精品解析：湖南省常德市临澧县第一中学2024-2025学年高一(永通班)下学期第一次阶段性考试数学试题

临澧一中2025年上学期高一第一次阶段性考试 数学（试卷） （命题人：林祖成 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数有意义列出不等式即可求解. 【详解】的定义域需满足， 解得且， 故定义域为 故选：C 2. 如图，在四边形ABCD中，，设，，则等于（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算，结合图形可得. 【详解】因为， 所以 . 故选：C 3. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 又，，， 所以， 所以函数有唯一零点，且内. 故选：C 4. 在中，若，，，则等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】解：由正弦定理可得，，， ，， 或， 故选：D 5. 已知，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据两角和与差的正弦公式进行化简求值即可. 【详解】由于， 那么， ，则， 故选：C． 6. 定义在上的奇函数满足：当时，，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可得，画出函数图象，数形结合得到不等式，求出解集. 【详解】因为是定义在上的奇函数，故即， 故， 当时，为增函数，令可得， 结合函数为奇函数，可作出的图象， 由可得或，由图象可得或， 故或，即解集为. 故选：B 7. 已知函数且且，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件构造新函数得到它在上是增函数，再利用分段函数的单调性列式求解即可. 【详解】因为且， 不妨设，则， 则， 所以， 令函数 则为上的增函数，则 解得. 故选：D. 8. 如图，在中，点在线段上，且．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用表示，再利用数量积的运算律计算即得. 【详解】在中，点在线段上，且， 则， ，而，因此， 即，所以. 故选：A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知x、y都是正数，则（ ） A. B. 若，则的最大值为2 C. 的最大值为 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用基本不等式求解判断ABC；举例说明判断D. 【详解】对于A，，则，当且仅当时取等号，A错误； 对于B，，解得，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，当时，，D错误. 故选：BC 10. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数 C. 的图象关于直线对称 D. 若方程在上有且只有6个根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由图象得，代点计算得到然后得到函数解析式，进而利用三角函数的性质逐项分析判定. 【详解】由图象得，，而，则， 由的图象过点，得，解得， 而周期有，即，解得，因此，A正确； 函数的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是，非奇非偶函数，B错误；，C正确； 显然， 若方程在上有且只有6个根，则，D正确． 故选：ACD． 11. 著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为，重心为，垂心为，为中点，且，，则下列各式正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用三角形的外心、重心、垂心的性质，结合平面向量的线性运算法则以及平面向量的数量积的定义及运算律逐项分析即可. 【详解】由是的重心可得， 所以，故A项错误； 过的外心分别作， 的垂线，垂足为，，如图(1)，易知，分别是，的中点，则 ，故B项正确； 因为是的重心，所以有，故， 由欧拉线定理可得，故C项正确： 如图(2)，由于，所以，故D错误． 故选:BC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用对数的运算公式法则和换底公式计算. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以． 故答案为： 13. 对于函数，若存在使，则称点是曲线的“优美点”，已知．若曲线存在“优美点”，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先转化为函数图象上存在关于原点对称的点，进而转化为射线与的图象有公共点即可，最后转化为有解，利用基本不等式结合极限考察解决右端函数的值域，进而得解. 【详解】若函数存在“优美点”，则函数图象上存在关于原点对称的点， 当时，，将其图象关于原点对称， 所得图象的解析式为． 所以只要射线与的图象有公共点即可， 由得， 所以有解. 由基本不等式可得时等号成立， 所以， 当或时， 所以的值域是. 所以，即． 故答案为：. 14. 如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到点，设，，根据，结合中点公式列出方程组，求得，结合，得到，即可求解. 【详解】由函数的图象，不妨令，则，所以， 设，， 因为，可得，解得， 所以 ，所以， 又由图可知，所以. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知向量. （1）若，求； （2）若，求与的夹角. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量减法的坐标运算及共线向量的坐标表示求出，再求出向量的模. （2）利用向量加法的坐标运算及向量垂直的坐标表示求出，再求出向量夹角. 【小问1详解】 向量，则，由，得， 解得，即， 所以. 【小问2详解】 向量，则，由，得， 解得，则，，而， 因此，而， 所以与的夹角. 16. 函数，若函数的图象与轴的两个相邻交点间的距离为，且图象的一条对称轴是直线． （1）求函数的解析式； （2）设集合, 若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由函数的图象与轴的两个相邻交点间的距离为，求得函数的周期，得到，再由图象的一条对称轴是直线，求得，即可得到函数的解析式； （2）由，把不等式恒成立，转化为，结合三角函数的性质，求得函数的最值，即可求解. 【详解】（1）由题意知，函数的图象与轴的两个相邻交点间的距离为， 可得, 解得，又由，所以， 又由图象的一条对称轴是直线，可得， 且，解得， 所以 （2）由集合， 因为若，即当时，不等式恒成立， 所以， 因为，则， 当，即，函数取得最小值，最小值为； 当，即，函数取得最大值，最大值为， 所以. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，合理转化是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题. 17. 已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中. （1）求A； （2）已知直线为的平分线，且与BC交于点M，若求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理的边角变换，结合三角函数的和差公式即可得解； （2）利用三角形面积公式与余弦定理得到关于的方程组，结合整体法即可得解. 【小问1详解】 根据题意可得， 由正弦定理得， 又， 故， 又，所以，则， 因为，所以. 【小问2详解】 因， 所以， 又平分，所以， 所以， 则，即 由余弦定理得，即， 所以，解得（负值舍去）， 故的周长为. 18. 已知函数是偶函数 （1）求b的值; （2）直接指出函数的单调性不证明，并解不等式 （3）证明：方程在有唯一实根，且 【答案】（1） （2）函数在单调递减，单调递增，或 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由偶函数定义可以求得结果. （2）由题意可得在单调递减，单调递增，进而可得，求解即可. （3）根据题意构造函数，利用复合函数单调性和单调性性质求得新函数得单调性。结合单调性、零点存在性定理即可证明. 【小问1详解】 为偶函数对恒成立， ，成立， 【小问2详解】 在单调递减，单调递增， 由且为偶函数，， 或，解得或 【小问3详解】 记 ， 在为减函数，在其定义域上为增函数， 在为减函数， 在为增函数，在为减函数， 在为减函数， 又，， 由零点存在定理和单调性知，存在唯一， 使即方程在有唯一实根， 此时，， 19. 设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：．试求解下列问题， （1）已知向量满足，求的值； （2）在平面直角坐标系中，已知点，求的值； （3）已知向量，求的最小值. 【答案】（1）2 （2）7 （3）9 【解析】 【分析】（1）借助新定义计算即可得； （2）借助所给定义及三角函数间的关系，计算可得，代入数据计算即可得； （3）由，代入数据，结合基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 由已知，得， 所以，即， 又，所以， 所以； 【小问2详解】 设，则， 所以， ， 所以， 又， 所以； 【小问3详解】 由（2）得， 故， ， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值是9． 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助所给定义及三角函数间的关系，计算得到. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 临澧一中2025年上学期高一第一次阶段性考试 数学（试卷） （命题人：林祖成 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在四边形ABCD中，，设，，则等于（ ） A B. C. D. 3. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，若，，，则等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 已知，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 6. 定义在上的奇函数满足：当时，，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数且且，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点在线段上，且．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知x、y都正数，则（ ） A. B. 若，则的最大值为2 C. 的最大值为 D. 10. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数 C. 的图象关于直线对称 D. 若方程在上有且只有6个根，则 11. 著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为，重心为，垂心为，为中点，且，，则下列各式正确的有（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则__________． 13. 对于函数，若存在使，则称点是曲线的“优美点”，已知．若曲线存在“优美点”，则实数的取值范围为__________． 14. 如图，在函数部分图象中，若，则点的纵坐标为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知向量. （1）若，求； （2）若，求与的夹角. 16. 函数，若函数的图象与轴的两个相邻交点间的距离为，且图象的一条对称轴是直线． （1）求函数的解析式； （2）设集合, 若，求实数的取值范围. 17. 已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中. （1）求A； （2）已知直线为的平分线，且与BC交于点M，若求的周长. 18. 已知函数是偶函数 （1）求b的值; （2）直接指出函数的单调性不证明，并解不等式 （3）证明：方程在有唯一实根，且 19. 设平面内两个非零向量夹角为，定义一种运算“”：．试求解下列问题， （1）已知向量满足，求的值； （2）在平面直角坐标系中，已知点，求的值； （3）已知向量，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$