精品解析：湖北省襄阳市第四中学2024-2025学年高一下学期2月月考数学试题

襄阳四中2024级高一年级2月月考 数学试卷 一、单选题 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 已知幂函数在上单调递减，则（ ） A. 2 B. 16 C. D. 3. 已知且，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 在直角坐标系中，设角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，将角的终边逆时针旋转，与单位圆交点的纵坐标为，则（ ） A. B. C. D. 5. 要得到函数的图象，只需要将函数y＝cosx的图象（ ） A. 向左平行移动个单位长度，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变． B. 向左平行移动个单位长度，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变． C. 向右平行移动个单位长度，横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变． D. 向右平行移动个单位长度，横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变． 6. 已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 若定义域均为的函数，满足：，且，使得，则称与互为“亲近函数”已知与互为“亲近函数”，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数恰有两个对称中心在区间上，且，则的所有可能取值之和是（ ） A. 6 B. C. D. 16 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若函数的定义域为[0，2]，则函数的定义域为[0，1] B. 若函数过定点，则函数经过定点 C. 幂函数 在是增函数 D. 图象关于点成中心对称 10. 已知角满足，则（ ） A. 0 B. C. D. 11. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（ ） A. 的周期为2 B. C. 的所有零点之和为14 D. 三、填空题 12. 函数的对称中心为________. 13. 若函数，则的解集为____________ 14. 已知实数，若对任意，不等式恒成立，则的最大值为______． 四、解答题 15. 已知角顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点． （1）求； （2）求的值； （3）若角是三角形内角，且，求的值． 16. 已知函数. （1）求该函数的单调递增区间； （2）若对任意，都有，求实数的取值范围. 17. 已知函数. （1）当时，求函数f（x）在x∈[﹣1，1]上的值域； （2）若函数f（x）在实数集R上存在零点，求实数a的取值范围． 18. 筒车发明于隋而盛于唐，是山地灌溉中一种古老的提水设备，距今已有1000多年的历史，它以水流作动力，取水灌田.如图，为了打造传统农耕文化，某景区的景观筒车直径12米，有24个盛水筒均匀分布，分别寓意一年12个月和24节气，筒车转一周需48秒，其最高点到水面的距离为10米，每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，盛水筒（视为质点）的初始位置到水面的距离为7米.（定义盛水筒在水面上时距离为正，在水面下时距离为负） （1）盛水筒经过秒后到水面的距离为米，求筒车转动一周的过程中，关于的函数解析式； （2）为了把水引到高处，在筒车中心正上方距离水面8米处正中间设置一个宽4米的水平盛水槽，筒车受水流冲击转到盛水槽正上方后，把水倒入盛水槽，求盛水筒转一圈的过程中，有多长时间能把水倒入盛水槽.（参考数据：） 19. 已知函数，如果对于定义域内的任意实数及给定的非零常数，总存在非零常数，恒有成立，则称函数是上的“级递减类周期函数”，类周期为；若恒有成立，则称函数是上的“级类周期函数”，类周期为． （1）判断函数是不是上的类周期为1的“2级递减类周期函数”，并说明理由． （2）已知是在上的“级类周期函数”，类周期，且在上严格单调递增，当时，．求当时，函数的解析式，并求实数的取值范围． （3）是否存在非零实数，使函数是上的类周期为的“级类周期函数”？给出结论并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 襄阳四中2024级高一年级2月月考 数学试卷 一、单选题 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因为对数的真数大于0，所以解三角不等式可得答案. 【详解】要使函数的定义域为：， 则，解不等式得：, 所以函数的定义域为. 故选：D 2. 已知幂函数在上单调递减，则（ ） A. 2 B. 16 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意列出方程组，求得m的值，即得函数解析式，代入求值可得答案. 【详解】由题意得，解得， 所以，故, 故选：D 3. 已知且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据指数式对数式互化求出，再根据换底公式转化，再根据求解即可. 【详解】由，得，即， 所以，所以. 故选:C. 4. 在直角坐标系中，设角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，将角的终边逆时针旋转，与单位圆交点的纵坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】有三角函数的定义得，然后利用二倍角的余弦公式求出，求解即可. 【详解】将角的终边逆时针旋转，与单位圆交点的纵坐标为， 所以，所以， 所以， 故选：B. 5. 要得到函数的图象，只需要将函数y＝cosx的图象（ ） A. 向左平行移动个单位长度，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变． B. 向左平行移动个单位长度，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变． C. 向右平行移动个单位长度，横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变． D. 向右平行移动个单位长度，横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变． 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用三角函数图象的平移和伸缩变换,得到由y＝cosx变换为的方式. 【详解】解:要得到函数的图象,只需要将函数y＝cosx的图象向左平移个单位, 得到y＝cos(x),再把横坐标缩短为原来的,纵坐标不变即可. 故选:B. 【点睛】本题考查了三角函数图象的平移和伸缩变换,属基础题. 6. 已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象结合五点法可得，即可得函数解析式. 【详解】设的最小正周期为， 由图可知，，即，且，所以， 此时，将代入得， 即，且，则， 可得，解得，所以. 故选：D. 7. 若定义域均为的函数，满足：，且，使得，则称与互为“亲近函数”已知与互为“亲近函数”，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的单调性知是的唯一零点，根据“亲近函数”的定义可知在内存在零点，利用换元法，分离参数后结合对勾函数的性质，即可求解. 【详解】在上为增函数，且， 故是的唯一零点，要使和互为“亲近函数”， 则存在，使得，即在内存在零点， 所以方程有解， 令，则， 故，易知不是此方程的解 当时，有， 由对勾函数的性质可知，， 故的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：关键在于弄清“亲近函数”的定义，求得的唯一零点，从而可得在内存在零点，结合换元法求解即可. 8. 已知函数恰有两个对称中心在区间上，且，则的所有可能取值之和是（ ） A. 6 B. C. D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质结合对称中心个数分类求出的值. 【详解】函数，其最小正周期， 由函数在区间上恰有两个对称中心，得， 即，解得，又， 则当是函数图象对称轴时，，解得， 此时或，或； 当与为周期长的区间两个端点时，，解得，符合题意， 所以的所有可能取值之和是. 故选：D 【点睛】关键点点睛：由在区间上的对称中心个数得求出范围，再结合函数值相等分类求解是关键. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若函数的定义域为[0，2]，则函数的定义域为[0，1] B. 若函数过定点，则函数经过定点 C. 幂函数 在是增函数 D. 图象关于点成中心对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据抽象函数定义域判断A；根据函数图像平移判断BD；根据幂函数的性质判断C. 【详解】对于A，若函数的定义域为，则函数的定义域为，故A错误； 对于B，函数向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数图像， 由于过定点，故函数经过定点，B正确； 对于C，幂函数 在是减函数，由于，定义域为， ，为偶函数，故幂函数 在是增函数，故C正确； 对于D，，其图像由向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到， 且图像关于原点对称，故图像关于点成中心对称，D正确. 故选：BCD 10. 已知角满足，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知条件可得，然后利用同角三角函数的关系求出，再化简计算即可得答案 【详解】由，得， 所以，则， 化简整理得， 所以，或， 当时，， 所以当时，， 当时，， 当时，， 故选：ACD 11. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（ ） A. 的周期为2 B. C. 的所有零点之和为14 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意由的奇偶性和对称性分析的周期可判断A选项；结合已知和对称性得，，，，进而利用周期性求和可判断B选项；将的零点转化为函数图象的交点问题即可求解C选项；结合与的函数值的符号，根据奇函数的性质和周期性可判断D选项. 【详解】为偶函数，， ，且函数的图象关于直线对称， 又是定义在上的奇函数，，， ，且函数的图象关于点对称， 函数的周期为4，故A错误； 当时，，， 而，，， ，故B正确； 函数的零点可看作与的图象交点的横坐标， 作出与的图象， 观察图象知，直线与的图象共有7个交点，且它们关于点成中心对称， 所有零点之和为，故C正确； 当时，，，与均为奇函数， 则当时，，， 当时，， 又与的周期都为4， 在上成立，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：(1)关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立；(2)关于周期：若，或，可知函数的周期为. 三、填空题 12. 函数的对称中心为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正切函数的对称中心求解. 【详解】令，解得， 所以的对称中心为， 故答案为： 13. 若函数，则的解集为____________ 【答案】 【解析】 【分析】做出函数的大致图象，结合函数的单调性，把，转化为，即可求解. 【详解】由题意，做出函数的大致图象， 如图所示，可得函数在上单调递减函数， 又由，可得，解得， 即的解集为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了分段函数的性质，其中解答中当题设条件中出现“”此类不等式问题时，头脑中应当联想使用函数的单调性进行解题是解答的关键，着重考查了推理论证能力以及数形结合思想. 14. 已知实数，若对任意，不等式恒成立，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将原恒成立问题转化为求，利用辅助角公式及三角函数的性质求得最值，然后对分类讨论去绝对值求其最值即可. 【详解】当对对任意，不等式恒成立时， 又 ，， 而， 当且仅当时等号成立， 故 所以，即， 要取最大值， 则必有，两边平方整理得， 所以当时，， 当时，， 所以，所以， 当时，， 所以，所以， 当时，， 所以，所以， 当时，， 所以，所以， 综上所述：的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用辅助角公式及三角函数的性质求出，另外遇到绝对值可以分类讨论去绝对值处理. 四、解答题 15. 已知角顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点． （1）求； （2）求的值； （3）若角是三角形内角，且，求的值． 【答案】（1）； （2） （3）或1 【解析】 【分析】（1）根据角终边过点，利用三角函数的定义求解； （2）由（1）得到，根据，利用商数关系求解； （3）由，得到，由（1）得到，再和，利用两角差的正弦公式求解. 【小问1详解】 解：因为角终边过点， 所以点P到原点的距离为， 所以； 【小问2详解】 由（1）知：， 所以， ； 【小问3详解】 因为是三角形内角，且， 所以， 由（1）知：， 所以， 当时，， ； 当时，， . 16. 已知函数. （1）求该函数的单调递增区间； （2）若对任意，都有，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）易得，再利用正弦函数的性质求解； （2）由得到，根据，得到，则由求解. 【小问1详解】 ， ， 令，，则，， 故该函数的单调递增区间，； 【小问2详解】 对任意，都有可得， 所以， 又，所以， 要满足对任意，都有，则有， 解得：， 所以实数的取值范围为. 17. 已知函数. （1）当时，求函数f（x）在x∈[﹣1，1]上的值域； （2）若函数f（x）在实数集R上存在零点，求实数a的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）函数化简为，再利用换元，转化为基本不等式求函数的值域；（2）转化为，再通过换元转化为有正根，分，和三种情况讨论，求的取值范围. 【详解】（1）根据题意，当时，，设t＝2x，则， ∴，； （2），即 令，所以（*）有正根，设（*）的两根为t1，t2 当a＜0时，即可，即1+8a≥0，解得； 当a＝0时，t＝1符合； 当a＞0时，，显然符合题意， 故实数a的取值范围． 【点睛】本题考查与指数函数有关的二次函数，一般都需通过换元，转化为二次函数分析问题，需注意换元时，中间变量的取值范围. 18. 筒车发明于隋而盛于唐，是山地灌溉中一种古老的提水设备，距今已有1000多年的历史，它以水流作动力，取水灌田.如图，为了打造传统农耕文化，某景区的景观筒车直径12米，有24个盛水筒均匀分布，分别寓意一年12个月和24节气，筒车转一周需48秒，其最高点到水面的距离为10米，每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，盛水筒（视为质点）的初始位置到水面的距离为7米.（定义盛水筒在水面上时距离为正，在水面下时距离为负） （1）盛水筒经过秒后到水面的距离为米，求筒车转动一周的过程中，关于的函数解析式； （2）为了把水引到高处，在筒车中心正上方距离水面8米处正中间设置一个宽4米的水平盛水槽，筒车受水流冲击转到盛水槽正上方后，把水倒入盛水槽，求盛水筒转一圈的过程中，有多长时间能把水倒入盛水槽.（参考数据：） 【答案】（1）， （2）秒 【解析】 【分析】（1）首先以点为原点，建立平面直角坐标系，利用三角函数表示； （2）由题意转化为，转化为三角不等式问题，即可求解. 【小问1详解】 以简车中心为原点，与水面平行的直线为轴建立平面直角坐标系， 由题知，， 又筒车半径为6，点的纵坐标为3，则， 由题知，，解得，， 故，； 【小问2详解】 如图，作弦平行且等于盛水槽，则在中， ，，，则， 则距离水面的高度， 盛水筒转到盛水槽的正上方（即之间），能把水倒入盛水槽， 即当时符合题意， 则，即，解得， 因为，所以盛水筒转一圈的过程中，能把水倒入盛水槽的时间为秒. 19. 已知函数，如果对于定义域内的任意实数及给定的非零常数，总存在非零常数，恒有成立，则称函数是上的“级递减类周期函数”，类周期为；若恒有成立，则称函数是上的“级类周期函数”，类周期为． （1）判断函数是不是上的类周期为1的“2级递减类周期函数”，并说明理由． （2）已知是在上的“级类周期函数”，类周期，且在上严格单调递增，当时，．求当时，函数的解析式，并求实数的取值范围． （3）是否存在非零实数，使函数是上的类周期为的“级类周期函数”？给出结论并证明你的结论． 【答案】（1）函数是上的类周期为1的2级递减类周期函数，理由见解析 （2）， （3）存在，证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用P级递减周期函数定义，计算验证作答. （2）根据给定条件，利用P级周期函数定义，依次计算时解析式，根据规律写出结论作答. （3）假定存在符合题意的k值，利用P级周期函数定义列出方程，探讨方程解的情况即可作答. 【小问1详解】 依题意，函数的定义域是， ， 即任意成立，所以函数是上的类周期为1的2级递减类周期函数． 【小问2详解】 因为是在上的级类周期函数，类周期，所以， 即，而当时，， 当时，，； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则． 并且有当时，；当时，；当时，；当时，． 因为在上严格单调递增，则有解得， 所以当时，，且． 【小问3详解】 假定存在非零实数，使函数是上的类周期为的级类周期函数， 即任意，恒有成立，则任意， 恒有成立， 即任意，恒有成立． 当时，，则， 于是得，要使恒成立，则有： 当，即时，由函数与的图象存在交点知，方程有解， 此时恒成立，则，即； 当，即时，若，则，，无解． 若，即，令，即，由和的图象可知，，两者无交点，故无解． 综上，，符合题意，其中满足． 【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $