精品解析：吉林省长春市 东北师范大学附属中学明珠学校2024-2025学年九年级数学开学考试试题

综合练习一数学学科试卷 时长：120分钟 分值：120分 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 根据有理数加法法则，计算过程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是有理数的加法法则，解题关键是熟练掌握有理数的加法法则． 根据有理数的加法法则进行计算即可． 【详解】解：根据有理数加法法则，， 即过程正确的是． 故选： ． 2. 榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“卯”的实物图，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键．根据左视图是从左向右观察到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：“卯”的左视图为： 故选D． 3. 是不等式的一个解，则 的值不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式可得，再根据 是不等式的一个解，即可得出答案． 【详解】解：解不等式，得， 是不等式的一个解， 的值不可能是 ． 故选： ． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据不等式的解的概念得出关于 的不等式． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的除法法则对每个选项进行分析，即可得出答案. 【详解】A选项，， ∴A不符合题意； B选项，， ∴B不符合题意； C选项，， ∴C不符合题意； D选项，， ∴D选项符合题意； 故选：D. 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，掌握同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的除法法则是解决问题的关键. 5. 如图，是线段 在投影面上的正投影，已知 ，，则投影的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正投影，解直角三角形，过B点作，利用锐角三角函数求出 的长即可． 【详解】解：如图，过B点作， 是线段 在投影面上的正投影， ，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 故选B． 6. 如图， 的顶点A，B在 上，点C在 外（点O，C在AB同侧），，则 的度数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆周角定理可以判断． 【详解】解：如图， 与 交于点D，连接， 由圆周角定理可知， ∵ ∴， ∵点C在 外，且， ∴． ∴ 的度数可能是． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键． 7. 如图， 中，若，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，含30度角的直角三角形的性质．由作图方法可知垂直平分 ，平分，则由角平分线的定义可得，即可判断A；利用三角形内角和定理得到，即可判断B；利用三角形内角和定理得到 ，即可判断C；利用三角形内角和定理和对顶角线段得到，即可判断D． 【详解】解：由作图方法可知垂直平分 ，平分， ∴，故A结论正确，不符合题意； ∴， ∴， ∴，故C结论错误，符合题意； ∵，， ∴，故B结论正确，不符合题意； ∵， ∴，故D结论正确，不符合题意； 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，线段 的端点A的坐标为，端点B的坐标为，点C是线段 上的点，将点B绕点C逆时针旋转得到点D，若函数的图象过点D，则k的值一定满足（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意设，其中，则，代入，得，根据二次函数的性质即可求得k的取值． 【详解】解：由题意设，其中， ∴， ∴，即， ∵函数的图象过点D， ∴， ∴当时，k有最大值为， ∵当 时，，当 时，， ∴当时，， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化与旋转，二次函数的性质，表示出点D的坐标是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 计算：______． 【答案】2 【解析】 【分析】先计算算术平方根，再计算减法即可． 【详解】解：． 10. 分解因式：=____． 【答案】． 【解析】 【分析】利用平方差公式分解因式即可得到答案 【详解】解：． 故答案为： 【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键． 11. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则 的取值范围是______． 【答案】#### 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的判别式，解题关键是熟练掌握一元二次方程的判别式． 根据有两个不相等的实数根，列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 即． 故答案为：． 12. 如图，在 中，，点是 延长线上一点，过点作．若，则 的度数为______． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，由可得，再根据即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为： ． 13. 将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心O重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于A、B两点.若厘米，则的长度为________厘米．（结果保留） 【答案】 ## 【解析】 【分析】直接根据弧长公式进行计算即可． 【详解】， ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了弧长公式，即，熟练掌握知识点是解题的关键． 14. 如图，O是正△ABC内一点，，，，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，下列结论正确的有______．(请填序号) ①点O与的距离为4；②；③；④． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】连接，根据旋转的性质即可得到为等边三角形，进而可求证①②③的正确性，然后将△AOB绕点A逆时针旋转60°至，连接OD，易得△ACD也为等边三角形，由此可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段， ∴，， ∴为等边三角形， ∵，，， ∴，，故①正确； ∴， ∴， ∴，故②正确； 过点B作BE⊥于点E，如图所示， ∴， ∴， ∴， ∴，故③错误； 将△AOB绕点A逆时针旋转60°至，连接OD，如图所示： 同理易得△AOD为等边三角形，OD=OA=3，OB=DC=4，∠ODC=90°， ∴，故④正确； ∴正确的有①②④； 故答案为①②④． 【点睛】本题主要考查勾股定理逆定理、等边三角形的性质与判定及旋转的性质，熟练掌握勾股定理逆定理、等边三角形的性质与判定及旋转的性质是解题的关键． 三、解答题：本题共11小题，共78分．其中第19题为第18题书写分． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， ． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是分式的化简求值及二次根式的计算，解题关键是熟练掌握分式的化简求值． 先提取公因式进行化简，再代入求值即可． 【详解】解：原式， ， ， 将代入，则原式． 16. 动物分为无脊椎动物和脊椎动物，其中脊椎动物又分为：鱼类、两栖类、爬行类、鸟类和哺乳动物．下面有三张正面印有不同动物的卡片，A是老虎，B是燕子，C是鹦鹉，三张卡片除正面印的动物不同，其余均相同，将三张卡片背面向上放在桌面上．先从中随机抽取一张，记下动物名称后放回，再从中随机抽取一张，并记下动物名称．请用画树状图（或列表）的方法求抽取的两张卡片都是鸟类的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．画出树状图，共有9个等可能的结果，两次抽出的卡片图案相同的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意画树状图如下： 共有9个等可能的结果，抽取的两张卡片都是鸟类有4种， 所以，（两次抽出的卡片图案相同）． 17. 长春冰雪新天地是美丽春城的一道亮丽的风影线，它的设计和造型每年都有变化．在2025年长春冰雪新天地的建造过程中，某工程公司承担了为某项建设取720吨冰块的任务，由于任务紧急，实际取冰时的工作效率比原计划提高了，结果提前1天完成任务，该公司原计划每天取冰块多少吨？ 【答案】公司原计划每天取冰块 吨． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用．设公司原计划每天取冰块x吨，根据“取吨冰块，实际取冰时的工作效率比原计划提高了 ，结果提前1天完成任务”列分式方程，解方程即可求解． 【详解】解：设公司原计划每天取冰块x吨． 根据题意，得：． 解得：． 经检验：是原方程的解，且符合题意． 答：公司原计划每天取冰块 吨． 18. 如图，在四边形 中， ，，对角线交于O， 平分 ． （1）求证：四边形 是菱形； （2）过点C作 的垂线交其延长线于点E，若，，求 的长． 【答案】（1） 证明： 平分 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， ， 四边形 是菱形； （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）先证，再证 ，得，然后证四边形 是平行四边形，即可得出结论； （2）根据菱形的性质结合三角函数得出 ，，求出 ，在中，解直角三角形，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形 是菱形， ，，， 中，， ，， ，， 过点C作 的垂线交其延长线于点E， ， 中，， ． 19. 张老师为了解她所教1班、2班学生本学期课外名著阅读情况，分别从两班各随机抽取20名同学对他们本学期课外名著阅读数量进行调查，并把调查结果制成如图所示不完整的扇形统计图和条形统计图． （1）扇形统计图中“7本”所在扇形的圆心角是______度；并补全条形统计图； （2）对于1班和2班各抽取的20名同学的数据：已知两个班的平均数均为6本，1班的方差为，请你计算2班的方差，并判断哪个班阅读情况更稳定； （3）从2班抽取的20个数据中选取n个数据，与1班的20个数据组成一组新数据，若新数据的中位数小于原1班20个数据的中位数．则n的最小值为______． 【答案】（1）72， 条形图如下： （2）2班的方差为6，1班阅读情况更稳定 （3）8 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及方差中位数等知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）由乘以所占百分比可得，再由总人数减去其他即可得出“9本”的数即可 （2）求出平均数，和方差即可； （3）根据中位数的定义即可得出结论． 【小问1详解】 解：扇形图中“7本”类对应的圆心角度数为 ， 2班课外名著阅读情况中“9本”的人数为 名， 【小问2详解】 解：2班平均数为 （本） 2班的方差为 ∵ ， ∴1班阅读情况更稳定． 【小问3详解】 解：解：把1班数据按从小到大顺序排列4、4、5、5、5、5、6、6、6、6、6、6、6、6、7、7、7、7、8、8，发现中位数为6本， 加入2班名同学后中位数变小，且最小，则应加入4个5和4个4，此时新数据中位数为 本． ∴为8。 20. 如图是的正方形网格，请仅用无刻度直尺完成下列画图问题，保留作图痕迹． （1）在图①中，找一格点 ，连接 ，使（画出一种即可），这样的格点 （与点不重合）有 个． （2）在图②中，找一格点，连接，使（画出一种即可）． （3）在图③中的线段上画一点，连接，使． 【答案】（1）见详解，7 （2）见详解 （3）见详解 【解析】 【分析】（1）根据作出图形即可； （2）根据圆周角定理求解即可； （3）取格点，连接，取格点 ，连接 交于点，连接，点即为所求，结合平行四边形的判定性质、圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可证明结论． 【小问1详解】 解：如下图所示，线段 即为所求， 使，这样的格点 （与点不重合）有7个． 故答案为：7； 【小问2详解】 如下图，点即为所求． 理由如下： 由图形可知，， ∴点在以点 为圆心，以为半径的圆上， ∴； 【小问3详解】 如下图，点即为所求． 理由如下： ∵，由图形可知，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由图形可知，， ∴点在以点为圆心，以3为半径的圆上， 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了格点作图、勾股定理、平行四边形的判定与性质、圆周角定理等知识，解题关键是理解题意，灵活运用相关知识进行解题． 21. 用甲、乙两个机器加工一批零件，两个机器同时开始加工，加工一段时间后，甲机器进行检修，乙机器以原来的效率加工，检修结束后，甲机器提高工作效率继续加工，两个机器共用了完成任务，两个机器加工的零件总数 （件）与乙机器加工时间之间的函数图象如图所示． （1）乙机器的工作效率是______件，甲机器提速后的工作效率是______件； （2）当时，求 与之间的函数关系式； （3）当甲机器加工个零件时，的值为______． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查从函数图象中获取信息，一次函数的应用，一元一次方程的应用， （1）由函数图象列式可得甲和乙的工作效率； （2）当时，设 与之间的函数关系式为，再将和代入得到关于 、 的二元一次方程组，求解可得答案； （3）先求出甲机器提速前的工作效率，然后根据题意列出关于的方程即可． 【小问1详解】 解：∵（件）， ∴乙的工作效率是件， ∵（件）， ∴甲机器提速后的工作效率是 件， 故答案为：； ； 【小问2详解】 解：设当时， 关于的函数解析式为， 将和代入得：， 解得：， ∴ 与之间的函数关系式为；； 【小问3详解】 解：甲机器提速前的工作效率：，甲机器提速后的工作效率： ， 依题意，得：， 解得：， ∴甲机器加工个零件时，所需时间为，的值为． 故答案为：． 22. 在中， ，点是 的中点，点在边 上，过点作 的垂线，交直线 于点． 【特例感知】如图①，当点与点 重合时， ，请说明理由． 【提出问题】如图②，当点与点 不重合时， 还成立吗？ 【解决问题】答：图②中的 依然成立； 下面是针对点在线段 上的情形进行的一种证明，请你补充完整： 如图③，取中点 ，连结 ， ， ． ，． 点 是的中点，， ，________________________（填依据） ，点 是的中点， ，， 即点，， ，在以______为直径的圆上． ______． 由【特例感知】可知，， ． 【拓展应用】若，，当 的面积被 的一条边平分时，的长为______． 【答案】【特例感知】证明见解析； 【解决问题】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ；； 【拓展应用】或． 【解析】 【分析】【特例感知】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等腰三角形的性质即可得证； 【解决问题】取中点 ，连结 ， ， ，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、四点共圆的判定与性质、圆周角定理得到，再利用【特例感知】的结论解答即可； 【拓展应用】利用分类讨论的思想分两种情况讨论：①当 平分 的面积时，设与 交于点 ，过点作 于点 ，结合中位线定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三线合一即可得解；②当 平分 的面积时，设 与 交于点 ，过点作交 于点 ，利用同高的三角形的面积性质得到 ，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解一元一次方程即可得解． 【详解】【特例感知】证：当点与点 重合时， ，点是 的中点， ， ． 【解决问题】解：图②中的 依然成立， 如图③，取中点 ，连结 ， ， ， ， ， 点 是的中点， ， ，__直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半_（填依据） ，点 是的中点， ， ， 即点，， ，在以__ ___为直径的圆上， ___． 由【特例感知】可知，， ． 故答案为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ；． 【拓展应用】解：，， ， ， ①当 平分 的面积时， 设与 交于点 ，过点作 于点 ，如图： ， ， ， 点是 中点， 是 的中位线， ，， 平分 的面积， ，即， 、， 和中， ， ， ， ， ， 又， 是等腰直角三角形， 是的垂线， 也是该等腰直角三角形的中线， ， ； ②当 平分 的面积时， 设 与 交于点 ，过点作交 于点 ，如图： 平分 的面积， ， ， 是斜边上的中线， ， ， ， 和中， ， ， ，， 设，则， ， ， ， ， ，， ， 点是 的中点， ，， ， 中，， 即， 解得，即； 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查的知识点是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、四点共圆的判定与性质、圆周角定理、中位线定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三线合一、同高的三角形的面积性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解一元一次方程，解题关键是利用分类讨论的思想解题． 23. 如图，在 中，，，点是 的中点．点在 的边 上，连结，作点 关于直线的对称点，连结，． （1）点到 的距离为______； （2）当点与点 重合时，求线段的长； （3）连结，求线段长的最小值； （4）若，直接写出线段的长． 【答案】（1）； （2）； （3）线段长的最小值是； （4）若，线段的长为 或． 【解析】 【分析】（1）作交 于点，结合解直角三角形计算可得，解得 ，再由勾股定理可得点到 的距离 的长； （2）由折叠性质可知，当点与点 重合时，有，结合解直角三角形计算即可求得线段的长； （3）先由题意得到的运动轨迹为以点为圆心， 为半径的圆，结合图形可得当点在线段和靠近点的一边时，线段取最小值，作交 于点，根据解直角三角形的计算和勾股定理进行计算即可得解； （4）分两种情况求解：①点在 中点 左边，先作交 于点，利用解直角三角形的计算和勾股定理求出 长，再由中位线定理可得，通过证明、平行线性质、等腰三角形性质推得后即可得到； ②点在 中点 右边，结合平行线性质和全等三角形性质推得后可得． 【小问1详解】 解：作交 于点， ，点是 的中点，， ，， ， ， 即点到 的距离为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：由对称性质可知，当点与点 重合时，有，如下图， 此时， ． 【小问3详解】 解：点是点 关于直线的对称点， 直线 是线段的垂直平分线， ， 即点在以点为圆心， 为半径的圆上运动， 则线段取最小值时，点在线段和靠近点的一边， 此时，作交 于点， ， ， ，， ， ， ． 故线段长的最小值是． 【小问4详解】 解：由题意知，当时，分两种情况求解： ①点在 中点 左边， 连接 ，作交 于点， ，， ， ，， ，， 点是 的中点，点 是 的中点， 是 的中位线， ，， 直线 是线段的垂直平分线， ，， 和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ； ②点在 中点 右边， 同理可证， ， 又， ， 即， ， 点 是 的中点， ， ． 综上，若，线段的长为 或． 【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形、勾股定理、对称性质、中位线定理、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等角对等边，解题关键是分析出的运动轨迹及分情况讨论． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）经过点．点是抛物线上一点（点不与点 重合），点的横坐标为 ，点的坐标为． （1）求抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； （2）当轴时，求 的值； （3）当抛物线在点和点 之间的部分（包括、 两点）最低点的纵坐标为时，求 的值； （4）以，为邻边作，当对称轴将四边形分成两部分，且面积比为时，直接写出 的值． 【答案】（1）； （2） 或 （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，直接代入求解即可； （2）由题意当 平行于x轴时，，据此列方程求解即可； （3）根据二次函数的性质，对最低点为点或点 进行分类讨论求解即可； （4）利用分割法，分别求出四边形和四边形的面积，再根据，分类讨论，建立方程，再分别求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线经过点， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ， ∴抛物线顶点坐标为． 【小问2详解】 当 平行于x轴时，， ， 解得 或， 的值为0或16． 【小问3详解】 点，点, 当或时，最低点为P， 则， 解得：，（舍）， 当时，最低点为A， 则， 解得：， 综合上述，或． 【小问4详解】 如图1，当时， 作轴于K，作轴于C，交于作轴于D，对称轴分别交轴于G，B，F，y轴交于E，则， ， ， 对称轴， ， 点的横坐标为m， ， ， 四边形平行四边形， ， 向右平移m个单位长度，再向上平移个单位长度得到， N的横坐标为 ， ， ， 四边形平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ， 设， ， ， ， ，即， 解得：； 当时，如图2， 同理可得，， ， ， 解得：， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了二次函数几何综合；涉及待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的最值，平行四边形的性质和判定，解一元二次方程等知识点，解题的关键是分类讨论思想的运用，正确的作出图像． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 综合练习一数学学科试卷 时长：120分钟 分值：120分 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 根据有理数加法法则，计算过程正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“卯”的实物图，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 是不等式的一个解，则 的值不可能是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是线段在投影面上的正投影，已知 ，，则投影的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，的顶点A，B在 上，点C在 外（点O，C在AB同侧），，则 的度数可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，若，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，线段的端点A的坐标为，端点B的坐标为，点C是线段上的点，将点B绕点C逆时针旋转得到点D，若函数的图象过点D，则k的值一定满足（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 计算：______． 10. 分解因式：=____． 11. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则 的取值范围是______． 12. 如图，在中，，点是延长线上一点，过点作．若，则 的度数为______． 13. 将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心O重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于A、B两点.若厘米，则的长度为________厘米．（结果保留） 14. 如图，O是正△ABC内一点，，，，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，下列结论正确的有______．(请填序号) ①点O与的距离为4；②；③；④． 三、解答题：本题共11小题，共78分．其中第19题为第18题书写分． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 动物分为无脊椎动物和脊椎动物，其中脊椎动物又分为：鱼类、两栖类、爬行类、鸟类和哺乳动物．下面有三张正面印有不同动物的卡片，A是老虎，B是燕子，C是鹦鹉，三张卡片除正面印的动物不同，其余均相同，将三张卡片背面向上放在桌面上．先从中随机抽取一张，记下动物名称后放回，再从中随机抽取一张，并记下动物名称．请用画树状图（或列表）的方法求抽取的两张卡片都是鸟类的概率． 17. 长春冰雪新天地是美丽春城的一道亮丽的风影线，它的设计和造型每年都有变化．在2025年长春冰雪新天地的建造过程中，某工程公司承担了为某项建设取720吨冰块的任务，由于任务紧急，实际取冰时的工作效率比原计划提高了，结果提前1天完成任务，该公司原计划每天取冰块多少吨？ 18. 如图，在四边形中， ，，对角线交于O，平分 ． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点C作的垂线交其延长线于点E，若，，求的长． 19. 张老师为了解她所教1班、2班学生本学期课外名著阅读情况，分别从两班各随机抽取20名同学对他们本学期课外名著阅读数量进行调查，并把调查结果制成如图所示不完整的扇形统计图和条形统计图． （1）扇形统计图中“7本”所在扇形的圆心角是______度；并补全条形统计图； （2）对于1班和2班各抽取的20名同学的数据：已知两个班的平均数均为6本，1班的方差为，请你计算2班的方差，并判断哪个班阅读情况更稳定； （3）从2班抽取的20个数据中选取n个数据，与1班的20个数据组成一组新数据，若新数据的中位数小于原1班20个数据的中位数．则n的最小值为______． 20. 如图是的正方形网格，请仅用无刻度直尺完成下列画图问题，保留作图痕迹． （1）在图①中，找一格点，连接，使（画出一种即可），这样的格点（与点不重合）有 个． （2）在图②中，找一格点，连接，使（画出一种即可）． （3）在图③中的线段上画一点，连接，使． 21. 用甲、乙两个机器加工一批零件，两个机器同时开始加工，加工一段时间后，甲机器进行检修，乙机器以原来的效率加工，检修结束后，甲机器提高工作效率继续加工，两个机器共用了完成任务，两个机器加工的零件总数（件）与乙机器加工时间之间的函数图象如图所示． （1）乙机器的工作效率是______件，甲机器提速后的工作效率是______件； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）当甲机器加工个零件时，的值为______． 22. 在中，，点是的中点，点在边上，过点作的垂线，交直线于点． 【特例感知】如图①，当点与点重合时， ，请说明理由． 【提出问题】如图②，当点与点不重合时， 还成立吗？ 【解决问题】答：图②中的 依然成立； 下面是针对点在线段上的情形进行的一种证明，请你补充完整： 如图③，取中点，连结 ， ， ． ，． 点是的中点，， ，________________________（填依据） ，点是的中点， ，， 即点，，，在以______为直径的圆上． ______． 由【特例感知】可知，， ． 【拓展应用】若，，当 的面积被的一条边平分时，的长为______． 23. 如图，在中，，，点是的中点．点在的边上，连结，作点关于直线的对称点，连结，． （1）点到的距离为______； （2）当点与点重合时，求线段的长； （3）连结，求线段长的最小值； （4）若，直接写出线段的长． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）经过点．点是抛物线上一点（点不与点重合），点的横坐标为 ，点的坐标为． （1）求抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； （2）当轴时，求 的值； （3）当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）最低点的纵坐标为时，求 的值； （4）以，为邻边作，当对称轴将四边形分成两部分，且面积比为时，直接写出 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $