精品解析：广东实验中学2024-2025学年高一下学期开学考试数学试题

高一开学数学 一、单选题（本大题共8小题，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 设集合A=若AB,则实数a,b必满足 A. B. C. D. 2. 与分段函数的定义域和奇偶性均相同的函数是（ ） A. B. C. D. 3. 若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是 A. B. C. D. 4. 已知函数的最小正周期为π，则f（x）在的最小值为（ ） A B. C. 0 D. 5. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在定义域内是增函数 B. 是奇函数 C. 的最小正周期是π D. 图像的对称中心是， 6. 函数的定义域为，若与都是奇函数，则（ ） A. 偶函数 B. 是奇函数 C. D. 可是奇函数 7. 已知是定义在R上的函数，且关于直线对称.当时， ，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，都是定义在上的函数，对任意x，y满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数图象关于点对称 C D. 若，则 二、多选题（本大题共3小题） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数（且）的图像恒过定点 B. 若函数满足，则函数的图象关于点对称 C. 当时，函数的最小值为 D. 函数的单调增区间为 10. 下列选项正确的有（ ） A. “，”是假命题，则 B. 函数的图象的对称中心是 C. 若存在反函数，且，则的图象必过点 D. 已知表示不超过x的最大整数，则函数值域为 11. 已知a，b，，若，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. c的最大值为1 D. a的最小值为-1 三、填空题（本大题共3小题） 12. 已知关于的不等式的解集为，则______. 13. 已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________． 14. 设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为__________． 四、解答题（本大题共5小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，已知点Q的坐标为. （1）求的值； （2）若，求P的坐标. 16. 已知幂函数的图像过点和. （1）求实数的值； （2）若函数在区间上的最大值等于最小值的2倍，求实数的值. 17. 已知函数． （1）若函数的图象关于成中心对称图形，求b值； （2）判断的单调性（无需证明），并解关于x的不等式． 18. 已知函数的图象关于直线对称，且两相邻对称中心之间的距离为． （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）若函数为偶函数，求的最小值． （3）若关于的方程在区间上总有实数解，求实数的取值范围． 19. 设，是非空实数集，如果对于集合中的任意两个实数，，按照某种确定的关系，在中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个二元函数，记作，，，其中称为二元函数的定义域. （1）已知，若，，，求； （2）设二元函数定义域为，如果存在实数满足： ①，，都有， ②，，使得. 那么，我们称是二元函数的下确界. 若，，且，判断函数是否存在下确界，若存在，求出此函数的下确界，若不存在，说明理由. （3）的定义域为，若，对于，，都有，则称在上是关于单调递增.已知在上是关于单调递增，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一开学数学 一、单选题（本大题共8小题，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 设集合A=若AB,则实数a,b必满足 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：， ，若AB，则有或 考点：1．绝对值不等式解法；2．集合的子集关系 2. 与分段函数的定义域和奇偶性均相同的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出的定义域，再利用奇偶性的定义判断即可. 【详解】因为的定义域为 当时，，，，所以； 当时，，，，所以； 所以为奇函数. 对于A，的定义域为 ，所以为偶函数； 对于B，的定义域为 ，所以为奇函数； 对于C，的定义域为，且为奇函数； 对于D，的定义域为， ，为偶函数； 故选：B. 3. 若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，且，所以 设，则，所以单调递增， 所以 ，所以选B. 【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.本题虽小，但考查的知识点较多，需灵活利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断. 4. 已知函数的最小正周期为π，则f（x）在的最小值为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据周期公式求出，得到函数，由求出，结合正弦函数的图像得到最小值. 【详解】 ，由，得， 即，当时， ， 画出图象，如图，由图可知，在上单调递减， 所以，当时，． 故选： 5. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在定义域内是增函数 B. 是奇函数 C. 的最小正周期是π D. 图像的对称中心是， 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合正切函数性质逐项分析判断. 【详解】对于选项AC：因为的最小正周期是，可知在定义域内不单调，故AC错误； 对于选项B：，可知不是奇函数，故B错误； 对于选项D：令，解得， 所以图像的对称中心是，，故D正确； 故选：D. 6. 函数的定义域为，若与都是奇函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. D. 可是奇函数 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得关于和对称，即可得到，即可判断. 【详解】因为是奇函数，所以， 因为是奇函数，所以， 即关于和对称， 所以，， 得，得， 令，， ，，满足条件， 而，，满足条件， 但是奇函数，是偶函数，故AB都错； 且，故C错； 因为，所以， 即，所以可是奇函数.故D对 故选：D 7. 已知是定义在R上的函数，且关于直线对称.当时， ，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合复合函数的单调性，可知在上单调递减，由关于直线对称，可知为偶函数，从而可将题中不等式转化为，整理得对任意的恒成立，进而结合二次函数的性质，可求出的取值范围. 【详解】当时，， 函数在上单调递减，且是R上的增函数， 根据复合函数单调性可知，函数在上单调递减，且； 当时，，易知函数在上单调递减，且. ∴函数在上单调递减. ∵关于直线对称，∴关于对称，即为偶函数， ∴不等式可化为， ∴恒成立， 即，整理得， 令， ∴对任意的，恒成立， ∴， 即，解得. 故选：D. 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查函数的奇偶性、单调性的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于较难题. 8. 已知，都是定义在上的函数，对任意x，y满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC，取可判断B，对于D，通过观察选项可以推断很可能是周期函数，结合的特殊性及一些已经证明的结论，想到令和时可构建出两个式子，两式相加即可得出，进一步得出是周期函数，从而可求的值. 【详解】解：对于A，令，代入已知等式得，得，故A错误； 对于B，取，满足及， 因为，所以的图象不关于点对称， 所以函数的图象不关于点对称，故B错误； 对于C，令，，代入已知等式得， 可得，结合得，， 再令，代入已知等式得， 将，代入上式，得，所以函数为奇函数. 令，，代入已知等式，得， 因为，所以， 又因为，所以， 因为，所以，故C错误； 对于D，分别令和，代入已知等式，得以下两个等式：，， 两式相加易得，所以有， 即：， 有：， 即：，所以为周期函数，且周期为3， 因为，所以，所以，， 所以， 所以，故D正确. 故选：D. 【点睛】思路点睛：对于含有的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有双变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系，此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定. 二、多选题（本大题共3小题） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数（且）的图像恒过定点 B. 若函数满足，则函数的图象关于点对称 C. 当时，函数的最小值为 D. 函数的单调增区间为 【答案】BD 【解析】 【分析】对A：根据指数函数恒过的定点，结合已知解析式，直接求解即可；对B：根据对称性的定义，转化后即可判断；对C：利用基本不等式，即可求得函数最小值：对D：根据复合函数的单调性，结合函数解析式和定义域，即可求得结果. 【详解】对A：令，解得，当时，，故恒过定点，A错误； 对B：因为，则，故的图象关于对称，B正确； 对C：因为，故， 当且仅当时取得等号，故C错误； 对D：要使有意义，则，解得， 则的定义域为， 由复合函数的单调性可得在单调递增，在单调递减，又在上单调递减， 故在单调递减，在单调递增，故D正确. 故选：BD. 10. 下列选项正确的有（ ） A. “，”是假命题，则 B. 函数的图象的对称中心是 C. 若存在反函数，且，则的图象必过点 D. 已知表示不超过x的最大整数，则函数值域为 【答案】BD 【解析】 【分析】转化为“”为真命题，结合二次函数的性质，可判定A不正确；根据函数图象变换，可得判定B正确；根据反函数的性质，可判定C错误；根据函数的新定义，可判定D正确. 【详解】对于A中，由命题“”是假命题， 可得命题“”为真命题， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为，所以A不正确； 对于B中， 函数的图象，可看成的图象向右平移1个单位长度得到， 因为函数的对称中心为，所以函数的图象关于对称，所以B正确； 对于C中，若存在反函数，且，可得， 即函数过点，则函数图象必过点，所以C错误； 对于D中， 已知表示不超过x的最大整数， 当时，，则函数, 在上此函数为单调递增函数，故其值域为，所以D正确. 故选：BD. 11. 已知a，b，，若，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. c的最大值为1 D. a的最小值为-1 【答案】ABC 【解析】 【分析】 由题可得，设，则可得，即可解出，，判断AB正确；将条件转化为，利用判别式可求出的范围，同理求出的范围. 【详解】由，得， ， 设，则. ， ，解得，即，，故AB正确； ，即. ，即. 由a，知，. ∴，解得，同理可得，故C正确，D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点睛：本题考查根据已知等量关系求范围，解题的关键是根据条件令，转化出，即可求出，进一步利用判别式可求出范围. 三、填空题（本大题共3小题） 12. 已知关于的不等式的解集为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式的解集与方程根的关系，由韦达定理得出方程组可解得，得出结果. 【详解】根据不等式的解集为可得： 和6是方程的两个实数根，可得，解得； 因此. 故答案为： 13. 已知函数在区间有且仅有3个零点，则取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解. 【详解】因为，所以， 令，则有3个根， 令，则有3个根，其中， 结合余弦函数的图像性质可得，故， 故答案为：. 14. 设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，由其为奇函数即可求解； 【详解】， 构造函数定义域为，则，故为奇函数， 所以， 所以， 故答案为：2 四、解答题（本大题共5小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，已知点Q的坐标为. （1）求的值； （2）若，求P的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先由点在单位圆上，求，再根据三角函数的定义求，即可求解； （2）利用诱导公式求，，再根据三角函数的定义求点的坐标. 【小问1详解】 因为点在单位圆上且，所以，得. 即，且由三角函数定义知，，， 故. 【小问2详解】 由题意：， ， 故. 16. 已知幂函数的图像过点和. （1）求实数的值； （2）若函数在区间上的最大值等于最小值的2倍，求实数的值. 【答案】（1）；（2）或. 【解析】 【详解】试题分析：（1）由幂函数的图象过点，可求出幂函数的解析式，将代入所求解析式即可的结果；（2）讨论与两种情况，分别求出最大值与最小值，利用最大值等于最小值的倍求解即可. 试题解析：（1）设，依题意可得，∴， ∴. （2）， ∴当时，，由题意得，解得； 当时，，由题意得，解得. 综上，所求实数的值为或. 17. 已知函数． （1）若函数图象关于成中心对称图形，求b值； （2）判断的单调性（无需证明），并解关于x的不等式． 【答案】（1）； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）利用中心对称的定义计算出的值即可. （2）借助指数函数单调性确定的单调性，结合（1）及单调性化简不等式，再解含参的一元二次不等式. 【小问1详解】 依题意，， 由函数的图象关于点成中心对称图形，得， 所以. 【小问2详解】 函数在上单调递增，则函数在上单调递减， 由（1）知，的图象关于成中心对称图形，即， 不等式化为：， 即，则，整理得， 当时，解得；当时，或； 当时，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为或. 18. 已知函数的图象关于直线对称，且两相邻对称中心之间的距离为． （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）若函数为偶函数，求的最小值． （3）若关于的方程在区间上总有实数解，求实数的取值范围． 【答案】（1），函数的单调递增区间； （2）的最小值为； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据相邻对称中心的距离求出周期，得的值，根据对称轴求出，得出解析式，结合正弦函数的单调性求单调区间； （2）根据奇偶性的性质列方程求的最小值． （2）将方程有实数根转化为两个函数有交点，求值域的问题，由此可求的取值范围． 【小问1详解】 因为函数两相邻对称中心之间的距离为， 所以函数的最小正周期， 所以，又，所以， 函数图象关于直线对称，， 解得：，， 所以，， 由， 得：， 所以函数的单调递增区间； 【小问2详解】 由（1）， 因为函数为偶函数， 所以， 所以或（舍去），， 所以，， 所以的最小值为． 【小问3详解】 当时，，， 因为关于的方程在区间上总有实数解， 所以函数的图象与函数的图象有交点， 所以， 所以， 所以 19. 设，是非空实数集，如果对于集合中的任意两个实数，，按照某种确定的关系，在中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个二元函数，记作，，，其中称为二元函数的定义域. （1）已知，若，，，求； （2）设二元函数的定义域为，如果存在实数满足： ①，，都有， ②，，使得. 那么，我们称是二元函数的下确界. 若，，且，判断函数是否存在下确界，若存在，求出此函数的下确界，若不存在，说明理由. （3）的定义域为，若，对于，，都有，则称在上是关于单调递增.已知在上是关于单调递增，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）由二元函数的定义求解即可； （2）根据基本不等式即二次函数的性质判断即可； （3）根据二元函数在定义域上单调递增的定义求解即可； 【小问1详解】 由可得，， 由可得，， 由 又， 所以； 【小问2详解】 由可得，， 由可得，，所以， ， 当且仅当，即，或，时取等号. 【小问3详解】 因为在上是关于单调递增， 所以， 即存在，对于任意的，，都有， 化简可得，即， 下面求函数的最小值， 设，， ， 所以函数在递增， ， 即存在，使得， 设，， ①当时，， ②当时，， 设，， 所以， 综上，， 所以的取值范围是. 【点睛】方法点睛：新定义题型特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $