精品解析：河南省开封市五县联考2024-2025学年高二下学期开学质量检测数学试题

2024-2025学年河南省开封市五县高二（下）开学数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线在轴的截距为（ ） A. -3 B. C. D. 3 2. 已知椭圆的长半轴长等于焦距的3倍，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线的方程为，则该双曲线的焦距为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 已知数列为等比数列，若，是方程的两个不相等的实数根，则（ ） A. 5 B. C. 4 D. 5. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知实数x，y满足，则的取值范围为（ ） A B. C D. 7. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作斜率为正且与双曲线的某条渐近线垂直的直线与双曲线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，已知直线与交于点，点是抛物线上一个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知在正项等比数列中，，，则（ ） A. 的公比为2 B. 的通项公式为 C. D. 数列为递增数列 10. 若方程所表示的曲线为，则下列命题正确的是（ ） A. 曲线可能是圆 B. 若曲线为椭圆，则且 C. 若曲线为焦点在轴上的椭圆，则 D. 若曲线为双曲线，则 11. 已知圆：，若圆与圆关于直线对称，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的标准方程为 B. 过点可作圆的切线有两条 C. 若分别为圆，圆上的点，则两点间的最大距离为 D. 若E，F为圆上的两个动点，且，则线段EF的中点的轨迹方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12 已知，设直线，，若，则______． 13. 已知抛物线的准线是圆与圆的公共弦所在的直线，则抛物线的标准方程为______． 14. 将数列与数列的公共项从小到大排列得到数列，则使得成立的的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，且． （1）证明：数列等比数列； （2）设数列满足，求的前项和． 16. 已知圆关于轴对称且经过点和． （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆交于，两点；若，求直线的方程． 17. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，. （1）求证：平面PBD； （2）若，求平面PAB与平面PBD所成锐二面角的余弦值. 18. 已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列.且，，，. （1）求，的通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）若，求数列的前2n项和. 19. 已知椭圆的焦距为，离心率为，左，右顶点分别为，． （1）求椭圆标准方程； （2）已知点，若点是椭圆上的一点，求的最小值； （3）已知直线的斜率存在，且与椭圆交于，两点（，与，不重合），直线斜率为，直线斜率为，若，请问直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年河南省开封市五县高二（下）开学数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线在轴的截距为（ ） A. -3 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】直接令即可得到答案. 【详解】令，得，所以直线在轴的截距为． 故选：C． 2. 已知椭圆长半轴长等于焦距的3倍，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用椭圆的长轴及焦距列式求解离心率即可. 【详解】设椭圆长轴长，焦距，则，即． 故选:B． 3. 已知双曲线的方程为，则该双曲线的焦距为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的方程求出半焦距即可. 【详解】双曲线的实半轴长，虚半轴长，则半焦距， 所以该双曲线的焦距为 故选：D 4. 已知数列为等比数列，若，是方程两个不相等的实数根，则（ ） A. 5 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由韦达定理结合等比数列性质即可求解； 【详解】由题意可得，解得． 故选：D． 5. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用空间向量法计算线面角正弦值即可. 【详解】设与所成角的大小为，则． 故选:A． 6. 已知实数x，y满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式求解． 【详解】已知实数x，y满足， 则的轨迹方程为， 其轨迹为圆心为，半径为1的圆， 设，即， 由题意可得：，则 故选：B 7. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作斜率为正且与双曲线的某条渐近线垂直的直线与双曲线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图利用点线距和勾股定理求出，过点作于，推理可得，根据解三角形和双曲线的定义可得，即可求离心率. 【详解】令双曲线的半焦距为，则， 令直线与双曲线的渐近线垂直的垂足为， 于是，， 如图，过点作于，则， 而为线段的中点，所以，， 因为，所以， ，， 由双曲线定义得，即，解得． 故该双曲线的离心率为． 故选：A． 8. 在平面直角坐标系中，已知直线与交于点，点是抛物线上一个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线方程可得其所过定点，根据两直线位置关系可得其焦点的轨迹，根据抛物线的定义与圆外一点到圆上点的距离最值问题，结合图象，可得答案. 【详解】直线，即，可知直线过定点； 直线，即，可知直线过定点； 且，则， 可知点在以为直径的圆上，此时圆心为，半径． 因为抛物线的焦点为，准线为， 且点是抛物线上一动点，则，即， 可得， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 又因为，当且仅当点在线段上时，等号成立， 即， 所以的最小值为． 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知在正项等比数列中，，，则（ ） A. 的公比为2 B. 的通项公式为 C. D. 数列为递增数列 【答案】AC 【解析】 【分析】应用等比数列的基本量运算求出公比及通项判断A，B，C，再结合对数运算计算判断单调性判断D. 【详解】设等比数列的公比为，依题意，，，所以， 又，所以，即， 所以，，A，C正确，B错误； 对于D，，则数列为递减数列，D错误． 故选：AC． 10. 若方程所表示的曲线为，则下列命题正确的是（ ） A. 曲线可能是圆 B. 若曲线为椭圆，则且 C. 若曲线为焦点在轴上的椭圆，则 D. 若曲线为双曲线，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由圆、椭圆、双曲线方程的结构特点逐项判断即可； 【详解】对于A选项，若曲线表示圆，则，解得，即曲线可能是圆，A正确； 对于B选项，若曲线为椭圆，则，解得且，B错误； 对于C选项，若曲线为焦点在轴上的椭圆，则，解得，C正确； 对于D选项，若曲线为双曲线，则，解得，D正确． 故选：ACD． 11. 已知圆：，若圆与圆关于直线对称，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的标准方程为 B. 过点可作圆的切线有两条 C. 若分别为圆，圆上的点，则两点间的最大距离为 D. 若E，F为圆上的两个动点，且，则线段EF的中点的轨迹方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意，根据圆与圆关于直线对称，得到圆的圆心和半径，进而可判断A；根据点在上，则过该点有且仅有一条切线，可判断B；要求两点间的最大距离，先求，代入计算即可判断C；设EF中点为P，结合垂径定理即可判断D. 【详解】对于A：易知圆，其圆心为，半径为1， 因圆与圆关于对称，故圆圆心为，半径为1， 故圆的标准方程为，故A正确； 对于B：易知点在上，故过点有且仅有一条切线，即B错误； 对于C：易知，故C正确； 对于D：设EF中点为P，则， 因为圆的半径为1，由垂径定理可知， 设，因，则可得 故点P的轨迹方程为，故D正确． 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，设直线，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由两直平行得到，求解并验证即可； 【详解】因为直线，，， 所以，即， 当时，直线重合，舍去， 当时，符合题意； 故； 故答案为： 13. 已知抛物线的准线是圆与圆的公共弦所在的直线，则抛物线的标准方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用两圆方程相减后求出公共弦方程，再结合抛物线的性质求解即可； 【详解】两圆的公共弦方程为， 所以，所以抛物线的标准方程为． 故答案为：． 14. 将数列与数列的公共项从小到大排列得到数列，则使得成立的的最小值为______． 【答案】170 【解析】 【分析】通过公共项确定通项公式即可求解； 【详解】由题意，与的公共项为1，13，25，37，…， 故，所以，解得， 所以的最小值为170． 故答案：170 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，且． （1）证明：数列是等比数列； （2）设数列满足，求的前项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由，的关系作差即可判断； （2）由（1）求得，再由等差数列、等比数列的求和公式即可求解； 【小问1详解】 当时，，即， 当时，联立 ①－②，可得， 即， 所以， 又，所以是以2为首项，2为公比的等比数列； 【小问2详解】 由（1）可得，则，， 所以 ． 16. 已知圆关于轴对称且经过点和． （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆交于，两点；若，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意，设到和的距离相等代入求解t，再求半径即可；（2）利用直线与圆的弦长公式求解. 【小问1详解】 因为圆关于轴对称，所以圆心在轴上， 设，由于圆经过和，所以到和的距离相等， 所以，解得， 此时半径， 所以圆的标准方程为； 【小问2详解】 取中点，连接，易知为直角三角形， 因为，，所以， 即圆心到直线的距离为， 当直线斜率不存在时，直线方程为，到其距离为1，不符合题意； 当直线斜率存在时，设为，直线方程为，化成一般式：， 所以，解得或， 故直线的方程为或． 17. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，. （1）求证：平面PBD； （2）若，求平面PAB与平面PBD所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）取AB中点E，连接DE，由勾股定理确定，再结合即可求证； （2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解； 【小问1详解】 因为，，，所以四边形ABCD为直角梯形， 取AB中点E，连接DE，则，易知四边形BCDE为正方形， 则，， 所以，所以 因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 因为，平面PBD，平面PBD，所以平面PBD. 【小问2详解】 由（1）可知，PD，AD，BD两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，， 设平面PAB的一个法向量，则，即， 令，，故. 由（1）可知平面PBD，所以是平面PBD的一个法向量，记作， 记平面PAB与平面PBD的夹角为，则. 所以平面PAB与平面PBD所成锐二面角的余弦值为. 18. 已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列.且，，，. （1）求，的通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）若，求数列的前2n项和. 【答案】（1），； （2）； （3） 【解析】 【分析】(1)由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，进而得到所求； (2)由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和； (3)由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和． 【小问1详解】 是等差数列，是各项都为正数的等比数列，设公差为d，公比为， 由，，，，可得，， 解得：负的舍去， 则，； 【小问2详解】 数列的前n项和， ， 两式相减可得， 化为； 【小问3详解】 ， 则数列的前2n项和 . 19. 已知椭圆的焦距为，离心率为，左，右顶点分别为，． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点，若点是椭圆上的一点，求的最小值； （3）已知直线的斜率存在，且与椭圆交于，两点（，与，不重合），直线斜率为，直线斜率为，若，请问直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）过定点，定点坐标为 【解析】 【分析】（1）可根据焦距和离心率求出、的值； （2）可设出点坐标，根据两点间距离公式结合椭圆方程和二次函数求解； （3）可设出直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理结合已知条件求解. 【小问1详解】 由题意，， 所以，，， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 设，则有， ，， 当时，最小值， 所以最小值为； 【小问3详解】 连接，设直线斜率为，，， ， 因为，所以， 设直线为， 联立，可得， 即， 所以，， 因为， 所以， 即， 即， 化简得， 解得或（舍去）， 所以直线的方程为， 所以存在定点，定点为． 【点睛】方法点睛：处理圆锥曲线直线过定点问题，常用方法有： 特殊值法：先通过特殊情况确定定点可能的位置，比如取斜率为或不存在时，求出两条直线交点，再验证一般情况直线是否过此点. 直线方程变形法：设出直线方程，将其整理成关于参数的表达式，令参数的系数为，解方程组得到定点坐标.像本题设直线为，经计算得到与关系后，把直线方程变形为，令，就求出定点. 韦达定理法：联立直线与圆锥曲线方程，利用韦达定理得到两根之和与两根之积，再结合已知条件找出参数关系，进而确定定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$