质 4.如图,△ABC是等边三角形,D在边AC上; DBC-40{*,则 ADB的度数为 ) A.25* B.60* C.90* D.100。 5.如图,在等边三角形ABC中,AD为△ABC 的角平分线,若BD一2,则 BAD的度数为 ,AC的长为_. 4 名校·数学1.八年下·5 B中档题 C综合题 9.(2024·泰安)如图,直线(//m,等边三角形 14.(教材习题变式)如图1,△ABC为等边三角 ABC的两个顶点B,C分别落在直线7,m上. 形,M是线段BC上任意一点,N是线段CA 若 /ABE-21{,则 /ACD的度数是 上任意一点,且BM=CN,BN与AM相交 A.45。 E 于点Q. B.39{* (1)求证:AM-BN C.29。 (2)求 BQM的度数 D.21。 (3)如图2,若M.N两点分别在线段BC,CA 10.(教材习题变式)如图,在△ABC中,AB一 的延长线上,其他条件不变,(1)中的结 ABC,ACE= 论是否仍然成立?如果成立,请加以证 明;如果不成立,请说明理由. ACB,且BD一3,则CE的长为 BD与CE (填“相等”或“不相 等”). 图1 图2 #### 第10题图 第12题图 11.在平面直角坐标系中,已知等边三角形ABC 的顶点坐标为A(-1,0),B(1,0),则顶点C 的坐标为 12.如图,A.C,B三点在同一条直线上,△DAC 和△EBC都是等边三角形,AE与CD相交 于点M,BD与CE相交于点N.下列结论; ①△ACE△DCB:②CM=CN;③AC= DN.其中正确的是 .(填序号) 13.如图,在等边三角形ABC中,D是边AC上 的一点,点E在边BC的延长线上,若BD ED,CD=CE.求证:D为AC的中点 就 -: 5参考答案 第一章三角形的证明 :DE∥BC,∴∠CBD-∠EDB..∠EBD-∠EDB.BE-DE (2)CD=ED.理由如下，'AB=AC,,,∠C=∠ABC,DE∥BC, 1等腰三角形 ∠ADE ∠C.∠AED ∠ABC..∠ADE ∠AED..AD 第1课时全等三角形和等腰三角形的性质 AE.,.CD=BE.由(I)可知BE=DE,.CD=ED. 1.∠ACB ∠DBC(客案不唯一 13.解：(1)25°小(2)30°(3)当点D运动到∠ADB=110°或80 2.解：(1)证明：AD=BE,.AD+BD=BE+BD.即AB=DE,在 时，△ADE是等腰三角形，理由：若∠ADB=110,则∠ADC A报三门四 70.:AB=AC,,∠C=∠B=40,.∠DAC=70.在△ADE中 △ABC和△DEF中.AC-DF,.△ABC≌△DEF(SSS). ∠iDE=40·∠DAE=7.∠AED=180-40 70°=70 BC=EF. ,∠AED=∠DAE.,DA=DE,即△ADE是等腰三角形：若 (2)∠A=55.∠E=45,由(1)可知，△AC2△DEF,∠A ∠BDA=80°.则∠ADC=100.,∠C=40',,.∠DAE=40 ∠FDE=55,∴.∠F■180-（∠FDE+∠E=180°-(55”+45）=80 二∠ADE-∠DAE.·△ADE是等楼三角形 微专题1 3.(1)50°(2)84°4.66°5.40° 6.解：：AD=DC..∠DAC=∠C=35..∠ADB=∠DAC+∠C 1.122.70°3.B 70:AB=AD,:∠B=∠ADB=70,∠BAD=180-ZB- 小专题1“三线合一”巧解题 ∠ADB=180-70°0°=40 4=∠D 7.B8.49.5510.23或19【变式】2411.4D I.证明：在△ABE和△DE中，∠AEB=∠DEC,△ABE≌ 【变式170或40°12.40或140°13.B14.(2,0)15.30 1 16.CDLAB-于点D∠BCD-∠BAC证明：过点A作AELBC △DCE(AAS),,BE=(CE.,F是BC的中点，.EF⊥BC 2.解：(1)”AB一AC一10，F是BC的中点，∴AF⊥BC根据勾股定 于点E.AB=AC,∴∠BAE=∠CAE=I ∠BAC.:AELBC. 理，得BF=√AB-AF=6.(2)连接CD.BF=6,F是C的中 .∠BAE+∠B=90,,CD⊥AB,.∠BCD+∠B=90 点B批=12.六S△m=乞BC·AF=48.D是AB的中点， ∠BCD-∠BAE-Z∠BAC ∴Sm=Sm=21.AC-10.Sm=AC·DE=5DE. 17,解：(1)15(2)20°(3)∠BAD=2∠EDC.证明：：AD=AE ∴.∠AED-∠ADE.AB=AC,∴.∠B-∠C.∠AED-∠CDL ·5DE=24,解得DE-24 +∠C,∴.∠B+∠BAD=∠ADC=∠CDE+∠ADE=∠CDE+ ∠CDE+∠CDE+∠C.∴.∠BAD-2∠CDE. 3.证明：过点A作AP⊥BC于点P,AB=AC,∴.BP=PC.AD AE,,.DP=PE..BP一DP=PC一PE,即BD=CE 第2课时等腰三角形的特殊性质和等边三角形的性质 +.证明：过点A作AM⊥BC于点M.AB=AC,∠BAC 12.3 2∠BAM.AD=AE,÷∠D=∠AED.∠BAC=∠D+∠AED .证明：，AB=AC,.∠ABC=∠ACB.,BD和CE为△ABC的中 =2∠D..∠BAC=2∠BAM=2∠D.∠BAM=∠D..DE 线，∴.BE=AB,CD=号AC..BE-CD.在△BEC和△CDB AM.AM⊥B,.DE BC. 5.证明：连接O.AC=B,∠ACB=90,O为AB的中点，.∠B= BE=CD. 中 ∠CBE-∠BCD,∴.△BEC≌△CDB(SAS).CE=BD, BC=CB. ∠EOC-∠FOB. 4.D5.30°46.120 △C和△F)B中， 0=(OB, .△E(C△FE 7.证明：：△AB是等边三角形，六AB=AC∠ABC∠ACB60 ∠OCE-∠B, ∠ABD-∠ACE-120.在△ABD和△ACE中. (ASA)..OE=OF. AB=AC 第4课时等边三角形的判定与含3角的直角三角形的性质 ∠ABD-∠ACE,.△ABD2△ACE(SAS)..∠D-∠E. 2. DB-EC. 3.证明：DC-DB.∠B-30..∠DCB-∠B-30.∴.∠ADC- 8.解：(1)△ABC为等边三角形，且边长为1，AB=BC=CA=1. ∠DB+∠B=0.又，AD=D,,△AD(是等边三角形. 'AD⊥BC,∴.BD=CD= 之BC=,∠ADB=BO,在R△ABD 4.E明：CE∥DA, ∠A∠BEC又∠A-∠B,∠B- ∠BEC∠EB=60,∠B=∠BEC=60,△BCE是等边三 中，由勾股定理，得AD=V小一D=复(2)S=号C 角形， 5.C6.B AD-子×1×9- 7.E明：：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30,∴BC=号AB 24 ∠B=60°.，CD⊥AB,.∠CDB=90,∠BCD=30°..BD= 9.B10.3相等11.(03)或(0，-3)12.①@ 13.证明：，△ABC是等边三角形，，∠ACB=∠ABC=60.CD ZBCBD=AB,即AB=BD CE,∴.∠E-∠CDE.∠ACB-∠E+∠CDE..∠E-∠CDE= 8.249.210.1.5 Z∠ACB=×60=30.:BD=ED.∠CBD=∠E=30 IL.解：连接BD.AB=AD=50cm∠A=60”.△ABD是等边三 角形.，AB一AD=BD=0Hm,∠ABD-60°.，∠ABC-105, ,∴.∠ABD=∠AB ∠CBD=60 -30°=30°，∠ABD= ·∠CBD=45.,'∠C=45,.CD=BD=50mm∠CDB=90, ∠CBD.△ABC是等边三角形..D为AC的中点 14.解：(1)证明：△ABC为等边三角形， AB-∠C-60, .BC=√D平BD=50√2cm,.该机翼（四边形ABCD)的周 AB=BC. 长为50+50+50+502(150+502)cm, AB-BC.在△AMB和△BNC中，∠ABM-∠C,.△AMB≌ 12,解：(1)证明：过点M作MQ∥B,交AC于点Q,在等边三角形 BM=CN. AB中：∠A∠B∠ACB=60:MQ/BC:乙AMQ △BNC(SAS).,.AM-BN.(2)△AMB≌ABNC..∠MAB- B=60,∠AQ.M=∠AB=60,∠QMP ,△AMQ是等 ∠N ∠BQM=∠MAB+ ABQ= NBC+ ∠ABQ 边三角形..AM-QM:AM-CN..QM-CN.在△QMP和 ∠ABC-60.(3)成立.证明：：△ABC是等边三角形，·AB ∠QP ∠PN, BC. C∠ACB=60.在△4M和△CN中· △CNP中， ∠QMP-∠N,.△QMP≌△CNP(AAS). OM-CN. ∠ABM=∠BCN.·△ABM≌△BCN(SAS)..AM=BN. .MP-NP.(2),△AMQ是等边三角形，MH⊥AC,.AH BM-CN, 第3课时等腰三角形的判定与反证法 HQ.'△QMP≌△CNP.QP=CP.PH=HQ+QP=zAC 1B2.B3.24.÷ 5.(1)3(2)2 AB-AC-a...PH- 20 6.证明：，'BD是等边三角形ABC的中线，，BD⊥AC,∠ACB=60 微专题2 ∠DBC-30.BD-DE. ZE-ZACB-80-CDE-3DD-CECDE E 1.122.43.B 小专题2分类讨论思想在等腰三角形中的应用 T.证明：BE=CF,∴.BE+EF=CF+EF,即BF=CE.在△ABF和 1.C2.B3.B4.65.C6.357.26戌38 AB=DC. 8.10或80或20或1409.65或2510.D △DCE中，∠B=∠C,∴.△ABF2△DCE(SAS)..∠AFB= BF-CE. 2直角三角形 ∠DEC,p∠GFE=∠GEF,.GE=GF, 第1课时直角三角形的性质与判定 8.B9.三角形的三个内角都大于6010.4011.120或75或30 1.C2.123.65+.(4,3) 12.解：(1)证明：BD是△ABC的角平分线，.∠CBD=∠EBD 5.解：，AD是边BC上的高，.∠ADB=90.,∠EPD=125, 5人下·多*答常41