精品解析：2025年浙江省宁波市南三县（奉化区、宁海县、象山县）数学中考一模模拟试题

2025年浙江省宁波市南三县（奉化区、宁海县、象山县）数学 中考一模模拟试题 一、选择题（每题3分，共30分，每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求） 1. 下列说法正确的是 （ ） A. 任何数都不等于它的相反数 B. 互为相反数的两个数的同一正偶数次幂相等 C. 只有1的倒数是它本身 D. 如果 大于 ，那么 的倒数大于 的倒数 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数、有理数的乘方、倒数等知识点，掌握相应的定义和性质是解题的关键． 根据相反数、乘方的性质、倒数和绝对值逐项判断即可． 【详解】解：A、0的相反数为0，所以A选项不符合题意； B、互为相反数的两个数的同一偶数次方相等，所以B选项符合题意； C、 的倒 也是其本身，所以C选项不符合题意； D、2大于1，而2的倒数小于1的倒数1，所以D选项不符合题意． 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除运算、积的乘方和合并同类项的运算法则，依次计算各个选项，即可进行解答． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除运算、积的乘方和合并同类项，掌握这些知识是解答本题的关键． 3. 2024年8月8日至11日期间，椒江葭沚老街举办了台州暑期消费季活动，四天的客流量超过58万人次，现场销售额高达4580000元，其中数据“4580000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：4580000用科学记数法表示为． 故选：A． 4. 如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了几何体的三视图，根据简单几何体的三视图画法，画出几何体的左视图，即可得出答案． 【详解】解：这个几何体的左视图是 ：． 故答案为：B． 5. 某校举行了科学素质知识竞赛，进入决赛的学生共有名，他们的决赛成绩如表所示： 决赛成绩/分 人数/名 则这10名学生决赛成绩的中位数和众数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查中位数和众数，一组数据按照大小顺序排列后，处在中间位置或中间两个数的平均数叫做中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，掌握中位数、众数的定义是解题的关键． 根据中位数、众数的定义进行求解即可． 【详解】解：这名学生的成绩从小到大排列，中位数是第个，第个数据的平均数即， 这名学生成绩中出现的次数最多，共出现 次，即众数为， 故选：C． 6. 如果点在平面直角坐标系的第三象限内，那么 的取值范围在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点坐标特点、一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集等知识点，根据点的位置得出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出答案． 【详解】解：∵在平面直角坐标系的第三象限内， ∴， 解得：， 在数轴上表示为： 故选：D． 7. 我国古代数学著作《孙子算经》中记载“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？若设兔子有x只，鸡有y只，则下列方程组中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，根据鸡的数量加上兔的数量等于35，鸡的脚的数量加上兔子的脚的数量等于94可列方程组． 【详解】解：若设兔子有x只，鸡有y只，则兔有条腿，鸡有只脚， 根据题意，可列方程组为， 故选：D． 8. 如图，在正方形 中，点 在 边上， 是 边上的中点， 平分．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，延长，相交于点 ，证明，得到，又根据平行线的性质和角平分线的定义可得，即得到，设，则，，利用勾股定理求出 ，即可求出的长，正确作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，延长，相交于点 ， ∵正方形 ，， ∴，， ∴， ∴，， ∵ 是 边上的中点， ∴， ∴， ∴， ∵ 平分， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得 ， ∴， 故选：． 9. 若关于 的一元二次方程有实数根，则字母 的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，b2-4ac≥0，且二次项系数不为0，即可求出k的范围． 【详解】∵方程有实数根 ∴b2-4ac= 解得： 又∵原方程是一元二次方程 ∴ ∴ 的取值范围是且 故选D． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个实数根”是解题的关键，且切记不要漏掉二次项系数不为0． 10. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上， 与 相交于点E，连接，则与的周长比为（ ） A. 1：4 B. 4：1 C. 1：2 D. 2：1 【答案】D 【解析】 【分析】运用网格图中隐藏的条件证明四边形DCBM为平行四边形，接着证明，最后利相似三角形周长的比等于相似比即可求出． 【详解】如图：由题意可知，， ， ∴， 而， ∴四边形DCBM为平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关知识并正确计算是解题关键． 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，直接提取公因式即可． 【详解】解：原式， 故答案为： ． 12. 二次根式中字母 的取值范围是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式及分式有意义的条件，注意掌握：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．根据二次根式及分式有意义的条件，即可确定 的取值范围． 【详解】解：由题意，得：， 解得：． 故答案为：． 13. 一个不透明的口袋中有3个质地相同的小球，其中2个红色，1个蓝色．随机摸取一个小球是红色小球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了简单的概率计算．熟练掌握简单的概率计算是解题的关键． 根据概率公式计算求解即可． 【详解】解：由题意知，随机摸取一个小球是红色小球的概率是， 故答案为：． 14. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是圆锥的侧面展开图，三视图的含义，理解题意，掌握由三视图还原几何体是解本题的关键．先由三视图还原几何体为圆锥，再利用勾股定理求解母线长，再利用扇形面积公式进行计算即可． 【详解】解：由三视图可得：该几何体是圆锥，底面直径为8，高为3，如图， ∴，，而， ∴，， ∴该几何体的侧面积是． 故答案为：． 15. 如图，长方形 沿 折叠，使点D落在 边上的点F处．如果，那么_______，_______，_______． 【答案】 ①. ②. ③. ##55度 【解析】 【分析】此题考查了折叠的性质，全等三角形的性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握以上知识点． 先根据矩形的性质得到 ，进而根据角的运算得到，再根据折叠的性质得到，根据三角形全等的性质得到，从而结合题意进行角的运算即可求解． 【详解】解：∵四边形 是长方形， ∴ ， ∵， ∴， 由折叠得， ； 又∵， ∴，， ∴． 故答案为：，，． 16. 如图，在正方形 中，点 是边 上的动点(不与点重合)，，交 延长线于点于点 ，连结 交 于点 ，点 是 的中点，连结．求： ①的度数为_______ ②当时，_______．(用 的代数式表示) 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先证明，得出是等腰直角三角形，根据点 是 的中点，得出，进而根据得出四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等得出；根据题意设，，则，连接 ，延长 交的延长线于点 ，由，则 点在 上，证明得出，设，则，证明，得出，进而代入，即可求解． 【详解】∵四边形是正方形， ， ， ， ，， ， 四边形是矩形， 在与中， ； ，， ， ， ， ， ， 四边形是正方形， 四边形是正方形， ， 且， ， ， 即． 是等腰直角三角形， 又 点 是 的中点， ，， ， ， 四点共圆， ； ② 四边形都是正方形，共线， ， ，设，，则， 如图所示，连接 ，延长 交的延长线于点 ， ， ，则 点在 上， ， ， ， 又 ， ，即， ， ， 设，则， ， ， 即， 解得：，即， ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了直角所对的圆周角是直径，同弧所对的圆周角相等，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识的解题的关键． 三、解答题（共66分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查零指数幂，负整数指数幂，整式的运算： （1）先进行乘方，零指数幂，负整数指数幂的运算，再进行加减运算即可； （2）先进行积的乘方，多项式乘以多项式的计算，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式． 18. 如图，在 中，． （1）尺规作图：作 的垂直平分线 ，交 于点D，交 于点E（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）题图中，连接，若平分，且 ，，求 的长． 【答案】（1） 如图所示， 即为所求； （2）． 【解析】 【分析】本题考查基本作图作垂线的方法，角平分线的性质以及含30度角的直角三角形的性质． （1）分别以为圆心，大于的长为半径画弧，交于两点，连接两点的直线交交 于点 ，交 于点 ， 即为所求； （2）利用含30度角的直角三角形的性质求得，利用角平分线的性质求得，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ 是 边上的垂直平分线， ， ∴ ，， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴． 19. 今年郑州市受疫情影响，中小学生在家进行线上学习．为了了解学生在家主动锻炼身体的情况，某校随机抽查了部分学生，对他们每天的运动时间进行调查，并将调查统计的结果分为四类：每天运动时间t≤30分钟的学生记为A类，30分钟<t≤40分钟记为B类，40分钟t≤60分钟记为C类，t>60分钟记为D类．收集的数据绘制如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）这次共抽取了 名学生进行调查统计； （2）扇形统计图中D类所对应的扇形圆心角大小为 ； （3）将条形统计图补充完整； （4）学校要求在家主动锻炼身体的时间超过30分钟才达标，若该校共有2000名学生，请你估计该校达标的学生约有多少人？ 【答案】（1）50 （2）36° （3） 补全条形图如图所示； （4）1400人 【解析】 【分析】（1）用A的人数除以所占比例即可； （2）先算出D类学生人数，用D类学生人数除以总人数乘以360°即可； （3）根据（2）中的数据补全条形统计图即可； （4）用2000乘以样本中达标人数与样本总人数之比即可． 【小问1详解】 解：调查总人数为：15÷30％=50（名）， 故答案为：50； 【小问2详解】 解：D类学生人数为：50-15-22-8=5（人）， ， 故答案为：36°； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：（人）， ∴估计该校达标的学生约有1400人． 【点睛】本题考查条形统计图，扇形统计图，以及用样本来估算整体，能够将两种统计图相关联补全统计图是解决本题的关键． 20. 图1是某地下商业街的入口的玻璃顶，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，图2是它的示意图．经过测量，支架的立柱 与地面垂直，米，点在同一水平线上，斜杆 与水平线 的夹角，支撑杆，垂足为 ，该支架的边 与 的夹角，又测得米． （1）求该支架的边 的长； （2）求支架的边 的顶端 到地面 的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据：） 【答案】（1）7米 （2）6.5米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形应用．熟练掌握锐角三角函数定义，矩形判定和性质，解直角三角形相关计算，是解题的关键． （1）根据，，得．根据，得．根据 ，，得． （2）过点 作，垂足为 ，过点 作，垂足为G．则，证明四边形是矩形，，得．得．得，根据，得． 【小问1详解】 解：由题意得，，， ∴． ∵ ∴． ∵， ∴ ， ∵ ∴． 答：该支架的边 的长7米． 【小问2详解】 解：过点 作，垂足为 ，过点 作，垂足为G． 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． 答：支架的边 的顶端 到地面 的距离为6.5米． 21. 某市半程马拉松比赛，甲乙两位选手的行程（千米）随时间（小时）变化的图象如图所示． （1）哪位选手先到终点？__________（填“甲”或“乙”）； （2）甲选手跑到8千米时，用了__________小时．起跑__________小时后，甲乙两人相遇； （3）乙选手在的时段内， 与 之间的函数关系式是__________； （4）甲选手经过1.5小时后，距离起点有__________千米． 【答案】（1）乙 （2）， （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从图象中获取有用的信息． （1）观察图象直接得出答案； （2）观察图象直接得出答案； （3）求出乙的速度，即可得出 与 之间的函数关系式； （4）由图象可得在时，甲用小时跑了千米，由此即可得出答案． 【小问1详解】 解：由图象可得：乙选手先到达终点， 故答案为：乙； 【小问2详解】 解：由图象可得：甲选手跑到8千米时，用了小时，起跑 小时后，甲乙两人相遇， 故答案为：， ； 【小问3详解】 解：（千米/小时）， 乙选手在的时段内， 与 之间的函数关系式是， 故答案为：； 【小问4详解】 解：由图象可得，甲小时距离起点千米， 小时距离起点千米， （小时）， 在时，甲用小时跑了千米， ， 甲选手经过1.5小时后，距离起点有（千米）， 故答案为： ． 22. 如图，在 中，． （1）求证：． （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质． （1）由题意可得：，再根据，推出，再利用证明即可； （2）利用全等三角形的性质，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 小江自制了一把水枪（图1），他将水枪固定，在喷水头距离地面1米的位置进行实验．当喷射出的水流与喷水头的水平距离为2米时，水流达到最大高度3米，该水枪喷射出的水流可以近似地看成抛物线，图2为该水枪喷射水流的平面示意图． （1）求该抛物线的表达式． （2）在距离喷射头水平距离3米的位置放置一高度为2米的障碍物，试问水流能越过该障碍物吗？ （3）小江通过重新调整喷头处的零件，使水枪喷射出的水流抛物线满足表达式．当时，y的值总大于2，请直接写出a的取值范围． 【答案】（1） （2）水流能越过该障碍物 （3） 【解析】 【分析】本题考查抛物线的应用，掌握用待定系数法求抛物线解析式与二次函数图象性质是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）把，代入抛物线解析式，求出y值，再与2比较，即可得出结论； （3）先求得抛物线的对称轴为．再分两种情况：①当，即时，②当，即 时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：设该抛物线的表达式为． 将点代入，得，解得， ∴该抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：当时，． ∵， ∴水流能越过该障碍物． 【小问3详解】 解：∵抛物线的对称轴为． ①当，即时， 将代入，得，解得， ∴a的取值范围为． ②当，即 时， 将 代入，得，解得， ∴a的取值范围为 ． 综上所述，a的取值范围为． 24. 已知 内接于 ， 为 的内心，延长 交 于点 ，交 于点 ．连结 ， ， ． （1）若 求 的度数； （2）设 四边形的面积记为 ， 连结 ， 当时，请完成下列问题． ①求证∶ ②已知 求的值． 【答案】（1） （2） ①证明：如图所示，过点 作的垂线，垂足为 ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ 是 的内心， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴； ② 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理可得，根据三角形内心的性质可得，即可求解； （2）①过点 作的垂线，垂足为 ，根据垂径定理可得，则，，进而根据三角形的面积公式，即可求解； ②过点 作于点，证明得出，根据得出，则，解方程得出 ，进而根据三角形的面积公式得出，即可求解． 【小问1详解】 解：∵ ∴ 又∵ 为 的内心，， ∴ 【小问2详解】 ①略 ②解：如图所示，过点 作于点， ∵ 是 的内心 ∴， 设 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴，则 ∴ 又∵ ∴ ∴， ∵，则 到的距离相等，设 到的距离为，设 到的距离为 ， ∴ ∴ ∴ ∴ 解得： （负值舍去） 由①可得 又． ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，三角形的内心的性质，相似三角形的性质与判定，角平分线的性质，解直角三角形；熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年浙江省宁波市南三县（奉化区、宁海县、象山县）数学 中考一模模拟试题 一、选择题（每题3分，共30分，每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求） 1. 下列说法正确的是 （ ） A. 任何数都不等于它的相反数 B. 互为相反数的两个数的同一正偶数次幂相等 C. 只有1的倒数是它本身 D. 如果 大于 ，那么 的倒数大于 的倒数 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 2024年8月8日至11日期间，椒江葭沚老街举办了台州暑期消费季活动，四天的客流量超过58万人次，现场销售额高达4580000元，其中数据“4580000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 5. 某校举行了科学素质知识竞赛，进入决赛的学生共有名，他们的决赛成绩如表所示： 决赛成绩/分 人数/名 则这10名学生决赛成绩的中位数和众数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 如果点在平面直角坐标系的第三象限内，那么 的取值范围在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代数学著作《孙子算经》中记载“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？若设兔子有x只，鸡有y只，则下列方程组中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形 中，点 在 边上， 是 边上的中点， 平分．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 若关于 的一元二次方程有实数根，则字母 的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 10. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上， 与 相交于点E，连接，则与的周长比为（ ） A. 1：4 B. 4：1 C. 1：2 D. 2：1 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 因式分解：________． 12. 二次根式中字母 的取值范围是__________． 13. 一个不透明的口袋中有3个质地相同的小球，其中2个红色，1个蓝色．随机摸取一个小球是红色小球的概率是______． 14. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是______． 15. 如图，长方形 沿 折叠，使点D落在 边上的点F处．如果，那么_______，_______，_______． 16. 如图，在正方形 中，点 是边 上的动点(不与点重合)，，交 延长线于点于点 ，连结 交 于点 ，点 是 的中点，连结．求： ①的度数为_______ ②当时，_______．(用 的代数式表示) 三、解答题（共66分） 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，在 中，． （1）尺规作图：作 的垂直平分线 ，交 于点D，交 于点E（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）题图中，连接，若平分，且 ，，求 的长． 19. 今年郑州市受疫情影响，中小学生在家进行线上学习．为了了解学生在家主动锻炼身体的情况，某校随机抽查了部分学生，对他们每天的运动时间进行调查，并将调查统计的结果分为四类：每天运动时间t≤30分钟的学生记为A类，30分钟<t≤40分钟记为B类，40分钟t≤60分钟记为C类，t>60分钟记为D类．收集的数据绘制如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）这次共抽取了 名学生进行调查统计； （2）扇形统计图中D类所对应的扇形圆心角大小为 ； （3）将条形统计图补充完整； （4）学校要求在家主动锻炼身体的时间超过30分钟才达标，若该校共有2000名学生，请你估计该校达标的学生约有多少人？ 20. 图1是某地下商业街的入口的玻璃顶，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，图2是它的示意图．经过测量，支架的立柱 与地面垂直，米，点在同一水平线上，斜杆 与水平线 的夹角，支撑杆，垂足为 ，该支架的边 与 的夹角，又测得米． （1）求该支架的边 的长； （2）求支架的边 的顶端 到地面 的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据：） 21. 某市半程马拉松比赛，甲乙两位选手的行程（千米）随时间（小时）变化的图象如图所示． （1）哪位选手先到终点？__________（填“甲”或“乙”）； （2）甲选手跑到8千米时，用了__________小时．起跑__________小时后，甲乙两人相遇； （3）乙选手在的时段内， 与 之间的函数关系式是__________； （4）甲选手经过1.5小时后，距离起点有__________千米． 22. 如图，在 中，． （1）求证：． （2）求证：． 23. 小江自制了一把水枪（图1），他将水枪固定，在喷水头距离地面1米的位置进行实验．当喷射出的水流与喷水头的水平距离为2米时，水流达到最大高度3米，该水枪喷射出的水流可以近似地看成抛物线，图2为该水枪喷射水流的平面示意图． （1）求该抛物线的表达式． （2）在距离喷射头水平距离3米的位置放置一高度为2米的障碍物，试问水流能越过该障碍物吗？ （3）小江通过重新调整喷头处的零件，使水枪喷射出的水流抛物线满足表达式．当时，y的值总大于2，请直接写出a的取值范围． 24. 已知 内接于 ， 为 的内心，延长 交 于点 ，交 于点 ．连结 ， ， ． （1）若 求 的度数； （2）设 四边形的面积记为 ， 连结 ， 当时，请完成下列问题． ①求证∶ ②已知 求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $