精品解析：湖南省永州市蓝山县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024年下期期末学业质量监测九年级数学（试题卷） 温馨提示： 本试卷满分120分，考试时间120分钟．本试卷共三道大题，26个小题．如有缺页，考生须声明． 亲爱的同学，请你沉着应考，细心审题，揣摩题意，应用技巧，准确作答．祝你成功！ 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上） 1. 反比例函数的图像一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 2. 已知反比例函数y＝的图象在第二、四象限，则m的取值范围是(　 　) A. m≥5 B. m>5 C. m≤5 D. m<5 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（　　） A. B. 2 C. 2或 D. 4或 5. 我县开展老旧小区改造，2022年投入此项工程的专项资金为1000万元，2023、2024年投入资金一共为3440万元．设该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了，此时小球距离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，已知，与的相似比为，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验. 如图所示的实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（　）． A. B. 4 C. D. 5 9. △ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，cosB＝，则△ABC的形状是（　　） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 锐角三角形或钝角三角形 10. 如图，，，，，（为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次是，，，，，顶点，，，，均在轴上，点是所有等边三角形的中心，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 无法确定 二、填空题（本答题共8个小题，每小题3分，共24分；请将答案填在答题卡的答案栏内） 11. 若是方程的一个根，则_______． 12. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐，如图，，，为直线与五线谱横线相交的三个点，若，则的长为__________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若的面积为2，则k的值为____________． 14. “手机阅读”已逐渐成了眼科病的主要病因，据调查表明在“中年人”中有“手机阅读”习惯的占比约达，若随机选择150名“中年人”进行调查，则估计有 __人有此习惯． 15. 在中，已知，，则的值是______． 16. 已知是方程的两个根，则______． 17. 秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”，实际上，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点是的黄金分割点，如果的长为，那么的长为______． 18. 如图，四边形OABC是平行四边形，对角线OB在y轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y1＝ 和y2＝ 的一支上，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为M和N，则有以下的结论：① ②阴影部分面积是（k1﹣k2）③当∠AOC＝90°时，|k1|＝|k2|；④若四边形OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．其中正确的结论是_____． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答题要求写出必要的文字说明或演算步骤） 19. 计算：． 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 第七届全国学生“学宪法、讲宪法”活动开展以来，全国各地师生积极响应．某校为了解本校学生对宪法知识的了解情况，对八年级学生进行了知识测试，测试成绩全部合格，现随机选取了部分学生的成绩，整理并制作成了如下不完整的图表： 分数段 频数 频率 9 a 36 0.4 27 0.3 0.2 请根据上述统计图表，解答下列问题： （1）表中___________，___________； （2）请补全频数分布直方图； （3）根据以上数据，如果90分以上（含90分）为优秀，若该学校八年级学生有900名，请你估算一下该学校八年级学生成绩优秀的人数． 22. 有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来．一座楼阁镇四方，团结一心建家乡．年为庆祝湘西自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公园内修建了一座三层楼高的“一心阁”民族团结楼阁．芙蓉学校数学实践活动小组为测量“一心阁”的高度，在楼前的平地上A处，观测到楼顶处的仰角为30°，在平地上处观测到楼顶处的仰角为，并测得A、两处相距，求“一心阁”的高度．（结果保留小数点后一位，参考数据：，） 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）请直接写出不等式的解集： （3）点P为反比例函数图象上的任意一点，若，求点P的坐标． 24. 如图，在等边三角形中，点是边上一动点（点不与端点重合），作，交边于点，交边于点． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 25. 我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．例如， ①换元法求解四次方程：． 设，则原方程可变为，解得，， 当时，即，； 当时，即，； 原方程有四个根：，，，． ②因式分解法求解三次方程：． 将其变形为， ， ， ， ， 或， 原方程有三个根：，，． （1）仿照以上方法解方程： ①； ②； （2）已知：，且，求的值． 26. 阅读与思考． 请仔细阅读并完成相应的任务． 利用我们所学习的三角函数的相关知识可以解决许多关于三角形边长、角度、面积等问题．如图，在锐角中，，，的对边分别是，过点作于点，则，即，于是．在中，，在中，，，整理得． 任务： （1）______； （2）已知中，，，所对边分别是，，，，求． （3）已知中，，，所对边分别是，，，，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下期期末学业质量监测九年级数学（试题卷） 温馨提示： 本试卷满分120分，考试时间120分钟．本试卷共三道大题，26个小题．如有缺页，考生须声明． 亲爱的同学，请你沉着应考，细心审题，揣摩题意，应用技巧，准确作答．祝你成功！ 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上） 1. 反比例函数的图像一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象的特征是解题的关键； 反比例函数图象上点的坐标满足解析式．据此判断逐项即可． 【详解】解：A、当时，， 故是反比例函数的图象一定经过的点，此选项符合题意； B、当时，， 故反比例函数的图象经过的点，此选项不符合题意； C、当时，，故一定不是反比例函数的图象一定经过的点，此选项不符合题意； D、当时，，故一定不是反比例函数的图象一定经过的点，故此选项不符合题意， 故选：A． 2. 已知反比例函数y＝的图象在第二、四象限，则m的取值范围是(　 　) A. m≥5 B. m>5 C. m≤5 D. m<5 【答案】D 【解析】 【分析】根据:当k＞0时，双曲线在第一、三象限；k＜0时，双曲线在第二、四象限.可得m-5<0. 【详解】因为，反比例函数y＝的图象在第二、四象限 所以，m-5<0 所以，m<5 故选D 【点睛】本题考核知识点：反比例函数的图象.解题关键点：熟记反比例函数的性质. 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，设比值为是解题关键． 设 ，用表示出 ，代入求值即可． 【详解】解：设 ， ， 故选：B ． 4. 已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（　　） A. B. 2 C. 2或 D. 4或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，由一元二次方程的定义可得，由题意又知，联立不等式组，求解可得答案． 【详解】解：根据题意可得： ， 解得． 故选：A． 5. 我县开展老旧小区改造，2022年投入此项工程的专项资金为1000万元，2023、2024年投入资金一共为3440万元．设该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据2022年投入此项工程的专项资金及该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率，可得出2023、2024年投入此项工程的专项资金，结合2023、2024年投入资金一共为3440万元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：年投入此项工程的专项资金为1000万元，且该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率为， 年投入此项工程的专项资金为万元，2024年投入此项工程的专项资金为万元． 根据题意得：． 故选：D． 6. 如图，一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了，此时小球距离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角函数—坡度问题，勾股定理，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．过点作，垂足为，根据题意可得，，设，则，由勾股定理，列方程即可求解． 【详解】解：过点作，垂足为， 根据题意得：，， 设，则， 由勾股定理， 得：， 解得：（负值已舍去）， 故选：D． 7. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，已知，与的相似比为，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据坐标，相似比，点的位置确定坐标即可． 【详解】∵，与的相似比为， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了坐标系中的位似，熟练掌握坐标与位似比的关系是解题的关键． 8. 《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验. 如图所示的实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（　）． A. B. 4 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质的应用，“相似三角形对应高线的比等于相似比”，据此即可求解． 【详解】解：设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形的性质得， 解得． 即蜡烛火焰的高度是． 故选：A 9. △ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，cosB＝，则△ABC的形状是（　　） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 锐角三角形或钝角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠A，∠B的度数，进而得出答案． 【详解】∵sinA＝，cosB， ∴∠A＝45°，∠B＝60°， ∴∠C＝75°， ∴△ABC的形状是锐角三角形． 故选C． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 10. 如图，，，，，（为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次是，，，，，顶点，，，，均在轴上，点是所有等边三角形的中心，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了点坐标规律探索，等边三角形的性质，含度角的直角三角形，勾股定理等知识点，由等边三角形的顶点规律得出“点是第个等边三角形的第个顶点，且点在第四象限内”是解题的关键． 观察图形可知，等边三角形的顶点每个为一个循环，由可知，点是第个等边三角形的第个顶点，且点在第四象限内，该等边三角形的边长为，连接，设的坐标为（，），由等边三角形的性质、含度角的直角三角形的性质及勾股定理即可求出点的坐标． 【详解】解：观察图形可知，等边三角形的顶点每个为一个循环， ， 点是第个等边三角形的第个顶点， 点在第四象限内，该等边三角形的边长为， 如图，连接， 设的坐标为（，）， 由等边三角形的对称性可知： ， 点是该等边三角形的中心， ， ， ， 根据勾股定理可得：， 即：， ， ， ， ， 故选：． 二、填空题（本答题共8个小题，每小题3分，共24分；请将答案填在答题卡的答案栏内） 11. 若是方程的一个根，则_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，掌握方程的解代入方程使方程左右两边相等．将代入方程得到有关的方程，然后求解即可． 【详解】解：是方程的一个根， ， 解得：， 故答案为：1． 12. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐，如图，，，为直线与五线谱横线相交的三个点，若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．过点作于，交于，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】解：作于，交于， ， ， ， ， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若的面积为2，则k的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形面积公式和反比例函数，熟练掌握三角形面积公式和反比例函数是解题的关键． 根据题意设点为，由题目中的图可知，则可得到答案. 【详解】解：设A点的坐标为， 则x，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. “手机阅读”已逐渐成了眼科病的主要病因，据调查表明在“中年人”中有“手机阅读”习惯的占比约达，若随机选择150名“中年人”进行调查，则估计有 __人有此习惯． 【答案】90 【解析】 【分析】本题主要考查用样本估计总体，解题关键是掌握用样本估计总体的方法．根据总人数有“手机阅读”习惯的百分比，据此可估计总体中有此习惯的人数． 【详解】解：根据题意知有此习惯的人数估计为（人， 故答案为：90． 15. 在中，已知，，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一个锐角的正弦与正切值，解题关键是理解正弦与正切的定义．先设出三角形的三边，再利用正切的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴可设，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 已知是方程的两个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，分式的加法，熟练掌握知识点是解题的关键．由题意得，，再对通分化简，代入即可． 【详解】解：，是方程的两个根， ，， ． 故答案为：． 17. 秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”，实际上，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点是的黄金分割点，如果的长为，那么的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算即可得解，熟练掌握黄金分割的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵点是的黄金分割点，的长为， ∴， 故答案为：． 18. 如图，四边形OABC是平行四边形，对角线OB在y轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y1＝ 和y2＝ 的一支上，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为M和N，则有以下的结论：① ②阴影部分面积是（k1﹣k2）③当∠AOC＝90°时，|k1|＝|k2|；④若四边形OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．其中正确的结论是_____． 【答案】①②④． 【解析】 【分析】作AE⊥y轴于点E，CF⊥y轴于点F，根据平行四边形的性质得S△AOB=S△COB，利用三角形面积公式得到AE=CF，则有OM=ON，再利用反比例函数k的几何意义和三角形面积公式得到S△AOM=|k1|=OM•AM，S△CON=|k2|=ON•CN，所以有；由S△AOM=|k1|，S△CON=|k2|，得到S阴影=S△AOM+S△CON=(|k1|+|k2|)=(k1-k2)；当∠AOC=90°，得到四边形OABC是矩形，由于不能确定OA与OC相等，则不能判断△AOM≌△CNO，所以不能判断AM=CN，则不能确定|k1|=|k2|；若OABC是菱形，根据菱形的性质得OA=OC，可判断Rt△AOM≌Rt△CNO，则AM=CN，所以|k1|=|k2|，即k1=-k2，根据反比例函数的性质得两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称． 【详解】作AE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F，如图， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴S△AOB=S△COB， ∴AE=CF， ∴OM=ON， ∵S△AOM=|k1|=OM•AM，S△CON=|k2|=ON•CN， ∴，故①正确； ∵S△AOM=|k1|，S△CON=|k2|， ∴S阴影部分=S△AOM+S△CON=(|k1|+|k2|)， 而k1＞0，k2＜0， ∴S阴影部分=(k1-k2)，故②正确； 当∠AOC=90°， ∴四边形OABC是矩形， ∴不能确定OA与OC相等， 而OM=ON， ∴不能判断△AOM≌△CNO， ∴不能判断AM=CN， ∴不能确定|k1|=|k2|，故③错误； 若OABC是菱形，则OA=OC， 而OM=ON， ∴Rt△AOM≌Rt△CNO， ∴AM=CN， ∴|k1|=|k2|， ∴k1=-k2， ∴两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称，故④正确， 故答案为①②④． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，涉及了反比例函数的图象、反比例函数k的几何意义、平行四边形的性质、矩形的性质和菱形的性质等，熟练掌握各相关知识是解题的关键. 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答题要求写出必要的文字说明或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值．代入特殊角的三角函数值，根据实数的混合运算的法则计算即可求解． 【详解】解：原式 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， 即：， 或， 解得：，． 21. 第七届全国学生“学宪法、讲宪法”活动开展以来，全国各地师生积极响应．某校为了解本校学生对宪法知识的了解情况，对八年级学生进行了知识测试，测试成绩全部合格，现随机选取了部分学生的成绩，整理并制作成了如下不完整的图表： 分数段 频数 频率 9 a 36 0.4 27 0.3 0.2 请根据上述统计图表，解答下列问题： （1）表中___________，___________； （2）请补全频数分布直方图； （3）根据以上数据，如果90分以上（含90分）为优秀，若该学校八年级学生有900名，请你估算一下该学校八年级学生成绩优秀的人数． 【答案】（1），18 （2） 补全的频数分布直方图如下图所示， ； （3）该学校八年级学生成绩优秀的人数约为180人． 【解析】 【分析】（1）根据已知频数和频率的分数段即可计算调查的总人数，然后根据某个分数段的频率计算该分数段的频数，或者根据频数计算频率； （2）根据表中数据绘制条形图即可； （3）使用样本中的优秀率估计总体学生的优秀人数即可． 【小问1详解】 解：参与调查的总人数为：（人）， ∴，， 故答案为；18； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴该学校八年级学生成绩优秀的人数约为180人． 【点睛】本题主要考查频数分布表，频数以及频率的定义，理解样本与总体、频数与频率之间的区别与联系是求解本题的关键． 22. 有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来．一座楼阁镇四方，团结一心建家乡．年为庆祝湘西自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公园内修建了一座三层楼高的“一心阁”民族团结楼阁．芙蓉学校数学实践活动小组为测量“一心阁”的高度，在楼前的平地上A处，观测到楼顶处的仰角为30°，在平地上处观测到楼顶处的仰角为，并测得A、两处相距，求“一心阁”的高度．（结果保留小数点后一位，参考数据：，） 【答案】m 【解析】 【分析】由题意易得CH=BH，设CH=BH=xm，则有m，进而根据三角函数可进行求解． 【详解】解：由题意得：， ∴CH=BH， 设CH=BH=xm，则有m， ∴，即， 解得：， ∴m． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）请直接写出不等式的解集： （3）点P为反比例函数图象上的任意一点，若，求点P的坐标． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）把点代入直线得：，即可求得一次函数的解析式，把点代入，得，即可反比例函数的解析式； （2）求出点的坐标，根据图象求解即可； （3）根据图象求出，再根据求出，即可求出． 【小问1详解】 解：把点代入直线得：， 直线， 即一次函数的解析式为， 把点代入，得 ， 即反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：把点代入，得， ∴， ∵， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：把代入得：， 即点的坐标为：， ， ， ， ， 当点的纵坐标为3时，则，解得， 当点的纵坐标为时，则，解得， 点的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数解析式，利用图象法求不等式的解集，一次函数图象与坐标轴交点，三角形面积，数形结合是解题关键． 24. 如图，在等边三角形中，点是边上一动点（点不与端点重合），作，交边于点，交边于点． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）的长是 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得，而，则，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （2）由，，求得，，由相似三角形的性质得出，求得，得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的长是． 25. 我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．例如， ①换元法求解四次方程：． 设，则原方程可变为，解得，， 当时，即，； 当时，即，； 原方程有四个根：，，，． ②因式分解法求解三次方程：． 将其变形为， ， ， ， ， 或， 原方程有三个根：，，． （1）仿照以上方法解方程： ①； ②； （2）已知：，且，求的值． 【答案】（1）①，；②原方程有三个根：，， （2） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，解一元二次方程—配方法，换元法，因式分解法，解题的关键是学会模仿例题解决问题． （1）模仿例题解决问题即可； （2）求出的值，利用降次思想求解即可． 【小问1详解】 解：①设，则原方程可变为，解得， 当时，即，∴无解（舍去） 当时，即，，． ②将其变形为： ， ， 或 原方程有三个根：，，． 【小问2详解】 ， ，且 ， 原式． 26. 阅读与思考． 请仔细阅读并完成相应的任务． 利用我们所学习的三角函数的相关知识可以解决许多关于三角形边长、角度、面积等问题．如图，在锐角中，，，的对边分别是，过点作于点，则，即，于是．在中，，在中，，，整理得． 任务： （1）______； （2）已知中，，，所对边分别是，，，，求． （3）已知中，，，所对边分别是，，，，求的度数． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合题意，得，即可作答． （2）把，，分别代入进行计算，解得，即可作答． （3）依题意，得，则，即可作答． 本题考查了新定义，解直角三角形的相关计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得：， ，，， ，即， 解得：，（舍去）， ； 【小问3详解】 解：由（2）可得：， ，，， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $