精品解析： 湖北省武汉市黄陂区2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年湖北省武汉市黄陂区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30 1. 斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式有意义，则x满足的条件是（ ） A. x≠2 B. x＝0 C. x≠0 D. x＝2 3. “墙角数枝梅，凌寒独自开，遥知不是雪，为有暗香来”，某品种的梅花花粉直径为0.000022米，则数据0.000022用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取的垂线上的点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得的长就是的长，依据是（ ） A. B. C. D. 5. 下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 6. 若a≠b，则下列分式化简正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，为延长线上一点，于．若，下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 以上结论都不对 8. 为了能让更多人接种，某药厂的新冠疫苗生产线开足马力，24小时运转，该条生产线计划加工320万支疫苗，前5天按原计划的速度生产，5天后以原来速度的1.25倍生产，结果比原计划提前3天完成任务．设原计划每天生产万支疫苗，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形中，，，的平分线交于点，若与的差为，则的长为（　　） A B. C. D. 10. 已知中，，将沿边进行对折使得点B落在点D处，过点C作垂直于点E，点P是直线CE上一动点，当的值最大时，的度数为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 计算：_______，_______，_______． 12. 如图所示，已知是的角平分线上的一点，请添加一个条件：________，使得． 13. 点和点关于轴对称，则的值是________． 14. 某次列车平均提速akm/h，用相同的时间，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶30km，提速前列车的平均速度＝_____． 15. 规定，例如：表示当时y的值，即；表示当时y的值，即；…那么 ____________________． 16. 如图，在中，，平分交与点G，平分交于点D，相交于点F，交的延长线于点E，连接，下列结论中：①若，则；②；③；④．其中正确的结论有 ________（填写序号即可）． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18 分解因式： （1）； （2）． 19. 解方程： （1） （2） 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 在如图所示10×10的小正方形网格中，每个小正方形的顶点叫格点，请仅用无刻度直尺在给定网格中画出下列图形，并保留作图痕迹． （1）如图1，在格点上画点D，使，再在直线上找点P，使； （2）如图2，先画的高，再作点E关于的对称点G． 22. 两种机器人都被用来搬运化工原料，型机器人每小时搬运化工原料比型机器人每小时搬运的化工原料多30，型机器人搬运900所用时间与型机器人搬运600所用时间相等． （1）求两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ （2）某化工厂有3000化工原料需要搬运，要求搬运所有化工原料的时间不超过5小时，现计划先由6个型机器人搬运3小时，再增加若干个型机器人一起搬运，请问至少要增加多少个型机器人？ 23. 点等边所在平面内一点，连接，，，且． （1）如图，点P在外部，若，，则的长为 （直接写出结果）； （2）点在内部，连接． ①如图2，若，求的值； ②如图3，D为边中点，连接，求的度数． 24. 已知：实数满足． （1）直接写出的值为_____； （2）如图，在平面直角坐标系中，是轴正半轴上的点，是轴正半轴上的点． ①如图1，是轴正半轴上，之间的点，是轴正半轴上，之间的点，若，，，，求的面积． ②如图2，若，，在坐标系中第二、四象限夹角平分线上一点的坐标为，以为斜边作等腰（，，按逆时针排列）． （Ⅰ）求点的纵坐标； （Ⅱ）连接，当的值最小时，直接写出的值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年湖北省武汉市黄陂区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30 1. 斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 若分式有意义，则x满足的条件是（ ） A. x≠2 B. x＝0 C. x≠0 D. x＝2 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件可得，即可求解． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得， 故选A． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件为分母不为0． 3. “墙角数枝梅，凌寒独自开，遥知不是雪，为有暗香来”，某品种的梅花花粉直径为0.000022米，则数据0.000022用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法的形式（,n整数），n等于原数化成a时小数点移动的位数，时，n是正整数，时，n是负整数，是解题的关键． 本题． 【详解】解：．   故选：B． 4. 如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取的垂线上的点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得的长就是的长，依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴依据是， 故选C． 5. 下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解是将多项式写成整式积的形式是解题的关键． 根据因式分解的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、等号右侧不是整式积的形式，不属于因式分解，不符合题意； B、等号右侧不是整式积的形式，不属于因式分解，不符合题意； C、是将多项式式分解成几个整式积的形式，属于因式分解，满足题意； D、等号右侧不是整式积的形式，不属于因式分解，不符合题意； 故选：C． 6. 若a≠b，则下列分式化简正确的是（　　） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质．掌握“分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变”是解题的关键．根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：C． 7. 如图，在中，为延长线上一点，于．若，下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 以上结论都不对 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 过点作于，利用等腰三角形的性质求出，再利用同角的余角相等求出即可． 【详解】解：过点作于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8. 为了能让更多人接种，某药厂的新冠疫苗生产线开足马力，24小时运转，该条生产线计划加工320万支疫苗，前5天按原计划的速度生产，5天后以原来速度的1.25倍生产，结果比原计划提前3天完成任务．设原计划每天生产万支疫苗，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“结果比原计划提前3天完成任务”建立方程即可得． 【详解】由题意，可列方程为 ， 故选：D． 【点睛】本题考查了列分式方程，正确找出等量关系是解题关键． 9. 如图，四边形中，，，的平分线交于点，若与的差为，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 连接，过作于，根据角平分线的性质得到，求得，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：连接，过作于， 平分，， ， ， ， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ， 与的差为， ， ， 故选：A 10. 已知中，，将沿边进行对折使得点B落在点D处，过点C作垂直于点E，点P是直线CE上一动点，当的值最大时，的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），轴对称﹣最短路线问题，解题的关键是熟练掌握折叠的性质；作点B关于的对称点H，连接．易得到当点在同一直线上时，有最大值根据和关于对称，易得，进而求出是等边三角形，根据外角性质可知，进而可求出答案． 【详解】解：如图，作点B关于的对称点H，连接． 则 此时 ∴当点在同一直线上时，有最大值，此时， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， 由题意得和关于对称， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，, ∵ 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 计算：_______，_______，_______． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】此题主要考查了同底数幂乘法和除法，以及幂的乘方．根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减进行计算即可． 【详解】解：； ， ， 故答案为：，，． 12. 如图所示，已知是的角平分线上的一点，请添加一个条件：________，使得． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法，结合已知条件，求解即可． 【详解】解：由题意可得：，平分 ∴ ∴可添加，通过AAS判定 故答案为：，（答案不唯一） 【点睛】此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 13. 点和点关于轴对称，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同进行求解即可． 【详解】解：∵点和点关于轴对称， ∴， 故答案为：． 14. 某次列车平均提速akm/h，用相同的时间，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶30km，提速前列车的平均速度＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】先计算提速前的行驶时间，再利用路程除以速度即可． 【详解】解：依题意得：提速前列车的平均速度为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是列代数式，理解题意是解题关键． 15. 规定，例如：表示当时y的值，即；表示当时y的值，即；…那么 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数字的变化规律，分式的加减运算，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律．通过计算，，，的值得到，，从而得到规律，然后利用此规律得到最后的值． 【详解】解：由题知， ∵， ∴， ∴， ∴原式 ， 故答案为：． 16. 如图，在中，，平分交与点G，平分交于点D，相交于点F，交的延长线于点E，连接，下列结论中：①若，则；②；③；④．其中正确的结论有 ________（填写序号即可）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由角平分线的定义和三角形内角和定理可求，，由外角的性质和直角三角形的性质可求，故①正确；由“”可证，可得，由“”可证，可得，即，故②正确；延长交的延长线于点J．证明，设的面积为x，的面积为y，则的面积的面积的面积的面积，故③错误；④由，推出，故④正确． 【详解】解：①∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ②如图，在上截取，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③如图，延长交的延长线于点J． ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设的面积为x，的面积为y，则的面积的面积的面积的面积，故③错误； ④∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，故④正确， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质，角平分线的定义，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查单项式乘单项式，单项式乘多项式，幂的相关运算： （1）根据单项式乘多项式的运算法则计算即可； （2）先根据积的乘方法则计算，再根据单项式乘单项式法则计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ． 18. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提公因式，再用平方差公式分解. （2）先提公因式，再用完全平方公式分解. 【小问1详解】 解：原式， ； 【小问2详解】 原式 【点睛】本题主要考查了分解因式.分解因式时首先观察是否有公因式，如果有公因式，先提公因式，然后再用公式法分解.掌握分解因式的方法及熟记公式是解题的关键. 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法．（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根． （1）方程的两边都乘以，得出，求出这个整式方程的解，再代入进行检验即可； （2）方程的两边都乘以，得出，求出这个整式方程的解，再代入进行检验即可． 【小问1详解】 解：①方程的两边都乘以， 得：， 解这个方程得：， ， ， 检验：把代入， 所以是原方程的解； 【小问2详解】 解：方程的两边都乘以， 得：， 解这个方程得：， ， ， ， 检验：把代入， 所以是原方程的解． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．根据分式的除法法则、减法法则把原式化简，把x的值代入计算得到答案． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 21. 在如图所示10×10的小正方形网格中，每个小正方形的顶点叫格点，请仅用无刻度直尺在给定网格中画出下列图形，并保留作图痕迹． （1）如图1，在格点上画点D，使，再在直线上找点P，使； （2）如图2，先画的高，再作点E关于的对称点G． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行线的判定与性质画出直线即可；取格点Q，使且，连接，交直线于点P，则点P即为所求． （2）根据三角形的高的定义画出即可；取格点M关于的对称点N，取点C关于的对称点K，连接，相交于点G，则点G即为所求． 【小问1详解】 解：如图，直线即为所求． 取格点Q，使且，连接，交直线于点P， 则点P即为所求． 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 取格点M关于的对称点N，取点C关于的对称点K，连接，相交于点G， 则点G即为所求． 【点睛】本题考查作图﹣轴对称变换、平行线的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22. 两种机器人都被用来搬运化工原料，型机器人每小时搬运的化工原料比型机器人每小时搬运的化工原料多30，型机器人搬运900所用时间与型机器人搬运600所用时间相等． （1）求两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ （2）某化工厂有3000化工原料需要搬运，要求搬运所有化工原料的时间不超过5小时，现计划先由6个型机器人搬运3小时，再增加若干个型机器人一起搬运，请问至少要增加多少个型机器人？ 【答案】（1）型机器人每小时搬运化工原料90，型机器人每小时搬运化工原料60 （2）7 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程． （1）设型机器人每小时搬运化工原料，则型机器人每小时搬运化工原料，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合型机器人搬运900所用时间与B型机器人搬运600所用时间相等，可列出关于的分式方程，解之经检验后可得出的值（即型机器人每小时搬运化工原料的质量），再将其代入中，即可求出型机器人每小时搬运化工原料的质量； （2）设增加个型机器人，利用工作总量工作效率工作时间，结合5个小时的工作总量不低于3000，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设型机器人每小时搬运化工原料，则型机器人每小时搬运化工原料， 根据题意得： ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（）， ∴型机器人每小时搬运化工原料90，型机器人每小时搬运化工原料60． 【小问2详解】 设增加个型机器人， 根据题意得：， 解得：， 又∵为正整数， ∴的最小值为7， ∴至少要增加7个型机器人． 23. 点为等边所在平面内一点，连接，，，且． （1）如图，点P在外部，若，，则的长为 （直接写出结果）； （2）点在内部，连接． ①如图2，若，求值； ②如图3，D为边中点，连接，求的度数． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）将绕点A逆时针旋转，得到，点的对应点为，首先证明点C在线段上，再证明是等边三角形，从而得出答案； （2）①将绕逆时针旋转，得到，点的对应点为，连接，首先证明是等边三角形，从而得出，，再利用含角的直角三角形的性质，可得答案； ②延长到点，使，连接，将绕点逆时针旋转，得到，点P的对应点为点，连接，同理得是等边三角形，再利用证明，得，，再证明，得，从而解决问题． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 将绕点逆时针旋转，得到，点的对应点为， 则，，，，， ∴， ∴点在线段上， ∵ ， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 ①∵， ∴， 将绕逆时针旋转，得到，点的对应点为，连接， 则，，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②如图，延长到点，使，连接，将绕点逆时针旋转，得到，点的对应点为点，连接， 同理可知，是等边三角形， ∴， ∵是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，利用旋转将分散条件集中到一个三角形中是解题的关键． 24. 已知：实数满足． （1）直接写出的值为_____； （2）如图，在平面直角坐标系中，是轴正半轴上的点，是轴正半轴上的点． ①如图1，是轴正半轴上，之间的点，是轴正半轴上，之间的点，若，，，，求的面积． ②如图2，若，，在坐标系中第二、四象限夹角平分线上一点的坐标为，以为斜边作等腰（，，按逆时针排列）． （Ⅰ）求点的纵坐标； （Ⅱ）连接，当的值最小时，直接写出的值为______． 【答案】（1） （2）①；②（Ⅰ）；（Ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式及平方根的定义即可得答案； （2）①如图1，过点作于，延长交轴于，利用证明，设，则，根据列方程即可解答； ②（Ⅰ）如图2，过点作轴，过点作于，过点作于，利用证明，得出，根据等角对等边得出，列方程求出，利用三角形面积公式即可解答； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：点的坐标为，根据点的纵坐标是一个定值，所以点在直线上，则当直线时，的值最小，此时点和的横坐标相等，即可解答． 【小问1详解】 解：， ， ， 解得：． 故答案为：4 【小问2详解】 解：①由（1）知：， ∴， 如图1，过点作于，延长交轴于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②（Ⅰ）如图2，过点作轴，过点作于，过点作于， ∵，，， ∴，， 设，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴点的坐标为，即点的纵坐标为； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：点坐标为， ∴点在直线上， ∴当直线时，的值最小，此时点和的横坐标相等， ∴， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了完全平方公式、利用平方根解方程，等腰三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，三角形全等的性质和判定，坐标和图形的性质等知识，正确作辅助线构建全等三角形是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$