精品解析：湖北襄阳市致远中学2025-2026学年高一下学期质量检测数学试题（4）3.28

襄阳致远中学2025级高一下学期质量检测 3.28（4） 一、单选题 1. 设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】判断每个选项中的向量是否共线，即可判断出答案. 【详解】由于是平面内的一个基底，故不共线， 和不共线，故A能构成基底， 和共线，故B不能构成基底， 和不共线，故C能构成基底， 根据向量的加减法法则可知和不共线，故D能构成基底， 故选：B 2. 已知平面向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程，解方程即可求出的值. 【详解】因为， 所以. 因为，所以 所以. 解得. 故选：C. 3. 在中，角的对边分别为，若，，，则角等于（ ） A. 30° B. 60° C. 30°或60° D. 60°或120° 【答案】A 【解析】 【详解】由正弦定理，代入已知条件 ，，， 可得， 由三角形"大边对大角"的性质， ， 因此 . 4. 已知是两个单位向量，且向量在向量上的投影向量为，则向量的夹角（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用投影向量的定义计算可得，进而可求夹角的大小. 【详解】向量在向量上的投影向量为， 解得，所以，解得. 故选：A. 5. 已知中，角，，所对的边分别是，，，若，且，那么是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】将化简并结合余弦定理可得的值，再对结合正、余弦定理化简可得边长关系，进行判定三角形形状. 【详解】由，得， 整理得，则， 因为，所以， 又由及正弦定理，得，化简得， 所以为等边三角形， 故选：B 6. 如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为15°，地面某处的俯角为45°，且，则此无人机距离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，在中，，，所以. 在中，，， 所以， 由正弦定理，. 又为等腰直角三角形，所以. 故选项B正确. 7. 已知点是内的一点，，则的面积与的面积之比为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】 取中点为，根据向量之间关系，得到，过点作于点，过点作于点，得出，进而可得三角形面积之比. 【详解】 取中点为，则， 因为，所以，则，因此， 过点作于点，过点作于点， 则易知， 因此， 所以的面积与的面积之比为. 故选：B 8. 如图所示，已知正六边形，下列向量的数量积中最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正六边形的性质及数量积的定义计算可得； 【详解】解：根据正六边形的几何性质，可知，，，． ，，， ．比较可知A正确． 故选：A 二、多选题 9. 下列命题不正确的是（ ） A. 单位向量都相等 B. 若与共线，与共线，则与共线 C. 若，则 D. 若与都单位向量，则 【答案】ABD 【解析】 【详解】对A：单位向量的模都为1，但方向不确定，所以单位向量都相等是错误的.故A错误； 对B：若，，，则与共线，与共线，但与不一定共线，故B错误； 对C：因为，故C正确； 对D：若与都是单位向量，则，只有当时，才有，故D错误. 10. 在中，有如下四个命题正确的有（ ） A. 若，则为锐角三角形 B. 若，则的形状为直角三角形 C. 内一点G满足，则G是的重心 D. 若，则点P必为的外心 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，由可得角为锐角，从而可判断，对于B，对两边平方化简，再结合余弦定理可得结论，对于C，由向量加法和共线及三角形重心概念判断，对于D，由向量运算性质和三角形垂心概念可判断 【详解】解：对于A，由，得，所以，所以角为锐角，但不能判断三角形为锐角三角形，所以A错误， 对于B，因为，所以，即，所以,得，因为，所以，所以三角形为直角三角形，所以B正确， 对于C，因为，所以，所以（为的中点），所以三点共线，所以点在边的中线上，同理，可得点在其它两边的中线上，所以G是的重心，所以C正确， 对于D，因为，所以，,所以，所以点在边的高上，同理可得点 也在其它两边的高上，所以点为的垂心，所以D错误， 故选：BC 11. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的外接圆的面积为 B. 若，且有两解，则b的取值范围为 C. 若，且为锐角三角形，则c的取值范围为 D. 若，且，O为的内心，则的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由正弦定理得到，选项A，求出，进而由正弦定理得到外接圆的半径和表面积；B选项，又余弦定理得到，将其看做关于的二次方程，结合方程有两正解，得到不等式，求出b的取值范围；C选项，由正弦定理结合得到，再根据为锐角三角形得到，从而得到c的取值范围；D选项，由正弦定理得到，，结合三角恒等变换得到，从而得到，，，由求出，由直角三角形性质得到内切圆半径，进而求出的面积. 【详解】因为，所以由正弦定理，得， 即 ， 因为，所以，且，所以. 选项A：若，则，所以的外接圆的直径 ， 所以， 所以的外接圆的面积为，选项A正确； 选项B：由余弦定理得， 将此式看作关于的二次方程，由题意得此方程有两个正解， 故 ，解得b，所以选项B错误； 选项C：由正弦定理，得 ，即， 因为，所以， 因为为锐角三角形，所以 ，即，所以， 所以，故选项C正确； 选项D：因为，由正弦定理得， 因为，所以， 所以由正弦定理，得，即， 所以， 即，所以， 所以， 又因为，所以，故，，解得 ， 因为，所以， 即是直角三角形，所以内切圆的半径为， 所以的面积为，选项D正确. 故选：ACD. 【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 三、填空题 12. 已知向量，，，且、、三点共线，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】先求出的坐标，再根据、、三点共线求出的值. 【详解】由题得， ， 因、、三点共线， 所以， 所以， 所以. 故答案为： 【点睛】本题主要考查向量的坐标运算和共线向量，考查三点共线，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 13. 如图，已知平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且，.若，则______. 【答案】 【解析】 【详解】 如图以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系： 由，得， 由与夹角为，，得， 与夹角为，，得， 再由，代入坐标得： ， 由对应横纵坐标相等，得方程组： ， 解得，，因此. 14. 如图，在中，已知边上的两条中线相交于点，则的余弦值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量的加减法运算和数量积的运算律求解即可. 【详解】由题可得，， ， 所以 ， ， ， 所以， 故答案为: . 四、解答题 15. 已知两个单位向量与的夹角为，设，． （1）求最小值； （2）若与的夹角为钝角，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先得，，然后利用模长公式将所求转换为关于的函数的最小值即可； （2）由题意得且，不共线，由此可列出关于的不等式组，从而求解. 【小问1详解】 由题意， 因为，，所以 所以， 所以，等号成立当且仅当， 所以最小值是； 【小问2详解】 因为，， 所以， 设，共线，即设， 因为向量与不共线， 所以，解得， 若与的夹角为钝角， 则，且， 解得的取值范围是. 16. 如图，在中，已知点在边上，且，，，． （1）求的长； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积可知，结合诱导公式可得，在中利用余弦定理可构造方程求得，结合三角形大边对大角的性质可得最终结果； （2）由同角三角函数关系可得，在中利用正弦定理可求得，结合诱导公式可求得结果. 【小问1详解】 ，，， 在中，由余弦定理得：， 即，， 解得：或； ，，，. 【小问2详解】 由（1）知：，， 在中，由正弦定理得：， ，. 17. 的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，边上的中线长为2，点在上，且为的平分线，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角后，再利用两角和的正弦公式及，得到，再得出的值； （2）由余弦定理得①，又平方可得②，由①②得：，故，根据和面积公式可得. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 则，又 所以， 因为在中，，所以. 【小问2详解】 由余弦定理得：，即有①； 设为的中点，即，又因为， 所以，即②， 由①，②得：， 所以，所以． 因为为的平分线，所以， 则， 即． 18. 如图,在扇形AOB中,的中点为M,动点C,D分别在OA,OB上,且OC=BD,OA=1,∠AOB=120°. （1）若D是线段OB靠近点O的四分之一分点,用表示向量; （2）求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）连结，，由题设条件得到四边形是平行四边形，由此能求出． （2）设，则，，由此结合题设条件，利用向量的数量积能求出的取值范围． 【详解】解:连结，， 扇形的弧的中点为，动点、分别在、上， 且，，， 四边形是平行四边形， 点是线段靠近点的四分之一分点， ． 设，则， ， ， ，， 的取值范围是，． 19. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （1）求角的大小； （2）若为的角平分线，且，，求角平分线的长度； （3）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，结合余弦定理求出，然后可得角； （2）根据给定条件，利用三角形面积公式建立方程求解； （3）利用正弦定理，结合角的范围求出的范围，然后由面积公式可得. 【小问1详解】 ，， ，， 由余弦定理得， 又，； 【小问2详解】 由角平分线将的面积分为两部分， 则，， 于是， 即，解得， 所以的长为； 【小问3详解】 由三角形面积公式得， 由正弦定理得 ， 三角形为锐角三角形，，得，， ，，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 襄阳致远中学2025级高一下学期质量检测 3.28（4） 一、单选题 1. 设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 2. 已知平面向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 11 3. 在中，角的对边分别为，若，，，则角等于（ ） A 30° B. 60° C. 30°或60° D. 60°或120° 4. 已知是两个单位向量，且向量在向量上投影向量为，则向量的夹角（ ） A. B. C. D. 5. 已知中，角，，所对的边分别是，，，若，且，那么是（ ） A 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 6. 如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为15°，地面某处的俯角为45°，且，则此无人机距离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点是内的一点，，则的面积与的面积之比为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 6 8. 如图所示，已知正六边形，下列向量的数量积中最大的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列命题不正确的是（ ） A. 单位向量都相等 B. 若与共线，与共线，则与共线 C. 若，则 D. 若与都是单位向量，则 10. 在中，有如下四个命题正确的有（ ） A. 若，则为锐角三角形 B. 若，则形状为直角三角形 C. 内一点G满足，则G是的重心 D. 若，则点P必为的外心 11. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的外接圆的面积为 B. 若，且有两解，则b的取值范围为 C. 若，且为锐角三角形，则c的取值范围为 D. 若，且，O为的内心，则的面积为 三、填空题 12. 已知向量，，，且、、三点共线，则_______ 13. 如图，已知平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且，.若，则______. 14. 如图，在中，已知边上的两条中线相交于点，则的余弦值为__________. 四、解答题 15. 已知两个单位向量与的夹角为，设，． （1）求最小值； （2）若与的夹角为钝角，求的取值范围． 16. 如图，在中，已知点在边上，且，，，． （1）求长； （2）求． 17. 的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，边上的中线长为2，点在上，且为的平分线，求的长． 18. 如图,在扇形AOB中,的中点为M,动点C,D分别在OA,OB上,且OC=BD,OA=1,∠AOB=120°. （1）若D是线段OB靠近点O的四分之一分点,用表示向量; （2）求的取值范围. 19. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （1）求角的大小； （2）若为的角平分线，且，，求角平分线的长度； （3）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $