精品解析： 河南省信阳市新县2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

九数上期末试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理．“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案．下列关于“赵爽弦图”说法正确的是（ ） A. 轴对称图形 B. 是中心对称图形 C. 既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 既不是轴对称图形也不是中心对称图形 2. 下列是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，若的半径为6，圆心O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是（ ） A. B. C. D. 4. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个同号的不相等的实数根 B. 有两个异号的不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 5. 已知线段a、b、c，作线段x，使b：a＝x：c，则正确的作法是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，量角器外沿上有三点、、，它们所表示读数分别是、、，则的大小是（ ） A. B. C. D. 7. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（） A. B. C. D. 8. 如图，四边形是菱形，轴，垂直为，函数的图像经过点，若，则菱形的面积为（ ） A. 8 B. 15 C. 29 D. 24 9. 如图，在矩形纸片中，，将矩形绕点A按逆时针方向旋转得到矩形，此时恰好经过点D，连接，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 10. 约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点是关于x的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④．则正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若点是反比例函数图象上一点，则常数的值为__________． 12. 已知二次函数的图像开口向上，那么的取值范围是______． 13. 某商店老板为了吸引顾客，想设计一个可以自由转动的转盘，并规定凡购物的顾客都可转动一次转盘．如果转盘停止后，指针正好对准阴影区域，则可以获得折优惠．老板设计了一个如图所示的转盘，则顾客转动一次可以打折的概率为________________． 14. 如图，矩形中，，，点是上一点，，连接与相交于点，则的长为____________． 15. 如图，在扇形中，，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，作直线交于点，过点作于点，则图中阴影部分的周长为________． 三、解答题（共75分） 16. 用适当方法解下列一元二次方程： （1） （2） 17. 在“重走建军路，致敬新四军”红色研学活动中，学校建议同学们利用周末时间自主到以下三个基地开展研学活动． A．新四军纪念馆（主馆区）； B．新四军重建军部旧址（泰山庙）； C．新四军重建军部纪念塔（大铜马）． （1） “某同学随机选择一个基地开展研学活动，基地A恰好被选中”是________事件； A．不可能 　　　B．必然 　　　C．随机 （2）小明和小丽各自随机选择一个基地作为本次研学活动的第一站． ①小明选择基地B的概率为________； ②用画树状图或列表的方法，求小明和小丽选择相同基地的概率． 18. 如图，正方形网格中，顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题： （1）与关于坐标原点O成中心对称，请画出并求出的坐标为 ． （2）的面积为 ． （3）将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，，，则旋转中心的坐标为 ． 19. 如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）的图象相交于A（2，3）、B（a，1）两点． （1）求这两个函数的表达式； （2）求证：AB=2BC． 20. 某数学兴趣小组在学习完角平分线的作法后，对如何作一个角的平分线产生了浓厚兴趣．除了常用的尺规作图方法外，小明提出了一个更为便捷的方法：在任意角中，将量角器放在角中，使得角的两边分别与量角器的半圆弧相切，再连接角的顶点与量角器的圆心即可得到该角的平分线． 为了验证小明做法的正确性，该小组画出了如图①所示的示意图，请你将“已知”和“求证”补充完整，并完成证明． 已知：如图，已知，半圆，          ．        求证：    ． 21. 某公司购进一批新产品进行销售，已知该产品的进货单价为8元/件，该公司对这批新产品上市后的销售情况进行了跟踪调查．销售过程中发现，该产品每月的销售量（万件）与销售单价（元）之间的关系满足下表． 销售单价（元/件） … 10 12 14 15 … 每月销售量（万件） … 40 36 32 30 … （1）请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数三个模型中确定哪种函数能比较恰当地表示与的变化规律，并求出与之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，该产品每月获得的利润为240万元？ （3）如果该产品每月的销售量不超过20万件，那么当销售单价为多少元时，该产品每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？ 22. 数字农业正带领现代农业进入一个崭新的时代，而智能温室大棚将成为现代农业发展进程中重要的参与者之一.某种植大户对自己的温室大棚进行改造时，先将大门进行了装修，如图2所示，该大门门头示意图由矩形和抛物线形组成，测得，，，以水平线为x轴，的中点O为原点建立平面直角坐标系． （1）求此门头抛物线部分的表达式； （2）改造时，为了加周，要在棚内梁的四等分点M，N处焊接两排镀锌管支撑大棚，已知定制的每根镀锌管成品长，问是否需要截取，截取多少？ 23. 【问题提出】 （1）如图①，正方形的对角线相交于点，则的度数是 °； 【问题探究】 （2）如图②，在中，，，点为边上的点，点、分别在边、上，连接、，，点为上一点，且，求证：； 【问题解决】 （3）如图③，某地拟建造一个形如四边形露营基地，其中，．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，计划沿线段修建隔离防护栏，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，根据设计要求，点在线段上，点、分别在线段、上，且，其中，米，求烧烤区三角形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九数上期末试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理．“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案．下列关于“赵爽弦图”说法正确的是（ ） A. 是轴对称图形 B. 是中心对称图形 C. 既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 既不是轴对称图形也不是中心对称图形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义、中心对称图形的定义；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这个图形就叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，即可作答． 【详解】解：是中心对称图形，但不是轴对称图形 故选：B 2. 下列是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．的分母含未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； B．是一元二次方程，符合题意； C．未知数x的次数是1，故不是一元二次方程，不符合题意； D．中未知数的最高次项的次数是3，故不是一元二次方程，不符合题意； 故选B． 3. 如图，若的半径为6，圆心O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系：当圆心到直线的距离等于半径时，则直线与圆相切，当圆心到直线的距离大于半径时，则直线与圆相离，当圆心到直线的距离小于半径时，则直线与圆相交；由此问题可求解． 【详解】解：∵的半径为6，圆心O到一条直线的距离为3，， ∴这条直线与圆相交， 由图可知只有直线与圆相交， 故选B． 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键． 4. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个同号的不相等的实数根 B. 有两个异号的不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先进行判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】∵a=2，b=−6，c=3， ∴△=b2−4ac=(−6)2−4×2×3=12>0,x1x2=>0， ∴方程有两个同号不相等的实数根， 故选A. 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 5. 已知线段a、b、c，作线段x，使b：a＝x：c，则正确的作法是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把已知比例式化为等积式，再根据平行线分线段成比例先写出比例式，再化为等积式，比较后可得结论. 【详解】解： b：a＝x：c， 由平行线分线段成比例可得： 选项A： 可得： 故A不符合题意； 选项B： 可得： 故B符合题意； 选项C： 可得： 故C不符合题意； 选项D： 可得： 故D不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，掌握“平行线分线段成比例，把比例式化为等积式”是解题的关键. 6. 如图，量角器外沿上有三点、、，它们所表示的读数分别是、、，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是量角器的使用，圆周角定理的应用，本题先连接，，再求解，再利用圆周角定理可得答案． 【详解】解：如图，连接，， 依题意，得， ∴， 故选：C． 7. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求出对称轴解析式，然后利用二次函数的增减性求解更简便．先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性和开口方向判断即可． 【详解】解：对称轴为直线， 时，随的增大而减小，时，随的增大而增大， ，且， 故选：D． 8. 如图，四边形是菱形，轴，垂直为，函数的图像经过点，若，则菱形的面积为（ ） A. 8 B. 15 C. 29 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得到S△COD=×12=6，得到OD=4，根据勾股定理得到，根据菱形的性质得到OC=OA=5，于是得到结论． 【详解】∵函数的图象经过点C，CD⊥x轴， ∴S△COD=×12=6， ∵CD=3， ∴OD=4， ∴ ∵四边形OABC是菱形， ∴OC=OA=5， ∴菱形OABC的面积=OA•CD=5×3=15， 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，根据反比例函数的解析式及一点的横坐标或纵坐标求出另一坐标，应用到几何图形中，就是求出了某一线段的长；同时求三角形面积时，可转化为另一同底等高或等底等高的三角形的面积来求． 9. 如图，在矩形纸片中，，将矩形绕点A按逆时针方向旋转得到矩形，此时恰好经过点D，连接，则长为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明出，运用勾股定理得到在，则，在中，，再代入求值即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形，且旋转至矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，正确得到是解题的关键． 10. 约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点是关于x的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④．则正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，“黄金函数”，“黄金点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题．先根据题意求出m，n的取值，代入得到a，b，c的关系，再根据对称轴在的右侧即可求解． 【详解】解：∵点是关于x的“黄金函数”上的一对“黄金点”， ∴A，B关于原点对称， ∴，， ∴，， 代入 得 ， ∴， ∴①②正确，符合题意， ∵该函数的对称轴始终位于直线的右侧， ∴， ∴， ∴， ∴④正确，符合题意， ∵， ∴，， 当时，， ∵， ∴， ∴，即，③错误，不符合题意． 综上所述，结论正确的是①②④． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若点是反比例函数图象上一点，则常数的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式是解题的关键. 根据题意得到，求出. 【详解】解：点是反比例函数图象上一点， ， ， 故答案为：. 12. 已知二次函数的图像开口向上，那么的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，对于二次函数（其中a、b、c是常数，且），当时，二次函数图象开口向上，当时，二次函数开口向上，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数的图像开口向上， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 某商店老板为了吸引顾客，想设计一个可以自由转动的转盘，并规定凡购物的顾客都可转动一次转盘．如果转盘停止后，指针正好对准阴影区域，则可以获得折优惠．老板设计了一个如图所示的转盘，则顾客转动一次可以打折的概率为________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据可得阴影部分面积占总面积的，进而即可得到答案． 【详解】∵， ∴阴影部分面积占总面积的，即：顾客转动一次可以打折的概率为． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查几何图形与概率，掌握概率公式是解题的关键． 14. 如图，矩形中，，，点是上一点，，连接与相交于点，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】先由矩形的性质得到，再证明，推出，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，证明，推出是解题的关键． 15. 如图，在扇形中，，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，作直线交于点，过点作于点，则图中阴影部分的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据作图过程可得是的垂直平分线，可得，可得是等边三角形，然后利用阴影部分的周长，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，， 根据作图过程可知：是的垂直平分线， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的周长 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图复杂作图，线段垂直平分线的性质，弧长的计算，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 三、解答题（共75分） 16. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1），；（2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解方程； （2）利用公式法解方程即可 【详解】解：（1）因式分解，得 ∴或 ∴， （2）方程化为 ，， 方程有两个不等的实数根 即， 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键. 17. 在“重走建军路，致敬新四军”红色研学活动中，学校建议同学们利用周末时间自主到以下三个基地开展研学活动． A．新四军纪念馆（主馆区）； B．新四军重建军部旧址（泰山庙）； C．新四军重建军部纪念塔（大铜马）． （1） “某同学随机选择一个基地开展研学活动，基地A恰好被选中”是________事件； A．不可能 　　　B．必然 　　　C．随机 （2）小明和小丽各自随机选择一个基地作为本次研学活动第一站． ①小明选择基地B的概率为________； ②用画树状图或列表的方法，求小明和小丽选择相同基地的概率． 【答案】（1）C （2）①；② 【解析】 【分析】此题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为∶概率所求情况数与总情况数之比． （1）根据不可能事件、必然事件、随机事件的定义判断即可； （2）①利用概率公式可得出答案； ②列表可得出所有等可能结果数以及小明和小丽选择相同基地的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：“某同学随机选择一个基地开展研学活动，基地A恰好被选中”是随机事件，故答案为：C； 【小问2详解】 解：①共有三个基地开展研学活动， 小明选择基地A的概率为， 故答案为：； ②画树状图如下： 由图可得，一共有9种等可能的结果，其中小明和小丽选择相同基地的可能性有3种， 小明和小丽选择相同基地的概率为． 18. 如图，正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题： （1）与关于坐标原点O成中心对称，请画出并求出的坐标为 ． （2）的面积为 ． （3）将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，，，则旋转中心的坐标为 ． 【答案】（1）见解析， （2）2.5 （3） 【解析】 【分析】本题考查旋转，中心对称以及三角形的面积： （1）根据原点对称的两点的横纵坐标互为相反数，据此解答； （2）运用分割法即可解答； （3）画出，连接，分别作垂直平分线交于，即可解答．． 【小问1详解】 解：如图，即为所作， 根据图得，点， ∵与关于坐标原点O成中心对称， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：的面积， 故答案为：2.5； 【小问3详解】 解：如图所示，连接，分别作垂直平分线交于， 即旋转中心的坐标为， 故答案为：． 19. 如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）的图象相交于A（2，3）、B（a，1）两点． （1）求这两个函数的表达式； （2）求证：AB=2BC． 【答案】（1）直线是解析式为y=﹣x+4，反比例函数的解析式为y=．（2）详见解析. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题； （2）求出点C坐标，求出AB、BC即可解决问题． 【详解】（1）∵一次函数y=kx+b与反比例函数y（x＞0）的图象相交于A（2，3）、B（a，1）两点，∴m=6，a=6，把A（2，3），B（6，1）代入y=kx+b得到，解得：，∴直线是解析式为yx+4，反比例函数的解析式为y． （2）对于直线yx+4，令y=0，解得：x=8，∴C（8，0）． ∵A（2，3），B（6，1），∴AB，BC，∴AB=2BC． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，属于中考常考题型． 20. 某数学兴趣小组在学习完角平分线作法后，对如何作一个角的平分线产生了浓厚兴趣．除了常用的尺规作图方法外，小明提出了一个更为便捷的方法：在任意角中，将量角器放在角中，使得角的两边分别与量角器的半圆弧相切，再连接角的顶点与量角器的圆心即可得到该角的平分线． 为了验证小明做法的正确性，该小组画出了如图①所示的示意图，请你将“已知”和“求证”补充完整，并完成证明． 已知：如图，已知，半圆，          ．        求证：    ． 【答案】、分别与半圆相切于点、；平分．证明见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，圆的切线的性质，连接切点与圆心即半径是解题关键． 连接，，由圆的切线的性质可得，，，从而得出，即可得解． 【详解】、分别与半圆相切于点、； 平分． 证明：如图所示，连接，， 、分别与半圆相切于点、， ，，， 在和中， ， ， 即平分． 21. 某公司购进一批新产品进行销售，已知该产品的进货单价为8元/件，该公司对这批新产品上市后的销售情况进行了跟踪调查．销售过程中发现，该产品每月的销售量（万件）与销售单价（元）之间的关系满足下表． 销售单价（元/件） … 10 12 14 15 … 每月销售量（万件） … 40 36 32 30 … （1）请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数三个模型中确定哪种函数能比较恰当地表示与的变化规律，并求出与之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，该产品每月获得的利润为240万元？ （3）如果该产品每月的销售量不超过20万件，那么当销售单价为多少元时，该产品每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？ 【答案】（1）一次函数关系， （2）18元或20元 （3）销售单价为20元时，最大利润为240万元 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数，二次函数以及一元二次方程的实际应用，掌握数量关系：总利润销售量单件利润，是解题的关键． （1）根据表格数据，可得y与x之间的函数关系式为一次函数关系，利用待定系数法，即可； （2）设总利润为万元，根据总利润销售量单件利润，列出函数解析，进而得到一元二次方程，即可求解； （3）先求出x的取值范围，再根据二次函数的性质，求出最大值，即可． 【小问1详解】 解：由表格中数据可得：与之间的函数关系式为一次函数关系， 设，把，代入， 得：， 解得：， ∴与之间的函数关系式为： ； 【小问2详解】 解：设总利润为万元，由题意得： ， 当时，， 解得：，． 答：当销售单价为18元或20元时，每月获得的利润为240万元； 【小问3详解】 解：∵每月的销售量不超过20万件， ∴， 解得：， ∵函数，，图象开口向下，对称轴为直线，且， ∴当时，最大为240万元． 答：销售单价为20元时，每月获得的利润最大，最大利润为240万元． 22. 数字农业正带领现代农业进入一个崭新的时代，而智能温室大棚将成为现代农业发展进程中重要的参与者之一.某种植大户对自己的温室大棚进行改造时，先将大门进行了装修，如图2所示，该大门门头示意图由矩形和抛物线形组成，测得，，，以水平线为x轴，的中点O为原点建立平面直角坐标系． （1）求此门头抛物线部分的表达式； （2）改造时，为了加周，要在棚内梁的四等分点M，N处焊接两排镀锌管支撑大棚，已知定制的每根镀锌管成品长，问是否需要截取，截取多少？ 【答案】（1） （2）需要截取，每根镀锌管截取 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用函数表达式求出点M，N出所对应的函数值，比较即可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意，知， ， 设抛物线的顶点式为， 将点代入，得 解得， 此门头抛物线部分的表达式为； 【小问2详解】 解：需要截取， 要在棚内梁的四等分点M， N处焊接镀锌管，，， 当或时，代入抛物线的表达式得， ， 需要镀锌管长度为， ， 需要截取，每根镀锌管截取． 23. 【问题提出】 （1）如图①，正方形的对角线相交于点，则的度数是 °； 【问题探究】 （2）如图②，在中，，，点为边上的点，点、分别在边、上，连接、，，点为上一点，且，求证：； 【问题解决】 （3）如图③，某地拟建造一个形如四边形的露营基地，其中，．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，计划沿线段修建隔离防护栏，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，根据设计要求，点在线段上，点、分别在线段、上，且，其中，米，求烧烤区三角形的面积． 【答案】（1）45；（2）见解析；（3）烧烤区三角形的面积为． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定方法，利用三角形相似的判定和性质解决问题，还涉及到正方形的性质和判定． （1）正方形的每一个内角都是直角，对角线也是角平分线，所以得出的度数是； （2）由已知条件得出，由得出角相等，利用外角定义得出，再由已知条件，得出角相等，利用两角对应相等的两个三角形相似，得出结论即可； （3）首先过点P作两条垂线，构造直角三角形，再根据已知条件判定四边形是正方形，得出45度角，利用两角相等判定出相似三角形有两对，利用比例的传递性得出的长度，从而求出三角形的面积即可． 【详解】解：（1）∵正方形的对角线相交于点， ∴， ∴， 故答案为：45； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图，过点P作，垂足为G，过点P作，垂足为H， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：烧烤区三角形的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$