精品解析：河南省驻马店市汝南县2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题

2024—2025学年度上期期末素质测试题 八年级数学 （注：请在答题卷上答题） 一．选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 如图，“箭头”是一个轴对称图形，已知，则图中的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的性质是解答本题的关键．根据轴对称图形的性质即可求出的度数． 【详解】 “箭头”是一个轴对称图形，， ， 故选：A． 2. 冬季是呼吸道疾病的高发季节，肺炎支原体和流感容易交叉感染，其中支原体是一种类似细菌但不具有细胞壁的原核微生物，它的直径约为米，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为正整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可解答，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 3. 如图，，，，要根据“”证明则还需要添加一个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用“”证明三角形全等，掌握相关知识是解决问题的关键．由已知条件可知，两三角形是直角三角形，且有一条直角边相等，若用“”证明全等，需再有斜边对应相等，据此可解答． 【详解】解：如图，，，， 要根据“”证明， 需再有斜边对应相等， 即． 故选：D． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 分别利用积的乘方，同底数幂的乘除法，幂的乘方计算即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意． 故选：D． 5. 已知，则“★”所表示的式子是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，根据被除式、除式、商之间的关系列出式子，然后根据单项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 6. 如图所示， 是等边三角形，D为的中点，，垂足为E．若，则 的边长为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于；在直角三角形中角所对应的边是斜边的一半是解题的关键． 根据题意可知，在直角三角形中求得 的长，即可求得的长． 【详解】解：∵ 是等边三角形，D为的中点，，垂足为点E．若， ∴在直角三角形中，，，， ∴， 又∵D为的中点， ∴， ∴等边三角形的边长为12， 故选：A． 7. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角与外角，熟记多边形内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键． 利用多边形外角和为的性质以及内角和公式建立方程求解即可． 【详解】设多边形的边数为， ∵ 多边形的外角和为，且内角和是外角和的倍， ∴ 内角和， 又∵ 内角和 ， ∴ ， 解得：， 即这个多边形的边数为． 故选：C． 8. 如图，是 的角平分线，，垂足为的面积为，则的长为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 作于 ，根据角平分线的性质得到，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：作于 ， 是 的角平分线，， 故选：C． 9. 已知关于 的分式方程的解为正数，则的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】先用k表示x，然后根据x为正数列出不等式，即可求出答案. 【详解】解：， ， ， 该分式方程有解， ， ， ， ， ， 且， 故选 ． 【点睛】本题考查的是分式方程，熟练掌握分式方程是解题的关键. 10. 如图，在 中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则（ ）度． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角定理，等式性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先分别对运用三角形的外角定理，设，则，，则，得到，，同理可求：，所以可得． 【详解】解：如图： ∵，， ∴设，，则，， 由三角形的外角的性质得：，， ∴， 如图： 同理可求：， ∴， ……， ∴， 即， 故选：A． 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【详解】 ． 故答案为：． 12. 计算：________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了整数指数幂．先计算整数指数幂的运算，然后进行有理数的加法运算，由此得到答案． 【详解】解：． 故选：3． 13. 等腰三角形的两边a，b满足，则三角形的周长是_____. 【答案】12 【解析】 【详解】试题分析：应用非负数的性质求出a，b的值，再利用分类讨论及三角形三角形的关系求出三边长，再求和即可得出三角形的周长. ∵， ∴，， 又∵是等腰三角形， ∴三边长为5，5，2或5，2，2 （不满足三角形构造条件，舍去）， ∴周长为. 故答案为12 14. 如图所示，，，，，，则________． 【答案】##55度 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质，三角形外角性质，掌握全等三角形的判定方法及性质是解题的关键． 根据，得出，即可证明，根据三角形全等的性质得，最后利用可求解． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，等腰 的底边长为6．面积是24，腰 的垂直平分线分别交 、于点、 ．若点 为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，中垂线的性质，利用轴对称解决线段和最小问题．连接 ，的周长为，为定值，要使的周长最小，则的值最小， 的垂直平分线为，得到关于对称，得到，当三点共线时，，最小，进行求解即可． 【详解】解：∵的周长为，为定值， ∴当的值最小时，的周长最小， 连接， ∵ 的垂直平分线为， ∴关于对称， ∴， ∴当三点共线时，， ∵等腰 ，点 为底边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为； 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式乘法运算，分式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据完全平方公式和平方差公式进行计算即可； （2）根据分式混合运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，在△ABC中，∠B=25°，∠BAC=31°，过点A作BC边上的高，交BC的延长线于点D， CE平分∠ACD，交AD于点E．求∠AEC的度数． 【答案】 【解析】 【分析】先根据三角形外角的性质求出∠ACD的度数，再由角平分线的定义求出∠ECD的度数，即可利用三角形外角的性质求出∠AEC的度数． 【详解】解：∵∠B=25°，∠BAC=31°， ∴， ∵ 平分， ∴， ∵ 是边上的高， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，熟知三角形外角的性质是解题的关键． 18. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD．在BC上求作一点P使△ABP≌△ADP．（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 解：如图所示，点P即为所求． 【解析】 【分析】作∠BAD的平分线得∠BAP=∠DAP，结合AB=AD、AP=AP可得△ABP≌△ADP． 【详解】略 【点睛】本题主要考查作图-基本作图，解题的关键是掌握全等三角形的判定、角平分线的尺规作图． 19. 如图，已知，点， 在线段上，且． 请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得． 你添加的条件是：__________（只填写一个序号）． 添加条件后，请证明． 【答案】①（或②） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及平行线的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理与性质并灵活运用．利用全等三角形的判定定理进行分析，选取合适的条件进行求解，再根据全等三角形的性质及平行线的判定证明即可． 【详解】解：可选取①或②（只选一个即可）， 证明：当选取①时， 在与中， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ； 证明：当选取②时， 在与中， ， ， ，， ， ， 在与中， ， ， ， ； 故答案为：①（或②） 20. 如图所示，人教版八年级上册数学教材P53数学活动中有这样一段描述：如图，四边形 中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． （1）试猜想直线与线段有什么关系？并证明你的猜想； （2）过点D作交于点E，若，，求 的长． 【答案】（1）直线垂直平分，见解析 （2）6 【解析】 【分析】此题考查了垂直平分线的判定、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识． （1）根据垂直平分线的判定求解即可； （2）由，得，而，所以，则． 【小问1详解】 直线垂直平分 证明：∵ ∴点D在的垂直平分线上 又∵ ∴点B在的垂直平分线上 ∴是的垂直平分线； 【小问2详解】 解：， ． 由（1）知，， ， ． ， ， ． 21. 某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务． （1）求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ （2）负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 【答案】（1）原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米 （2）该公司原计划最多应安排8名工人施工 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）设原计划每天铺设管道 米，则实际施工每天铺设管道，根据原计划的时间实际的时间+15列出方程，求出方程的解即可得到结果； （2）设该公司原计划应安排 名工人施工，根据工作时间=工作总量工作效率计算出原计划的工作天数，进而表示出所有工人的工作总额，由所有工人的工资总金额不超过18万元列出不等式，求出不等式的解集，找出解集中的最大整数解即可． 【小问1详解】 解：设原计划每天铺设管道x米，则实际施工每天铺设管道米， 根据题意得：， 解得：， 经检验是分式方程的解，且符合题意， ∴， 则原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米； 【小问2详解】 解：设该公司原计划应安排y名工人施工，（天）， 根据题意得：， 解得：， ∴不等式的最大整数解为8， 则该公司原计划最多应安排8名工人施工． 22. 乘法公式的探究及应用 （1）如图1到图2的操作能验证的等式是____________．（请选择正确的一个） A． B． C． D． （2）当，时，则____________； （3）运用你所得到的公式，计算下列各题： ①； ②． 【答案】（1）D （2）2 （3）①2；② 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，有理数的混合运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）观察图形，利用两图中的面积相等即可得出结论； （2）利用平方差公式求解即可； （3）①将原式变形为，再利用（1）中公式计算； ②将2变形为，再逐步利用平方差公式计算即可． 【小问1详解】 解：图1中阴影面积为， 图2的阴影面积为， ∴图1到图2的操作能验证的等式是， 故选：D； 【小问2详解】 解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， 故答案为：2； 【小问3详解】 解：① ； ② . 23. 在数学实验课上，学生以“折叠等腰三角形纸片”为主题开展探究活动． （1）操作判断 如图1，在 中，，点 为的中点，于点，于点 ．在折叠等腰三角形纸片的过程中，不难发现： ， 的数量关系是 ． （2）迁移探究 如图2，在操作探究过程中，小华发现：对于任意的等腰三角形，若将“点 为的中点”改为“点 到顶点 ，的距离相等”，结论仍然成立．请你就图2的情形进行证明． （3）拓展应用 已知 是等边三角形，（2）中的其它条件不变，当，是等腰直角三角形时，请直接写出的度数． 【答案】（1）相等；（2）证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）证明 是的角平分线，利用角平分线的性质即可证明结论； （2）由 和是等腰三角形，证明，从而证明，即可证明结论； （3）分点 在 内部和点 在 外部两种情况讨论，结合等边三角形和等腰直角三角形的性质即可求出结果． 【详解】（1）证明：相等，理由如下： ，点 为的中点， 是的角平分线， ，， ； 故答案为：相等； （2）证明：结论仍成立，理由如下： ， ， 点 到顶点 ，的距离相等， ， ， ，即， ，， ， ； （3）解：若点 在 内部，如图所示： 是等边三角形， ， 和是等腰直角三角形， ， ，， 在中，， ； 若点 在 外部，如图所示： 是等边三角形， ， 和是等腰直角三角形， ， ，， 在中，， ； 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查了三线合一，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，本题的关键是理解题意结合分类讨论思想解题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上期期末素质测试题 八年级数学 （注：请在答题卷上答题） 一．选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 如图，“箭头”是一个轴对称图形，已知，则图中的度数是（ ） A. B. C. D. 2. 冬季是呼吸道疾病的高发季节，肺炎支原体和流感容易交叉感染，其中支原体是一种类似细菌但不具有细胞壁的原核微生物，它的直径约为米，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，，，要根据“”证明则还需要添加一个条件是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则“★”所表示的式子是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示， 是等边三角形，D为的中点，，垂足为E．若，则 的边长为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 7. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 如图，是 的角平分线，，垂足为的面积为，则 的长为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 9. 已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 10. 如图，在 中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则（ ）度． A. B. C. D. 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 因式分解：________． 12. 计算：________． 13. 等腰三角形的两边a，b满足，则三角形的周长是_____. 14. 如图所示，，，，，，则________． 15. 如图，等腰 的底边 长为6．面积是24，腰 的垂直平分线分别交 、于点、 ．若点为底边 的中点，点 为线段上一动点，则的周长的最小值为______． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在△ABC中，∠B=25°，∠BAC=31°，过点A作BC边上的高，交BC的延长线于点D， CE平分∠ACD，交AD于点E．求∠AEC的度数． 18. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD．在BC上求作一点P使△ABP≌△ADP．（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，已知，点， 在线段上，且． 请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得． 你添加的条件是：__________（只填写一个序号）． 添加条件后，请证明． 20. 如图所示，人教版八年级上册数学教材P53数学活动中有这样一段描述：如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． （1）试猜想直线与线段有什么关系？并证明你的猜想； （2）过点D作交 于点E，若，，求 的长． 21. 某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务． （1）求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ （2）负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 22. 乘法公式的探究及应用 （1）如图1到图2的操作能验证的等式是____________．（请选择正确的一个） A． B． C． D． （2）当，时，则____________； （3）运用你所得到的公式，计算下列各题： ①； ②． 23. 在数学实验课上，学生以“折叠等腰三角形纸片”为主题开展探究活动． （1）操作判断 如图1，在 中，，点为 的中点，于点，于点 ．在折叠等腰三角形纸片的过程中，不难发现： ，的数量关系是 ． （2）迁移探究 如图2，在操作探究过程中，小华发现：对于任意的等腰三角形，若将“点为 的中点”改为“点到顶点 ， 的距离相等”，结论仍然成立．请你就图2的情形进行证明． （3）拓展应用 已知 是等边三角形，（2）中的其它条件不变，当，是等腰直角三角形时，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $