精品解析：山东省青岛市即墨区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷

2024—2025学年度第一学期期末学业水平诊断性测试 九年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 友情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！ 本试题共24道题.第1—10题为选择题，共30分；第11—16题为填空题，共18分；第17题为作图题，共4分；第18—26题为解答题，共68分.要求所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效 一、选择题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分） 下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的.每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分. 1. 在如图所示的几何体中，俯视图和左视图相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图与左视图的概念依次判断即可．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 【详解】解：A、俯视图是带圆心的圆，左视图是等腰三角形，故本选项不合题意； B、俯视图是圆，左视图是矩形，故本选项不合题意； C、俯视图与左视图都是正方形，故本选项符合题意； D、俯视图是三角形，左视图是矩形，故本选项不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键． 2. 关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟记：对于一元二次方程时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程没有实数根．利用一元二次方程无实数根，判别式即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根， ， 解得：， 故选：B． 3. 已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（　　） A. 选①② B. 选②③ C. 选①③ D. 选②④ 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意； B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意； C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意； D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意． 故选B． 4. 已知，两点在反比例函数的图象上，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．先根据反比例函数的增减性，判断其图象在二、四象限，得到不等式，再解不等式即可． 【详解】，， 反比例函数的图象在二、四象限， ， 解得． 故选：D． 5. 小颖有两顶帽子，分别为红色和黑色，有三条围巾，分别为红色、黑色和白色，她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用列表法或树状图即可解决． 【详解】分别用r、b代表红色帽子、黑色帽子，用R、B、W分别代表红色围巾、黑色围巾、白色围巾，列表如下： R B W r rR rB rW b bR bB bW 则所有可能的结果数为6种，其中恰好为红色帽子和红色围巾的结果数为1种，根据概率公式，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是． 故选：C． 【点睛】本题考查了简单事件的概率，常用列表法或画树状图来求解． 6. 把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，平移后的图象必经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．根据二次函数图象的平移规律，求得平移后的函数图象为，再将选择支中的点分别代入验证即可． 【详解】解：， 把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，平移后的抛物线的解析式为， 当时，， 点符合题意，点不符合题意， 当时，， 点不符合题意， 当时，， 点不符合题意． 故选：A． 7. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，，，则对角线交点的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作轴于点，由直角三角形的性质求出长和长即可． 【详解】解：过点作轴于点， ∵四边形为菱形，， ∴，OB⊥AC，， ∵，∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理及含30°直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，，连接AC，过点O作交AC的延长线于P．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由可知，OP与x轴的夹角为45°，又因为，则为等腰直角形，设OC=x，OB=2x，用勾股定理求其他线段进而求解． 【详解】∵P点坐标为（1，1）， 则OP与x轴正方向的夹角为45°， 又∵， 则∠BAO=45°，为等腰直角形， ∴OA=OB， 设OC=x，则OB=3OC=3x， 则OB=OA=3x， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理和锐角三角函数的求解，根据P点坐标推出特殊角是解题的关键． 9. 如图，在矩形中，，，点E、F分别为、的中点，、相交于点G，过点E作，交于点H，则线段的长度是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出，求出，，求出，根据勾股定理求出，求出，根据三角形的中位线求出，根据相似三角形的判定得出，根据相似三角形的性质得出，再求出答案即可． 【详解】解析：四边形是矩形，，， ，，， 点E、F分别为、的中点， ，， ， ， ， ． 由勾股定理得：， ， ， ， ， ， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质和相似三角形的性质和判定，能熟记矩形的性质是解此题的关键． 10. 如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可． 【详解】A．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下．故选项错误； B．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0．故选项正确； C．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，和x轴的正半轴相交．故选项错误； D．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上．故选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=ax﹣a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 11. 计算：___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，直接根据特殊角的三角函数值计算即可．熟练掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：2． 12. 已知，则代数式的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的化简求值是解题的关键．将整理得，再将运用分配律的逆运算转化成，最后将代入计算即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 13. 如图，把含角的直角三角板放置在正方形中，，直角顶点P在正方形的对角线上，点M，N分别在边和上，与交于点O，且点O为的中点，则的度数为______． 【答案】##75度 【解析】 【分析】先利用证，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，从而得出，利用三角形外角性质得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵O为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∵O为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，发现是解题的关键． 14. 如图，将的∠AOB按图摆放在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将的∠AOC放置在该尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为____cm （结果精确到0.1 cm，参考数据：，，） 【答案】2.7． 【解析】 【详解】解直角三角形的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值． 过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E． 在△BOD中，∠BDO=90°，∠DOB=45°，∴BD=OD=2cm． ∴CE=BD=2cm． 在△COE中，∠CEO=90°，∠COE=37°， ∵，∴OE≈2.7cm． ∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7cm． 15. 如图，反比例函数的图缘经过的斜边的中点，与直角边相交于点，连接，若的面积是，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，过点作轴的垂线交轴于点，可得到四边形和的面积相等，通过面积转化，可求出的值，掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：过点作轴的垂线交轴于点， ∵的面积和的面积相等， ∴的面积和四边形的面积相等且为， 设， ∵为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 16. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．有下列结论：①；②；③；④（m为实数）；⑤；其中正确结论的序号为___________． 【答案】②③④⑤ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数由判别式确定，根据对称轴得到，代入可判断②，先根据和判定和，再判定⑤即可，将④中原式化成，再根据二次函数最值判断即可． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ， ∵抛物线的对称轴在轴右侧， ， ∵抛物线与轴交于负半轴， ， ∴，故①错误； ②当时，， ， ， ， 把代入中得，所以②正确； ③∵二次函数与 x 轴有两个交点， ， 即，故③是正确的； ⑤当时，， ， ， 当时，， ， ， ， ， 即，所以⑤正确； ④∵抛物线的对称轴为直线， ∴时，函数的最小值为， ， 即，所以④正确． 故答案为：②③④⑤． 三、作图题（本小题满分4分） 17. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 现有一个四边形木块，且为直角，现要利用这块木块截一个正方形，使其对角线长等于已知线段．请在图中作出这个正方形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，掌握基本作图的方法，证明该图形是正方形，掌握角平分线，线段垂直平分线，等腰直角三角形，正方形判定是解题关键．①作的角平分线； ②在上截取； ③作线段的垂直平分线，分别与木块交于B，D两点，然后证明正方形即为所求． 【详解】解： ①以点A为圆心，任意长为半径画弧，交两边于两点，以这两点为圆心，大于这两点之间距离的一半为半径画弧，交于一点，过点A与此点作射线，可得的平分线，②在上截取， ③以点A、C为圆心，大于为半径画弧，交于两点，过这两点作直线交的两边于B，D，交于O，为线段的垂直平分线， 连接，则正方形ABCD即为所求． 证明：∵∵为线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形为正方形． 四、解答题（满分68分） 18. （1）解方程：． （2）用配方法求抛物线的顶点坐标和对称轴． 【答案】（1），；（2）二次函数关系式的对称轴是直线，顶点坐标是 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，配方法求抛物线的顶点坐标和对称轴，熟练掌握解一元二次方程及配方法求抛物线的顶点坐标和对称轴是解题的关键． （1）根据一元二次方程的求根公式求解即可； （2）现将配方，再根据抛物线的对称轴及顶点坐标公式求解即可． 【详解】解：（1），，， ， ，； （2） ， 二次函数关系式的对称轴是直线，顶点坐标是． 19. 在四个完全相同的小球上分别写上1，2，3，4四个数字，然后装入一个不透明的口袋内均匀，从口袋内任取出第一个球记下数字后作为点P的横坐标x，放回，再从袋中取出第二个球记下数字后作为点P的纵坐标y，请用树状图或列表的方法求出点落在直线上的概率． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比． 首先根据题意画出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与数字x、y满足的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：列表如下： y x 1 2 3 4 1 2 3 4 共有16种等可能的结果，数字x、y满足的有，，，． (数字x、y满足)． 20. 如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪测得顶端A的仰角为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得顶端A的仰角为，则电子厂的高度为多少米？ （参考数据：，，） 【答案】的高度为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键．设，根据三角函数的定义，在和中， 分别求出，的值，再根据列方程，求出x的值，即可进一步求得答案． 【详解】解：由题意得：，，，，， 设，则， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得：， ， ， 图书馆的高度为． 21. 如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质证明再结合BE＝DF，从而可得结论； （2）先利用正方形的性质证明 再求解EF的长，再利用四边形AECF的面积，即可得到答案． 【小问1详解】 证明： 正方形ABCD， 【小问2详解】 如图，连结AC， 正方形ABCD， ∴四边形AECF的面积 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，掌握“正方形的对角线相等且互相垂直平分”是解本题的关键． 22. 如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，车棚支柱AO的高度为，如图2，棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱AO的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系，点在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形，通过计算判定货车是否能够完全停到车棚内． 【答案】可判定货车能完全停到车棚内 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键．将，代入计算，求得二次函数的解析式，若货车正好完全停到车棚内，则点D与点B的横坐标相等，此时，点C的坐标为，再计算当时，抛物线上对应点的纵坐标为，由可知，点F在抛物线的下方，即可判断答案． 【详解】解：将，代入， 得， 解得， ， ，， ， 在中， 当时，， ， 可判定货车能完全停到车棚内． 23. 如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C、D．若，． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）， （2）8 【解析】 【分析】（1）根据，可得出B点的坐标，运用待定系数法即可求出AB的解析式；再通过比例关系解出点C的坐标，可得反比例函数表达式； （2）过D作轴，垂足为点，联列方程组解出点D的坐标，再根据即可求出的面积． 【小问1详解】 在中，∵， ∴， ∵，∴， ∵A、B两点在函数上， 将、代入得 解得，， ∴ 设，过点C作轴，垂足为E，则， ∴， 又∵， ∴， 即，，即， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴； 【小问2详解】 解方程组，得， ∴， 过D作轴，垂足为点 ∵ ∴ ． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，涉及反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数中的面积问题，熟练运用反比例函数的性质，以及灵活运用面积计算的方法是解题的关键． 24. 定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α（）得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 【特例感知】（1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系 ； ②如图3，当时，则长为 ． 【猜想论证】（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 【答案】（1）①；②4；（2），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、理解“旋补三角形”的定义是解题的关键． （1）①根据含30度的直角三角形的性质解答； ②证明，根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质计算； （2）证明四边形是平行四边形，得到，根据全等三角形的性质得到，得到答案． 【详解】解：（1）①∵是等边三角形， ∴， ∵是的“旋补三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵是的“旋补三角形”， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∵，是的“旋补中线”， ∴， 故答案为：4； （2）猜想． 证明：如图，延长至点E使得，连接， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 25. 为响应国家提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款可控温杯，每个的生产成本为18元，投放市场进行试销，经过调查得到每月销售量（万/个）与销售单价（元/个）之间的部分数据如下： 销售单价（元/个） … 20 25 30 35 … 每月销售量（万/个） … 60 50 40 30 … （1）试判断与之间的函数关系，并求出函数关系式； （2）设每月的利润为（万元），求与之间的函数关系式； （3）该公司既要获得一定利润，又要符合相关部门规定（产品利润率不高于50%），请你帮助分析，公司销售单价定为多少时可获利最大？求出最大利润． 【答案】（1）是的一次函数， （2）w=-2x2+136x-1800； （3）当销售单价为27元时，公司每月获得的利润最大，最大利润为414万元． 【解析】 【分析】（1）根据题意先判断为一次函数关系，再利用待定系数法即可得到结论； （2）根据利润=销售量×（销售单价-成本），代入代数式求出函数关系式； （3）根据产品利润率不得高于50%且成本价18元，得出销售单价的取值范围，进而利用二次函数的性质得出最大利润． 【小问1详解】 解：由单价每增加5元，销售量减少10万个，可判断是的一次函数， 设销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：y=kx+b， 把（20，60），（30，40）代入y=kx+b得 ， 解得：， ∴每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：y=-2x+100； 【小问2详解】 由题意得，w=y（x-18） =（-2x+100）（x-18） =-2x2+136x-1800； 【小问3详解】 ∵销售利润率不能高于50%， 则x≤（1+50%）×18=27， ∵w=-2x2+136x-1800=-2（x-34）2+512， ∴图象开口向下，对称轴左侧w随x的增大而增大， ∴x=27时，w最大为：414万元． 当销售单价为27元时，公司每月获得的利润最大，最大利润为414万元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是得出销售利润的表达式，要求同学们熟练掌握配方法求二次函数最值的应用． 26. 如图，在矩形中，是对角线，，．点E从点D出发，沿方向匀速运动，速度是；点F从点B出发，沿方向匀速运动，速度是．直线过点F，且，分别交、于点M，N，连接、、．两点同时出发，设运动时间为（），请回答下列问题： （1）当t为___________时，和相似； （2）设四边形的面积为，求关于之间的函数关系式； （3）求当为何值时，为等腰三角形． 【答案】（1） （2） （3）或时，为等腰三角形 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质及相似三角形的判定，即可求得答案； （2）根据相似三角形的判定分别求出，，，再根据求解即可； （3）若时，直接列方程求解；若时，过点作于，证明，并列方程求解即可；若时，过点作于点G，证明，并列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，，， 四边形是矩形， ，， ， ， 若要使和相似， 则， ， 解得， 当t为时，和相似； 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， 即， ， 同理， ，， 即S关于之间的函数关系式为：； 【小问3详解】 解：①若时，则，解得：； ②若时，过点作于， ， 为等腰三角形， 又， ， ，， ， ， 即， ； ③若时，过点作于点G， ， 为等腰三角形， 又， ， ，， ， 即， 解得， 此时（舍去）； 综上所述，当或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，对等腰三角形进行分类讨论及添加辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期末学业水平诊断性测试 九年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 友情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！ 本试题共24道题.第1—10题为选择题，共30分；第11—16题为填空题，共18分；第17题为作图题，共4分；第18—26题为解答题，共68分.要求所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效 一、选择题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分） 下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的.每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分. 1. 在如图所示的几何体中，俯视图和左视图相同的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（　　） A. 选①② B. 选②③ C. 选①③ D. 选②④ 4. 已知，两点在反比例函数的图象上，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 小颖有两顶帽子，分别为红色和黑色，有三条围巾，分别为红色、黑色和白色，她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，平移后的图象必经过点（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，，，则对角线交点的坐标为( ) A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，，连接AC，过点O作交AC的延长线于P．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 3 9. 如图，在矩形中，，，点E、F分别为、的中点，、相交于点G，过点E作，交于点H，则线段的长度是（ ） A. B. 1 C. D. 10. 如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 11. 计算：___________． 12. 已知，则代数式的值为___________． 13. 如图，把含角的直角三角板放置在正方形中，，直角顶点P在正方形的对角线上，点M，N分别在边和上，与交于点O，且点O为的中点，则的度数为______． 14. 如图，将的∠AOB按图摆放在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将的∠AOC放置在该尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为____cm （结果精确到0.1 cm，参考数据：，，） 15. 如图，反比例函数的图缘经过的斜边的中点，与直角边相交于点，连接，若的面积是，则的值为______． 16. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．有下列结论：①；②；③；④（m为实数）；⑤；其中正确结论的序号为___________． 三、作图题（本小题满分4分） 17. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 现有一个四边形木块，且为直角，现要利用这块木块截一个正方形，使其对角线长等于已知线段．请在图中作出这个正方形． 四、解答题（满分68分） 18. （1）解方程：． （2）用配方法求抛物线的顶点坐标和对称轴． 19. 在四个完全相同的小球上分别写上1，2，3，4四个数字，然后装入一个不透明的口袋内均匀，从口袋内任取出第一个球记下数字后作为点P的横坐标x，放回，再从袋中取出第二个球记下数字后作为点P的纵坐标y，请用树状图或列表的方法求出点落在直线上的概率． 20. 如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪测得顶端A的仰角为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得顶端A的仰角为，则电子厂的高度为多少米？ （参考数据：，，） 21. 如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积． 22. 如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，车棚支柱AO的高度为，如图2，棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱AO的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系，点在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形，通过计算判定货车是否能够完全停到车棚内． 23. 如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C、D．若，． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求的面积． 24. 定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α（）得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 【特例感知】（1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系 ； ②如图3，当时，则长为 ． 【猜想论证】（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 25. 为响应国家提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款可控温杯，每个的生产成本为18元，投放市场进行试销，经过调查得到每月销售量（万/个）与销售单价（元/个）之间的部分数据如下： 销售单价（元/个） … 20 25 30 35 … 每月销售量（万/个） … 60 50 40 30 … （1）试判断与之间的函数关系，并求出函数关系式； （2）设每月的利润为（万元），求与之间的函数关系式； （3）该公司既要获得一定利润，又要符合相关部门规定（产品利润率不高于50%），请你帮助分析，公司销售单价定为多少时可获利最大？求出最大利润． 26. 如图，在矩形中，是对角线，，．点E从点D出发，沿方向匀速运动，速度是；点F从点B出发，沿方向匀速运动，速度是．直线过点F，且，分别交、于点M，N，连接、、．两点同时出发，设运动时间为（），请回答下列问题： （1）当t为___________时，和相似； （2）设四边形的面积为，求关于之间的函数关系式； （3）求当为何值时，为等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $